备战中考数学真题题源解密专题13几何图形初步（5类重点考向）含答案及解析

专题13几何图形初步目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一认识立体图形►考向二几何体的展开与折叠►考向三有关角的计算问题►考向四余角、补角与对顶角、邻补角►考向五平行线的性质与判定最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1.掌握五个基本事实；2.会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义；3.理解角的概念，能比较角的大小．认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差；4.理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(等角)的余角相等、同角(等角)的补角相等的性质；识别同位角、内错角、同旁内角；5.理解垂线、垂线段的概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；6.理解平行线的概念；掌握平行线的性质定理；探索并证明平行线的判定定理和性质定理；7.了解平行于同一条直线的两条直线平行；8.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义．结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；9.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．通过实例体会反证法的含义．该版块内容是初中几何的基础，是非常基础也是非常重要的，年年都会考查，分值为8分左右，预计2023年各地中考还将出现，大部分地区在选填题中考察可能性较大，主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握。►考向一认识立体图形1．（2023•乐山）下面几何体中，是圆柱的为（）A． B． C． D．2．（2023•娄底）一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是3：2：1，如果分别按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为PA、PB、PC（压强的计算公式为P＝），则PA：PB：PC＝（）A．2：3：6 B．6：3：2 C．1：2：3 D．3：2：12．（2023•巴中）如图所示图形中为圆柱的是（）A． B． C． D．►考向二几何体的展开与折叠3．（2023•达州）下列图形中，是长方体表面展开图的是（）A． B． C． D．4．（2023•威海）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点5．（2023•青岛）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（）A．31 B．32 C．33 D．34►考向三有关角的计算问题6．（2022•烟台）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（）A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°7．（2022•湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝．8．（2019•烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是．►考向四余角、补角与对顶角、邻补角解题技巧/易错易混1.识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．2.互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个9．（2023•北京）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（）A．36° B．44° C．54° D．63°10．（2023•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（）A．30° B．50° C．60° D．80°11．（2022•桂林）如图，直线l1，l2相交于点O，∠1＝70°，则∠2＝°．►考向五平行线的性质与判定12．（2023•绵阳）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝122°，∠2的度数为（）A．32° B．58° C．68° D．78°13．（2023•重庆）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．50° D．55°14．（2023•金华）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（）A．120° B．125° C．130° D．135°1．（2022•自贡）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数是（）A．30° B．40° C．60° D．150°2．（2022•河北）①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（）A．①③ B．②③ C．③④ D．①④3．（2023•临沂）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（）A．50° B．80° C．130° D．150°4．（2023•河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（）A．南偏西70°方向 B．南偏东20°方向 C．北偏西20°方向 D．北偏东70°方向5．（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°6．（2023•金昌）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（）A．60° B．70° C．80° D．85°7．（2023•临沂）在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是（）A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定8．（2022•泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．70°9．（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠410．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°11．（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行12．（2021•铜仁市）直线AB、BC、CD、EG如图所示，∠1＝∠2＝80°，∠3＝40°，则下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．∠EBF＝40° C．∠FCG+∠3＝∠2 D．EF＞BE13．（2023•内蒙古）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°14．（2023•荆州）如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是（）A．80° B．76° C．66° D．56°15．（2023•常州）若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是（用含a的代数式表示）．16．（2023•无锡）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该直三棱柱的表面积为．17．（2022•百色）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为°．18．（2022•玉林）已知：α＝60°，则α的余角是°．19．（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A＝°．20．（2022•西藏）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：（1）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；（2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为．21．（2023•镇江）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．第一次的拐角∠ABC是140°，第二次的拐角∠BCD是°．22．（2021•兰州）将一副三角板如图摆放，则∥，理由是．23．（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．24．（2023•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．（1）求证：∠E＝∠ECD；（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状．25．（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度数；（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．

主题四平面几何专题13几何图形初步直线的性质1.两条直线相交，只有一个交点；2.经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；3.直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．线段的性质两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．线段的中点性质若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．垂线的性质1.两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2.①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．点到直线的距离从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．角有公共端点的两条射线组成的图形．角平分线1.定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线.2.角平分线的性质：①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．②角平分线上的点到角两边的距离相等。度、分、秒的运算方法1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．余角和补角1.余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2.补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．3.性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．方向角和方位角在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三线八角1.直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．2.除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：对顶角1.定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．2.性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．平行线1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．2.平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行．（2）内错角相等，两直线平行．（3）同旁内角互补，两直线平行．（4）平行于同一直线的两直线互相平行．（5）垂直于同一直线的两直线互相平行．3.平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．4.平行线间的距离（1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．（2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．

专题13几何图形初步目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一认识立体图形►考向二几何体的展开与折叠►考向三有关角的计算问题►考向四余角、补角与对顶角、邻补角►考向五平行线的性质与判定最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1.掌握五个基本事实；2.会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义；3.理解角的概念，能比较角的大小．认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差；4.理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(等角)的余角相等、同角(等角)的补角相等的性质；识别同位角、内错角、同旁内角；5.理解垂线、垂线段的概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；6.理解平行线的概念；掌握平行线的性质定理；探索并证明平行线的判定定理和性质定理；7.了解平行于同一条直线的两条直线平行；8.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义．结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；9.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．通过实例体会反证法的含义．该版块内容是初中几何的基础，是非常基础也是非常重要的，年年都会考查，分值为8分左右，预计2023年各地中考还将出现，大部分地区在选填题中考察可能性较大，主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握。►考向一认识立体图形1．（2023•乐山）下面几何体中，是圆柱的为（）A． B． C． D．【思路点拨】根据各个选项中的几何体的形体特征进行判断即可．【规范解答】解：A．选项中的几何体是圆锥体，因此选项A不符合题意；B．选项中的几何体是球体，因此选项B不符合题意；C．选项中的几何体是圆柱体，因此选项C符合题意；D．选项中的几何体是四棱柱，因此选项D不符合题意；故选：C．【真题点拨】本题考查认识立体图形，掌握圆柱体，圆锥体，棱柱，球的形体特征是正确判断的前提．2．（2023•娄底）一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是3：2：1，如果分别按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为PA、PB、PC（压强的计算公式为P＝），则PA：PB：PC＝（）A．2：3：6 B．6：3：2 C．1：2：3 D．3：2：1【思路点拨】根据A、B、C三个面的面积比是3：2：1，设出A、B、C三个面的面积分别是3a，2a，a，再根据压强的计算公式为P＝表示PA＝，PB＝，PC＝，计算化简PA：PB：PC即可．【规范解答】解：设A、B、C三个面的面积分别是3a，2a，a，则PA＝，PB＝，PC＝，∴PA：PB：PC＝：：＝：：1＝：：＝2：3：6，故选：A．【真题点拨】本题以物理上的压强为背景，考查了分数比的化简，通分是关键．2．（2023•巴中）如图所示图形中为圆柱的是（）A． B． C． D．【思路点拨】根据圆柱的特点进行判断即可．【规范解答】解：由圆柱的特征可知，B选项是圆柱．故选：B．【真题点拨】本题主要考查的是认识立体图形，认识常见几何图形是解题的关键．►考向二几何体的展开与折叠3．（2023•达州）下列图形中，是长方体表面展开图的是（）A． B． C． D．【思路点拨】根据长方体的展开图得出结论即可．【规范解答】解：由题意知，图形可以折叠成长方体，故选：C．【真题点拨】本题主要考查长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．4．（2023•威海）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【思路点拨】把图形围成立体图形求解．【规范解答】解：把图形围成立方体如图所示：所以与顶点K距离最远的顶点是D，故选：D．【真题点拨】本题考查了平面图形和立体图形，掌握空间想象力是解题的关键．5．（2023•青岛）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（）A．31 B．32 C．33 D．34【思路点拨】根据正方体表面展开图的特征，判断“对面”“邻面”上的数字，再该结合体的摆放方式得出答案．【规范解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“1”与“3”，“2”与“4”，“5”与“6”是对面，因此要使图②中几何体能看得到的面上数字之和最小，最右边的那个正方体所能看到的4个面的数字为1、2、3、5，最上边的那个正方体所能看到的5个面的数字为1、2、3、4、5，左下角的那个正方体所能看到的3个面的数字为1、2、3，所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为11+15+6＝32，故选：B．【真题点拨】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”是正确解答的前提．►考向三有关角的计算问题6．（2022•烟台）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（）A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°【思路点拨】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出∠DAC的度数，即可解答．【规范解答】解：如图：由题意得：∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，∵AD∥BE，∴∠DAB＝∠ABE＝40°，∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°，故选：A．【真题点拨】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．7．（2022•湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝40°．【思路点拨】根据平面镜反射的规律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，根据三角形内角和定理求出∠OED的度数，即可得到∠AEF＝∠OED的度数．【规范解答】解：∵一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∴∠AEF＝∠OED＝40°．故答案为：40°．【真题点拨】本题考查了角的计算，根据平面镜反射的规律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED是解题的关键．8．（2019•烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是45°．【思路点拨】根据折叠的轴对称性，180°的角对折3次，求出每次的角度即可；【规范解答】解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，∠AOB＝22.5°×2＝45°；故答案为45°．【真题点拨】本题考查轴对称的性质；能够通过折叠理解角之间的对称关系是解题的关键．►考向四余角、补角与对顶角、邻补角解题技巧/易错易混1.识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．2.互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个9．（2023•北京）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（）A．36° B．44° C．54° D．63°【思路点拨】先求出∠COD的度数，然后根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．【规范解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，∵∠BOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣36°＝54°．故选：C．【真题点拨】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据角的和差首先求出∠COD的度数．10．（2023•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（）A．30° B．50° C．60° D．80°【思路点拨】由对顶角的性质得到∠AOD＝∠1＝80°，即可求出∠AOE的度数．【规范解答】解：∵∠AOD＝∠1＝80°，∴∠AOE＝∠AOD﹣∠2＝80°﹣30°＝50°．故选：B．【真题点拨】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的性质：对顶角相等．11．（2022•桂林）如图，直线l1，l2相交于点O，∠1＝70°，则∠2＝70°．【思路点拨】根据对顶角的性质解答即可．【规范解答】解：∵∠1和∠2是一对顶角，∴∠2＝∠1＝70°．故答案为：70．【真题点拨】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题的关键．►考向五平行线的性质与判定12．（2023•绵阳）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝122°，∠2的度数为（）A．32° B．58° C．68° D．78°【思路点拨】根据平行线的性质即可得到结论．【规范解答】解：∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．∵水中的两条折射光线平行，∴∠2＝∠3＝58°．故选：B．【真题点拨】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．13．（2023•重庆）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．50° D．55°【思路点拨】根据平行线的性质，可以求得∠BAC+∠1＝180°，然后根据∠1的度数和AD⊥AC，即可得到∠2的度数．【规范解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠1＝180°，∵∠1＝55°，∴∠BAC＝125°，∵AD⊥AC，∴∠CAD＝90°，∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝35°，故选：A．【真题点拨】本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．（2023•金华）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（）A．120° B．125° C．130° D．135°【思路点拨】由同位角相等两直线平行得到a与b平行，再由两直线平行同旁内角互补，求出∠5的度数，根据对顶角相等即可求出∠4的度数．【规范解答】解：∵∠1＝∠3＝50°，∴a∥b，∴∠5+∠2＝180°，∵∠2＝50°，∴∠5＝130°，∴∠4＝∠5＝130°．故选：C．【真题点拨】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．1．（2022•自贡）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数是（）A．30° B．40° C．60° D．150°【思路点拨】根据对顶角相等可得∠2＝∠1＝30°．【规范解答】解：∵∠1＝30°，∠1与∠2是对顶角，∴∠2＝∠1＝30°．故选：A．【真题点拨】本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等．2．（2022•河北）①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（）A．①③ B．②③ C．③④ D．①④【思路点拨】根据组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成直接判断即可．【规范解答】解：由题意知，组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成，∴①④符合要求，故选：D．【真题点拨】本题主要考查立体图形的拼搭，根据组合后的几何体形状做出判断是解题的关键．3．（2023•临沂）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（）A．50° B．80° C．130° D．150°【思路点拨】本题根据∠ABC的位置和量角器的使用方法可得出答案．【规范解答】解：根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．故选：C．【真题点拨】本题主要考查了学生量角器的使用方法，结合∠ABC的位置进行思考是解题关键．4．（2023•河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（）A．南偏西70°方向 B．南偏东20°方向 C．北偏西20°方向 D．北偏东70°方向【思路点拨】根据题意可得：∠ABC＝70°，AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠ABC＝∠DCB＝70°，从而根据方向角的定义，即可解答．【规范解答】解：如图：由题意得：∠ABC＝70°，AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB＝70°，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向，故选：D．【真题点拨】本题考查了方向角的定义，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．5．（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°【思路点拨】根据互余两角之和为90°计算即可．【规范解答】解：∵∠A＝40°，∴∠A的余角为：90°﹣40°＝50°，故选：A．【真题点拨】本题考查的是余角的定义，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．6．（2023•金昌）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（）A．60° B．70° C．80° D．85°【思路点拨】根据BM⊥CD，得∠CBM＝90°，所以∠ABE+∠FBM＝40°，再根据∠ABE＝∠FBM，得∠ABE＝∠FBM＝20°，即可得∠EBC＝20°+50°＝70°．【规范解答】解：如图，∵BM⊥CD，∴∠CBM＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∵∠ABE＝∠FBM，∴∠ABE＝∠FBM＝20°，∴∠EBC＝20°+50°＝70°．故选：B．【真题点拨】本题主要考查了垂线和角的计算，解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识．7．（2023•临沂）在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是（）A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定【思路点拨】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出答案．【规范解答】解：∵l⊥m，n⊥m，∴l∥n．故选：C．【真题点拨】本题考查了垂线和平行线，熟练掌握同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行是关键．8．（2022•泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．70°【思路点拨】首先利用平行线的性质得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最后利用角的和差关系求解．【规范解答】解：如图所示，∵直线a∥b，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝130°，∴∠DAC＝130°，又∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．故选：B．【真题点拨】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确平行线的性质，求出∠DAC的度数．9．（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4【思路点拨】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．【规范解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠1和∠2是对顶角，故A错误；B、∠1和∠3是同位角，故B正确；C、∠2和∠3是内错角，故C错误；D、∠3和∠4是邻补角，故D错误．故选：B．【真题点拨】解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．10．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°【思路点拨】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．【规范解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；故选：C．【真题点拨】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．11．（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行【思路点拨】由平行的判定求解．【规范解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．【真题点拨】本题考查平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定方法．12．（2021•铜仁市）直线AB、BC、CD、EG如图所示，∠1＝∠2＝80°，∠3＝40°，则下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．∠EBF＝40° C．∠FCG+∠3＝∠2 D．EF＞BE【思路点拨】根据平行线的判定、对顶角相等及三角形的外角定理求解判断即可得解．【规范解答】解：∵∠1＝∠2＝80°，∴AB∥CD，故A正确，不符合题意；∵∠3＝40°，∴∠EFB＝∠3＝40°，∵∠1＝∠EBF+∠EFB，∴∠EBF＝40°＝∠EFB，∴EF＝BE，故B正确，不符合题意；故D错误，符合题意；∵∠2是△FCG的外角，∴∠FCG+∠3＝∠2，故C正确，不符合题意；故选：D．【真题点拨】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理及三角形的外角定理是解题的关键．13．（2023•内蒙古）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【思路点拨】根据平行线的性质得到∠ABD＝∠EDF＝45°，则∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC，代入数据即可求出．【规范解答】解：∵AB∥FC，∴∠ABD＝∠EDF＝45°，又∵∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC，∴∠CBD＝45°﹣30°＝15°，故选：B．【真题点拨】本题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，熟悉一副直角三角板各角的度数是解题的关键．14．（2023•荆州）如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是（）A．80° B．76° C．66° D．56°【思路点拨】延长AB交EG于M，延长CD交FG于N，过G作GK∥AB，得到GK∥CD，推出∠KGM＝∠EMB，∠KGN＝∠DNF，得到∠EGF＝∠EMB+∠DNF，由三角形外角的性质得到∠EMB＝33°，∠DNF＝33°，即可求出∠EGF的度数．【规范解答】解：延长AB交EG于M，延长CD交FG于N，过G作GK∥AB，∵AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGM＝∠EMB，∠KGN＝∠DNF，∴∠KGM+∠KGN＝∠EMB+∠DNF，∴∠EGF＝∠EMB+∠DNF，∵∠ABE＝80°，∠E＝47°，∴∠EMB＝∠ABE﹣∠E＝33°，同理：∠DNF＝33°，∴∠EGF＝∠EMB+∠DNF＝33°+33°＝66°．故选：C．【真题点拨】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是通过作辅助线，由平行线的性质，得到∠EGF＝∠EMB+∠DNF，由三角形外角的性质求出∠EMB、∠DNF的度数，即可解决问题．15．（2023•常州）若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是πa3（用含a的代数式表示）．【思路点拨】直接根据圆柱的体积公式计算即可．【规范解答】解：圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是πa2•a＝πa3．故答案为：πa3．【真题点拨】本题考查了认识立体图形，熟练掌握圆柱的体积公式是关键．16．（2023•无锡）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该直三棱柱的表面积为36+2．【思路点拨】由三棱柱三个侧面和上下两个底面的特征，结合侧面展开图是一个边长为6的正方形卡知，上下底面的正三角形的周长为6，即边长为2，然后根据条件公式进而求出表面积即可得出结论．【规范解答】解：依题意可知：直三棱柱的上下底面的正三角形的边长为2，∴其2个底面积为＝2．∵侧面展开图是边长为6的正方形，∴其侧面积为6×6＝36，∴该直三棱柱的表面积为36+2．故答案为：36+2．【真题点拨】此题主要考查了直三棱柱侧面展开图的知识，解题时注意三棱柱的特征，找到所求的量的等量关系是解决问题的关键．17．（2022•百色）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为135°．【思路点拨】根据三角形外角定理进行计算即可得出答案．【规范解答】解：根据题意可得，∠BAC＝90°+45°＝135°．故答案为：135．【真题点拨】本题主要考查了角的计算，熟练掌握角的计算方法进行求解是解决本题的关键．18．（2022•玉林）已知：α＝60°，则α的余角是30°．【思路点拨】根据如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角即可得出答案．【规范解答】解：90°﹣60°＝30°，故答案为：30．【真题点拨】本题考查了余角和补角，掌握如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角是解题的关键．19．（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A＝120°．【思路点拨】根据补角的定义即可得出答案．【规范解答】解：∵∠A的补角为60°，∴∠A＝180°﹣60°＝120°，故答案为：120．【真题点拨】本题考查了余角和补角，掌握如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角是解题的关键．20．（2022•西藏）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：（1）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；（2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为．【思路点拨】根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知：EF是线段AB的垂直平