函数的方程与零点（解析版）-2025年天津高考数学一轮复习

第10讲函数的方程与零点

（6类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

函数与方程的综合应用，根据函数零点的个数求参数范围，已知方程求双曲

2024年天津卷，第15题,5分

线的渐近线

2023年天津卷，第15题,5分根据函数零点的个数求参数范围

2022年天津卷，第15题,5分根据函数零点的个数求参数范围，根据二次函数零点的分布求参数的范围

2021年天津卷，第9题,5分根据函数零点的个数求参数范围

2020年天津卷，第9题,5分函数与方程的综合应用，根据函数零点的个数求参数范围

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度较高，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握函数的零点，能够理解函数的方程，函数的零点与交代你的含义

2.能掌握函数图像与性质

3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像解决零点问题

4.理解并掌握二分法思想，会用零点的存在性定理判断零点的个数

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般难度系数较高，通常为判断零点的个数，或者已知

零点个数求取值范围。

「卜•考点梳理，

.函数零点概念

1考点四、函数零点及零点个数

2.零点存在性定理

厂知识占一零点J3.零点存在唯一性定理考点五、复合函数的零点

4.函数零点、方程的根与函数图像的关系考点六、二分法的应用

5.二次函数的零点{

函数的方程与零点I

1•函数的图像考点一、

函数图像的识别

2.描点法作图<考点二函、数的图像变换

{3.图象变换考点三、由函数图象确定解析式

知识讲解

知识点一.零点

1.函数零点概念

对函数y=/(%),把使=0的实数％叫做函数y=/(%)的零点

2.零点存在性定理：

如果函数y=/(x)在区间［a,加上的图象是连续不断一条曲线，并且有/(a)/(b)<Of,那么，函数y=/(%)在

区间(。,6)内有零点.即存在此(口方)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

3.零点存在唯一性定理：

如果函数y=/(久)在区间a,0上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)f(6)<0,且在［a,加上单调，那么

函数y=/(久)在区间(a,b)内有唯一的零点.即存在唯一的ce(a,b),使得/(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0

的根.

4.函数零点、方程的根与函数图像的关系

函数y=F(x)=f(x)-gQ)有零点

方程F(x)=f(x)-g(x)=0有实数根=>函数乃=/(%),y2=g(x)图像有交点

求函数y=/(久)零点的方法：

①直接解方程f(%)=0；

②利用图象求其与x轴的交点(交点的横坐标即是零点)；

③将方程外行=0变为两个函数，通过图象看它们的交点情况(同时可以知道零点的个数)；

④可通过二分法求函数的零点的近似值.

5.二次函数的零点：

二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)

(l)A>0,方程a/+版+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点

(2)△=0,方程a/+6%+c=0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个零点.

(3)△<0,方程a/+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点

知识点二.函数的图象

1.函数的图像

将自变量的一个值与作为横坐标，相应的函数值/(而)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，

当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为

{(x，y)ly=f(x)，xGA},所有这些点组成的图形就是函数的图象.

2.描点法作图

方法步骤:

(1)确定函数的定义域；

⑵化简函数的解析式；

(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);

(4)描点连线，画出函数的图象.

3.图象变换

(1)平移变换

(2)对称变换

g=、关于x轴对称“、

①y=f(x)---------->y=-/(x)；

®-、关于y轴对称f、

②y=f(x)---------->y=/-(x)

自，,、关于原点对称乙、

③y=fO)---------->y=-/(-x)；

④>=〃(a>0J!L存1)关:)~'对邓y=］o£/a>o且分口.

(3)伸缩变换

横坐标伸长到原来的L倍得y=于(a)x)(0<®<1)

①把函数y=/(x)图象的纵坐标不变,

w

横坐标缩短到原来的人倍得y=/(or)(o>l)

②把函数y=/(久)图象的纵坐标不变,

w

③把函数y=图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的w倍得y=a)f(x)(co>1)

④把函数y=/(久)图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的w倍得y=a)f{x)(0<<y<1)

(4)翻折变换

保留x轴上方图象

①丁=f(x)将下轴下方图象翻折上去V=，(久)1

保留y轴右边图象，并作其

②y=f。)关于y轴对称的图象>y=/(I久>

考点一、函数图像的识别

典例引领

1.(2024.全国.高考真题)函数f(x)=-x2+(ex-6一万亩%在区间［—2.8,2.8］的图象大致为()

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得/(1)>0,可排除D.

【详解】/(—x)=—X2+(e~x—ex)sin(—x)=—x2+(ex—e-x)sinx=/(%),

又函数定义域为［-2.8,28］,故该函数为偶函数，可排除A、C,

又/'(1)=-1+(e—sinl>—1+fe-sin-=-—1——>-——>0,

八'keJ\e7622e42e

故可排除D.

故选：B.

2.(2022•全国•高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是(

-D.V=—2si—nx

x2+l

【答案】A

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】设f(x)=言，则f(l)=0,故排除B;

设/l(x)=2：；：：,当XG(0,9时，0<COSX<1,

所以八0)=竽詈<岛式1,故排除c；

设g(x)=等，则g(3)=等>0,故排除D.

故选：A.

包即

1.(2024.安徽合肥.模拟预测)函数/(无)=号等(e为自然函数的底数)的图象大致为(

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性可排除B,C；再由x趋近0+,/(%)>0,排除D,即可得出答案.

【详解】/(%)==等的定义域为｛x|x力0｝,

[e-xcos(—2ex)]-e2xexcos2ex_"、

/(-X)==

(e-2x-l)-e2xl-e^X一/(町，

所以/(%)为奇函数，故排除B,C；

当％趋近e2x>1,所以e2*—1>0,ex>l,cos(2ex)>0,

所以故排除D.

故选：A.

2.(2024.山东.模拟预测)函数f(x)=会表的图象大致为()

【答案】C

【分析】求出函数f(x)的定义域及奇偶性，再由奇偶性在(0,1)内函数值的正负判断即可.

【详解】依题意，函数f(x)=蒜^的定义域为｛%eR|x牛±1),

八―x)=小奈=—高=—"X)，则/(X)是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足;

当x6(0,1)时，ex-e-x>0,|1-%2|>0,则〃尤)>0,AD不满足，C满足.

故选：C

考点二、函数的图像变换

典例引领

.

1.(2023・四川成都•模拟预测)要得到函数y=的图象，只需将指数函数丫=(3”的图象()

A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位

C.向左平移之个单位D.向右平移之个单位

【答案】D

【分析】

根据指数函数解析式说明图象平移过程即可.

【详解】由y=Q)%=C)2X向右平移|个单位，则y=(}2(，告=(|)2X-1

故选：D

2.(22-23高三・全国•对口高考)把函数y=log3(久-1)的图象向右平移之个单位，再把横坐标缩小为原来的也

所得图象的函数解析式是

【答案】y=log3(2x-|)

【分析】根据函数图象变换规律可得答案.

【详解】把函数y=log3(X-1)的图象向右平移(个单位，得函数y=log3(X--1)=log3(X-|)，再把横

坐标缩小为原来的点得到函数y=log3(2x-1)的图象.

故答案为：y=log3(2x—|)

1.(22-23高三•全国•对口高考)利用函数/(久)=2丫的图象，作出下列各函数的图象.

(i)y=/(-%)；

⑵y=/(|%|)

(3)y=f。)-1；

(4)y=|/(x)-1|；

(5)y=-7(x)；

(6)y=f(x-1).

【答案】(1)图象见详解

(2)图象见详解

(3)图象见详解

(4)图象见详解

(5)图象见详解

(6)图象见详解

【分析】先作出函数f(x)=2%的图象，

(1)把/(x)的图象关于y轴对称即可得到y=〃-切的图象；

(2)保留/(x)图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，并把y轴右侧部分关于y轴对称即可得到y=/(|刈)的

图象；

(3)把/(x)图象向下平移一个单位即可得到y=/(%)-1的图象；

(4)结合(3),保留x上方部分，然后把x下方部分关于x轴翻折即可得到y=|/(x)-1］的图象；

(5)把/(x)图象关于x轴对称即可得到y=-/(x)的图象；

(6)把/(久)的图象向右平移一个单位得到y=-1)的图象.

【详解】(1)把〃久)的图象关于y轴对称得到y=f(—x)的图象，如图，

(2)保留/'(X)图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，并把y轴右侧部分关于y轴对称得到y=f(|x|)的图象,

如图，

(3)把f(x)图象向下平移一个单位得到y=/(%)-1的图象，如图,

(4)结合(3),保留x上方部分，然后把x下方部分关于x轴翻折得到y=|f(x)-1|的图象，如图,

(5)把f(x)图象关于x轴对称得到y=-〃%)的图象，如图,

(6)把/Xx)的图象向右平移一个单位得到y=/(%-1)的图象，如图,

2.(2024•辽宁.三模)己知对数函数/(©=log/，函数/(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原

来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数/(久)的图

象重合，贝Ia的值是()

A.-B.-C.—D.V3

233

【答案】D

【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，由条件列方程，解方程求解即可

【详解】因为将函数/O)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，

所以g(x)=log—,即gO)=iogax-ioga3,

将9(%)的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式y=logax-loga3+2,

因为所得图象恰好与函数f(x)的图象重合，

所以一loga3+2=0,

所以a?=3,又a＞。且a=#1,

解得a=V3,

故选：D

3.(2023•河北•模拟预测)已知函数/(%)=祟等，则下列函数为奇函数的是()

A./(%)-1B.f(x)-2C./(%-2)D.f(%+2)

【答案】B

【分析】根据对称性分析可得函数/(x)有且仅有一个对称中心(0,2),结合图象变换分析判断.

【详解】由题意可得：/(>)=祟笋=3-春，

因为〃a+久)+f(a—x)=(3—谷)+(3—高)=6—2($+品)

_2a+2x+2x2x+2a

__X2。+2*+(22。+1)2力+2小

若/(a+x)+/(a-x)=6—2x袤篇黑鼻为定值,

贝眨2。+1=2,解得a=0,此时/(x)+/(—x)=4,

所以函数f(x)有且仅有一个对称中心(0,2).

对于选项A：«%)-1有且仅有一个对称中心为(0,1),不合题意，故A错误；

对于选项B：f(x)-2有且仅有一个对称中心为(0,0),符合题意，故B正确；

对于选项C：2)有且仅有一个对称中心为(2,2),不合题意，故C错误；

对于选项D：f(x+2)有且仅有一个对称中心为(-2,2),不合题意，故D错误;

故选：B.

%>0

4.(2023•新疆阿勒泰・三模)已知函数则函数/(%)=1'二；g(%)=/(-%),则函数g(%)的图象大致是()

一，％<u,

【答案】B

【分析】由g(x)=/(-乃可知g(x)图像与f(x)的图像关于y轴对称，由/(%)的图像即可得出结果.

【详解】因为g(x)=/(-%)，所以g(x)图像与/(X)的图像关于y轴对称，

由/O)解析式，作出/(%)的图像如图

从而可得g(x)图像为B选项.

故选：B.

考点三、由函数图象确定解析式

1.(2024.内蒙古呼和浩特.二模)函数f(x)的部分图象大致如图所示，则f(x)的解析式可能为()

A.f(x)=B.f(x)=ex-e~x—sinx

ex+e-x

e%+e—=

c./(%)=D./(%)=ex—e~x+sinx

【答案】A

【分析】结合图象可知f(x)为奇函数且f(0)=0,在(0,+8)上先增后减.根据函数的奇偶性和f(0)=0,结

合导数判断函数的单调性依次判断选项即可.

【详解】由图可知，f(x)的图象关于原点对称，则/(%)为奇函数，

且f(0)=0,在(0,+8)上先增后减.

A：函数的定义域为R，打―x)=二翼=一/(©"(0)=。，故A符合题意；

B：/(%)=ex—e~x—sinx,函数的定义域为R,

f'(x)=ex+e~x—cosx,由x>0,得e*>1,—1<cosx<1,

则f'(久)=ex+e~x-cosx>2-1>0,f(x)在(0,+8)上单调递增，故B不符合题意；

C:f(X)=e+e,当X=0时，sin久=0,函数显然没有意义，故C不符合题意；

sinx

D：/(%)=ex—e~x4-sinx,函数的定义域为R,

/'(%)=ex+e~x+cosx,由％>0,得铲>1,—1<cosx<1,

则f(%)=ex+e-x+cosx>2-1>0,/(%)在(0,+8)上单调递增，故D不符合题意.

故选：A

2.(23-24高三下.天津.阶段练习)已知函数/(%)的部分图象如下图所示，则/(%)的解析式可能是()

Acr、ex-ln|%|、x2+l

A-/(X)=RB.=

c.f(x)=学ND./(x)=言•cosx

7ex—ex7ex—1

【答案】A

【分析】利用排除法，根据题意结合函数定义域以及函数值的符号分析判断.

【详解】由题意可知：f(x)的定义域为{x|x力0},故B错误；

当x>0,“X)先正后负，则有：

对于C：因为eT<1<e*,尤2+2>0,贝卜-'-6*<0,

可知f(x)=W1<0,故C错误；

对于D：因为ex>l,则小>0,但cosx的符号周期性变化，故D错误；

铲一1

故选：A.

即时阿L

1.(2024.上海奉贤.二模)已知函数y=/(K),其中、=产+1,y=g(x),其中g(x)=4sinx,则图象如图

所示的函数可能是().

C.y=/(x)+g(x)-1D.y=/(x)—g(x)—1

【答案】A

【分析】根据函数图象和f(x),g(x)的奇偶性判断.

【详解】易知/O)=/+1是偶函数，g(x)=4sinx是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数,

A.y=h(x)=需警，定义域为R,

x2+l

4sin(-x)

又h(-x)=一鬻=-M>),所以h(x)是奇函数，符合题意，故正确;

(-x)2+l

B.丫=华^=三三，x手kn,kEZ,不符合图象，故错误；

g{x)4sinx

C.y=/i(x)=/(x)+g(%)—1=%2+1+4sinx-1=%2+4sinx,定义域为R,

但九(一%)W九(第),九(一无)H故函数是非奇非偶函数，故错误；

D.y=/i(x)=/(%)—g(x)—1=x2+1—4sinx-1=x2—4sinx,定义域为R,

但以-%)。九(%),/1(-%)。-/1(x)，故函数是非奇非偶函数，故错误，

故选:A

2.(2024・湖南.二模)已知函数/(无)的部分图象如图所示，则函数/(为的解析式可能为()

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.

【详解】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；

由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；

由图可知，当X—+8时，y—00,

而对于D选项，当X—+8时，y->0,故排除D.

故选：A.

3.(2024•广东江门•二模)若函数f(x)的图象与圆C:/+必=4恰有4个公共点，则“久)的解析式可以为()

A./(x)=||x|-2|B.f(x)=x2-2|x|

C.f(x)=i|2X-2|D.f(x)=|lgx2|

【答案】D

【分析】利用绝对值函数的图象特征，分别作出选项中的函数图象，观察即可判断.

【详解】作出y=I团—21,y=|2,-2］的图象，如图1所示，

作出y=/一2|x|,y=|lg久2|的图象，如图2所示，由图可知，f(x)=|lg久满足题意.

故选：D.

考点四、函数零点及零点个数

典例引领

1.(22-23高三上•江西鹰潭•阶段练习)函数/(乃=(31—27)ln(x—1)的零点为()

A.2,3B.2C.(2,0)D.(2,0),(3,0)

【答案】A

【分析】根据给定条件，解方程求出函数零点作答.

【详解】由/O)=0,得(3、-27)ln(x-1)=0,即3%-27=0或ln(x-1)=0,解得x=3或％=2,

所以函数f(x)=(3*—27)ln(x—1)的零点为2,3.

故选：A

2.(2023高三•全国•专题练习)已知指数函数为/=4%则函数y=/(x)-2，+1的零点为()

A.-1B.0

C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定条件，解指数方程即可作答.

【详解】函数f(x)=4L由f(x)-2，+1=0,即4，-2工+1=0,整理得2/2,-2)=0,解得x=l,

所以函数y=/(x)-2，+】的零点为1.

故选：C

♦♦即时检测

1.(22-23高三•全国•对口高考)已知a=$方程=Ilog。久|的实根个数为.

【答案】2

【分析】分别作出f(x)=。㈤和9(%)=1。的图象，结合图象即可得到答案.

【详解】由a=贝。(|)”=卜ogy，

则令/'(%)=(-),g(x)=log|X,

分别作出它们的图象如下图所示，

由图可知，有两个交点，所以方程a闭=llogMl的实根个数为2.

故答案为：2.

2.(2023・全国•模拟预测)已知函数/'(x)满足/'(%+=f(久-弓)■当％6［0,3)时，/(%)=2%3—II%2+14%,

则f(x)在［-120,120］上的零点个数为.

【答案】161

【分析】由条件先得出函数的最小正周期为3,解方程/(x)=2x3-II%2+14%=0得x£[0,3)上的零点个

数，由周期即可确定在[-120,120]上的零点个数.

【详解】因为函数八X)满足+|)=f(x

所以f(x+3)=f(x),所以f(x)的最小正周期为3,

当%E[0,3)时，令/(%)=2x3—II%2+14%=0=>x(x—2)(2%-7)=0,

解得％=0或久=2,所以当第£[0,3)时，/(%)有两个零点，

所以"X)在[-120,120]上的零点个数为2X詈X2+1=161个.

故答案为：161.

考点五、复合函数的零点

典例引领

]]g(—|+1,%<0

1.(23-24高三上•河北张家口•阶段练习)已知函数/(久)=小工,'n，则函数y=产(%)-3/(久)+2

R+1,久20

的零点个数是()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】将函数y=产0)-3/(%)+2的零点个数转化为方程/(X)=1和f(x)=2根的个数，然后再转化为

函数fG)与y=Ly=2图象交点个数，最后结合图象判断即可.

【详解】函数y=f2(x)-3/(%)+2=[/(%)-l][/(x)-2]的零点，

]]g(——)I+1,%V0

即方程"%)=1和f(x)=2的根，函数/(%)=/1V'的图象，如下图所示：

(-1+1,%>0

由图可得方程/(%)=1和/(%)=2的根，共有4个根，即函数y=2/2(%)一3/(%)+1有4个零点.

故选：C.

2.(2022高三上.河南.专题练习)已知函数/⑺=If二%n贝的=/(/«)一1的零点个数为()

一[久十J.),XU,

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】画出/(x)的大致图象，由y=/(〃>))一1=0,逐层进行求解，从而求得正确答案.

【详解】作出函数/(£)的大致图象如图所示，

由e*—3=1解得x=ln4,由2—(x+I)2=1解得x=—2或x=0,/(-I)=2.

令(x))-1=0,得f(f(x))=1，

得/(x)=-2或/(x)=。或/(%)=ln4,

结合图象可知：

当/(x)=-2时，有1个解；当/(X)=0时有2个解；

当/Q)=ln4时，由于l<ln4<2,所以有3个解，

故y=CO)-1的零点个数为6.

故选：C

即时

1.(23-24高三上•天津•期中)已知函数/(%)=/+2%+7n,/nER,若函数/(/(%))有且只有一个零点，则

()

A.m>1B.m<0

C.0<m<1D.—1<m<0

【答案】C

【分析】由/(%)=。有解得出m<1,同时否定m=1,m<1时/(%)=0有两根一1±V1-m,由大根等于

/(%)的最小值可得血值，然后再判断各选项.

【详解】显然f(%)=0有解，因此△=4一46N0,m<1,

若血=1,贝好(%)=/+2%+i只有一个零点％=一1,但此时〃%)=一1无实解，/丁(%))无零点，

2

所以m<1,/(x)=(x+I)+m—1,/(x)min=m-1,

由/(%)=0得1=-1±V1-m,由题意一1+y/1—m=m-1,解得TH=二二二(m=舍去),所以血=

二^时f(f(%))只有一个零点，它只满足c,

故选：C.

2.(23-24高三上•山东济宁•期中)已知函数/(久)=%i~，则函数y=/[/■(;<)—1]的零点个数

Iin(xji-fx<nu

是().

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】

令/(%)-1=t,先求出使/(t)=。时的t的值，然后画出函数/(%)和函数y=t+1,其中te｛0,2,功｝的图象，

观察其交点个数即可得答案.

【详解】由已知/[/(%)—1]=0,

令/(%)-1=t,即f(£)=0,

当°时，得L=0或以=2,

当+?=0时，明显函数g(t)=1n(—t)+；在(—8,0)上单调递减，且g(_l)=_1<0,g(—2)=ln2-

It<0f

|=ln2—InVe>0,g(-l)g(-2)<0,

故存在《36(—2,—1),使ln(—%)+古=0,

画出/出=｛(卬—%-2)_+1_:2,Y久V>二f)。的图象如下,

再画出直线、=1+1,其中te｛ozj｝，

观察图象可得交点个数为5个，

即函数y=/[/(%)-1]的零点个数是5.

故选：D.

3.(23-24高三上•河北•阶段练习)己知函数/O)=广-I则函数g(x)=[f(x)K—九/⑺]的所有

((1~~乙)fXU,

零点之和为()

A.2B.3C.0D.1

【答案】D

【分析】令t=/(%),得到g(t)=t2-f⑴,令g(t)=0,可得严=f(t),列出方程求得t=±i，得到"%)=±1,

在结合函数的解析式，列出方程，即可得到答案.

【详解】由函数g(x)=[T(x)]2—/[/(*)],令t=/(%),贝叼(t)

令g(t)=0,可得[2=y(t),

当t>0时，由/=/(t),可得/=«-2)2,即—4t+4=0,解得t=l；

当t<0时，由/=f(t),可得产=2t+3,即产―2t—3=0,解得t=-1或t=3(舍去)，

所以t=±l,即八>)=±1,

当x>0时，令(x-27=1或(x-2/=-1(舍去)，解得x=1或％=3；

当x<0时，令2x+3=±l,解得x=-l或x=-2,

所以函数g(x)=[/COK—/[/(切]的零点之和为1+3-1-2-1.

故选：D.

4.(2024.全国.模拟预测)已知函数/(%)=j>1,若函数g(%)=[f(x)]2-有两个不同的零点,

则实数a的取值范围为()

A-[-1,0)U[^,e)B.|o,?)u{e}

C-{一分40,蜘©+8)D,卜RuM)

【答案】C

【分析】根据题意，先判断f(X)在(-8,1]和(1,+8)上的单调性和最值，再作出函数八%)的大致图象，将函

数的零点问题转化为方程根的问题，从而数形结合得结果.

【详解】当％41时,/'(%)=(%+l)e%,当%€(-8,-1)时，((%)v0,

当%时,/"(%)>0,所以/(%)在(-8,-1)上单调递减,在上单调递增,_a/(x)min=/(-I)=

一%当久<0时，f(x)=xex<0.

当%>1时尸(%)=上,当'E(1,2)时，/'(%)<0,

当Xe(2,+8)时，尸(X)>0,所以f(X)在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，且f(x)min=/⑵=y.

4

作出函数f(x)的大致图象，如图所示，

由图象可知，X=0是函数f(X)的零点，要使函数g(x)=[/(x)]2-a/O)有两个不同的零点，则方程[/(乃产-

a/(x)=0有两个不相等的实数根，等价于久支)=a有1个非零实数根.

由图可知a=—或0<a<z或a>e,即ae{—}U(0,冷)U(e,+oo).

故选：C.

【点睛】此类问题的常用解法是将函数的零点问题转化为方程根的问题，利用数形结合法得到结果，需要

会熟练应用导数判断单调性、求最值并作出函数的大致图象.

考点六、二分法的应用

典例引领

1.（2023高三・全国・专题练习）用二分法求函数/（久）=111（久+1）+久-1在区间（0,1）上的零点，要求精确度

为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过n（neN*）次操作后，

区间长度变为林，若要求精确度为0.01时则亲＜0.01,解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.

【详解】因为开区间（0,1）的长度等于1,每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，

所以经过n（nGN*）次操作后，区间长度变为会，

令看＜0.01,解得nN7,且neN*,

故所需二分区间的次数最少为7.

故选：C.

2.（22-23高三・全国•对口高考）函数/（久）在（1,2）内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01,贝U对

区间（1,2）至少二等分（）

A.5次B.6次C.7次D.8次

【答案】C

【分析】根据|a-b|＜0.01以及二分法，确定至少需要的二等分的次数.

【详解】区间（1,2）的长度为1,第1次二等分，区间长度变为也

第2次二等分，区间长度变为：；第3次二等分，区间长度变为《；第4次二等分，区间长度变为名第5次二

2乙2?

等分，区间长度变为今第6次二等分，区间长度变为专＞0.01,

2n2°

第7次二等分，区间长度变为/＜0.01.

所以要使零点的近似值满足精确度为0.01,则对区间（1,2）至少二等分7次.

故选：C

1.（2023・辽宁大连•一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可导函数/Q）在殉附近

一点的函数值可用/（%）=/（而）+尸（而）0-沏）代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可

快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法，解方程/—3久+1=0,选取初始值配=也在下面四个

选项中最佳近似解为（）

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【答案】D

【分析】求出迭代关系为/+1=/-察=条快6%),结合式。=；逐项计算可得出结果.

【详解】令f(%)=%3-3x+1,贝!)/'(%)=3%2-3,

-FQo)

令f(%)=0,即f(%o)+//(x0)(x一％o)R0,可得%«%o

f(Xk)_墟-3冲+1_2说-1、

Xv(e

迭代关系为4+1=Xk--k-------3R一N),

2X—112x?—12X175

取％0=|,则=箸1T-=1,%="=史《0.34722,

Z3%0-§3X--33/3好-33X--372

419

故选：D.

2.(2023・广西•模拟预测)人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，

给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用，例如求方

程/+2/+3%+3=0的近似解，先用函数零点存在定理，令/(%)=/+2%2+3%+3,/(-2)=-3<0,

/(-1)=1>0,得(—2,-1)上存在零点，取Xo=—1,牛顿用公式Xn=Xn_i—点用反复迭代，以马作为

Jvxn-i)

f(x)=0的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为；以(-2,-1)为初始区间，用二分法计算两次后，

以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为.

【答案】—

5o

【分析】由牛顿法公式结合二分法的定义求解即可.

【详解】已知/(%)=%3+2x2+3%+3,贝!]((汽)=3/+4%+3.

迭代1次后，%】=；：=-=一|，

迭代2次后，尤2=一|一=_|一琼=_:，

用二分法计算第1次，区间(—2,—1)的中点为—|,/(—1)=_|<0,<0,

所以近似解在(-1,—1)上；

用二分法计算第2次,区间(―|,—1)的中点为—1/(—£)=U>o,/(-|)/(-；)<0,所以近似解在

(-|,一[)上，取其中点值—5，所求近似解为一孩.

故答案为：—

5o

3.(23-24高三下•北京•阶段练习)函数/(%)=ln(2x)-1的一个零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【分析】先判断/O)的单调性，结合零点存在性定理分析判断.

【详解】因为/(x)的定义域为(0,+8),且y=ln(2x),y=-：在(0,+8)内单调递增，

可知f(x)在(0,+8)内单调递增，

且/'(1)=ln2-1<0,/(2)=ln4-1>0,

所以函数/(x)的唯一一个零点所在的区间是(1,2).

故选：B.

IN.好题冲关

A基础过关

1.(2019高三・全国・专题练习)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()

【答案】C

【分析】根据零点的存在定理及二分法分析各选项的函数图象，即可得到答案.

【详解】根据二分法的思想，函数f(x)在区间［a,0上的图象连续不断，且/(a)"(b)<0,即函数的零点是

变号零点，才能将区间(a,b)一分为二，逐步得到零点的近似值.

对各选项的函数图象分析可知，A,B,D都符合条件，

而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点.

故选：C.

2.(23-24高三下•福建厦门・强基计划)/Q)=tanKsinx—sinx—tanx+1在［0,2兀］上的零点个数()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】借助因式分解的方法，结合特殊角的三角函数值求解即得.

【详解】依题意，f(x)=tanxsinx-sinx-tanx+1=(tanx—l)(sinx—1),

而工€［0,2兀］,显然x7彳且x4因此sinx71,

由/'(X)=0，得tanx=1,解得x或％=：兀，

所以f(x)在［0,2句上的零点个数是2.

故选：B

3.(2024陕西安康•模拟预测)函数fO)=Inx+x2-2的零点所在区间是()

A.(0,f)B.(f,l)C.(1,V2)D.(V2.2)

【答案】c

【分析】由零点存在性定理可得答案.

【详解】因为函数f(x)的定义域为(0,+8),又尸(x)=1+2x>0,易知函数f(x)在(0,+8)上单调递增,

又f(l)=-l<0,f(&)=lnV^=3n2>0,所以在(1,夜)内存在一个零点而，使汽通)=0.

故选：C.

4.(2024・江苏盐城•模拟预测)函数y=cos%与y=lg|%]的图象的交点个数是()

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.

【详解】函数y=cos%与y=lg|%|都是偶函数，其中cos2兀=COS4K=1,lg4兀>IglO=1>恒2兀,

在同一坐标系中，作出函数y=cos%与y=lg|%]的图象，如下图，

kg网尸COSTI

・4兀、37tz・2兀、2兀4兀攵

由图可知，两函数的交点个数为6.

故选：D

5.(23-24高三下•江西•阶段练习)设函数/(%)=sin(2a)]+9(3>0)在(0,£)上有且仅有1个极值点和1个

36

零点，皤)=。，则3=()

A.-B.-C.—D.—

3366

【答案】A

【分析】由以》=0求出3的表达式，再由极值点及零点个数求出3的范围即可得解.

【详解】当久€(0勺时，23%+江邑哼+9,依题意，兀〈亭+三J解得2<3记，

633333322

由/(])=0,得3兀+(=k兀,kEN*,解得3=k—所以k=3,3=*

故选：A

x>0

6.(22-23高三上•甘肃定西•阶段练习)已知函数/(久)=[x',若关于x的方程/(*)=a恰有

I2x2+4%+1,%<0

三个实数根，贝Ua的取值范围为.

【答案】(0,1]

【分析】将问题转化为函数y=f(x)与y=a的图象的交点个数为3,作出函数图象，结合图象求解即可.

【详解】关于x的方程/(久)=a恰有三个实数根等价于函数y=f(x)与y=a的图象的交点个数为3,

y=/0)的图象如图所示，

由图可知当0<aWl时，两函数图象有3个交点，

所以a的取值范围为(0,1],

故答案为：(0,1]

7.(2024.河南.二模)已知函数/(久)是偶函数,对任意％eR,均有/(久)=7(%+2),当％G[0,1]时,/(%)=1-%,

则函数g(x)=/(x)-log5(x+1)的零点有个.

【答案】4

【分析】转化为函数y="X)的图象与y=log5(%+1)的图象的交点个数即可求解.

【详解】函数久%)是偶函数，说明函数f(x)的图象关于y轴对称，f(x)=f(x+2)说明f(x)的周期是2,

在同一平面直角坐标系中画出函数y=/(x)的图象与y=log5(x+1)的图象，如图所示：

X=/^=10g50Etl)

-3-2-y01234567%

如图所示，共有4个不同的交点，即g(x)=/(x)-log5(x+1)有4个零点.

故答案为：4.

B能力提升

1.(2024高三•全国・专题练习)方程等｝+X2-4=0的实根个数为()

V4-X2

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】解法一：令f(x)=碧J+%2—4,利用导数研究函数/(")的单调性，结合零点的存在性定理可知

f(x)在[0,+8)上有一个零点，即可求解；解法二：令x=2cosa(0WxW兀)，将原方程转化为sina-coscr=

解出方程的解即可.

【详解】解法一：令/(>)=萼+/—4,定义域为(—2,2),

232

3(1+X)V4=X2-(1+X)-7^=(1+X)[3V4=X2+^1S1

f'M=-----------W+