空间向量与立体几何（解答题）-2020-2024年高考数学试题分类汇编（原卷版）

当题06或同向量鸟皮体几何(解舂盘J

五年考情•探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2023甲乙卷空间几何体表面积体积问题一般采

考点01求空间几何体表2022甲乙卷

2021甲乙卷用等体积法或者是空间向量解决，一

面积体积

2021乙甲卷般出现在第一问。

2020全国III卷

2024甲n卷

2023II乙卷二面角的正弦余弦值是高考空间几

2022III卷何体的高频考点，也是高考的一盒重

考点02求二面角

2021甲乙II卷要的趋势。

2020I卷

2023甲卷

线面角问题是高考中的常考点，方法

考点03求线面角2022甲乙卷

是方向向量与法向量的夹角

2020IIIIII卷

2024I卷

求距离问题是高考I卷的一个重大

考点04已知二面角，求2023I卷

趋势，容易与动点问题相结合

点，距离2021I卷

2024甲卷点到平面的距离问题是高考的一个

考点05求点到面的距离

2021I卷重要题型，应加强这方面的练习

分考点•精准练

考点01求空间几何体体积表面积

1.(2023•全国•统考高考甲卷)如图，在三棱锥P—ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2肥,PB=PC=布,

3c的中点分别为RE,。，点尸在AC上，BF±AO.

A

⑴求证：所〃平面ADO；

⑵若NPOF=120。，求三棱锥P-ABC的体积.

2.(2023•全国•统考高考乙卷)如图，在三棱柱ABC-A与G中，AC，平面ABC,NACB=90。.

(I)证明：平面ACGA，平面2耳GC；

(2)设A8=AB,Aa=2,求四棱锥A-BBCC的高.

3.（2022•全国,统考高考乙卷题）如图，四面体ABCD中，ADLCD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC的

中点.

⑴证明：平面5ED_L平面AC。；

（2）设AB=BD=2,NACB=60。，点尸在8。上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥尸-A5c的体积.

4.（2022・全国•统考高考甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示:

底面ABC。是边长为8（单位：cm）的正方形，AE4B,AFBC,AGCD,AHD4均为正三角形，且它们所在的平

面都与平面ABCD垂直.

（1）证明：£F//平面ABCD；

⑵求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

5.(2021・全国•统考高考乙卷)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，RD_L底面ABCD,比为BC的中点,

且尸3_LAM.

(1)证明：平面R4M_L平面PBD；

(2)若PD=OC=1,求四棱锥尸—ABCD的体积.

6.(2021•全国•高考甲卷题)已知直三棱柱ABC-A与G中，侧面为正方形，AB=BC=2,E,F分

别为AC和CC,的中点，BF±4s.

(1)求三棱锥b-EBC的体积；

(2)已知。为棱4片上的点，证明：BFLDE.

7.(2020•全国•统考高考回卷题)如图，D为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AABC是底面的内接正三

角形，尸为。。上一点，EMPC=90°.

(1)证明：平面外BI3平面％C；

(2)设。0=拒，圆锥的侧面积为扃，求三棱锥P-ABC的体积.

8.(2020•全国•统考高考回卷)如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，M,

N分别为BC,&G的中点，P为4M上一点.过&G和P的平面交AB于E,交AC于F.

(1)证明：AA1//MN,且平面44WNIB平面EB】GF；

兀

(2)设。为财汨心的中心,若AO=AB=6,A。〃平面EBQF,且回MPN=§,求四棱锥B-EB】QF的体积.

考点02求二面角

1（2024・全国•高考H）如图，平面四边形48CD中，AB=8,CO=3,4。=54，ZADC=90°,ZBAD=3（f,

__,2__.__.i__

点E,F^^AE=-AD,AF=-AB,将△曲沿所翻折至！尸£尸，使得尸C=4jL

⑴证明：EF1PD；

⑵求平面PC。与平面尸所成的二面角的正弦值.

2(2024•全国•高考甲卷)如图，在以A,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形ABC。与四边形AOE产

均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AO=4,AB=BC=£F=2,ED=^0,FB=2^,M为AD的中点.

(1)证明：BM//平面COE；

⑵求二面角尸―3M—E的正弦值.

3.(2023全国•统考新课标国卷)如图，三棱锥A—3co中，DA=DB=DC,BD±CD,ZADB=ZADC=60°,

E为BC的中点.

⑴证明：BCYDA；

(2)点/满足访=次，求二面角O-AB-尸的正弦值.

4.(2023•全国•统考高考乙卷)如图，在三棱锥尸-ABC中，AB±BC,AB=2,BC=2插,PB=PC=5

BP,AP,BC的中点分别为。，E,O,AD=45DO,点/在AC上，BF1AO.

(1)证明：£F//平面ADO；

(2)证明：平面ADO_L平面BEP；

⑶求二面角Q-AO-C的正弦值.

5.（2022•全国•新课标回卷）如图，直三棱柱ABC-A4G的体积为4,的面积为2&.

⑴求A到平面ABC的距离；

（2）设。为A。的中点，AAt=AB,平面ABC,平面,求二面角A—3。—C的正弦值.

6.（2022全国•统考新课标团卷）如图，P。是三棱锥P-ABC的高，PA=PB,AB1AC,E是PB的中点.

(1)证明：OE//平面PAC；

(2)^ZABO=ZCBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE-8的正弦值.

7.（2021，全国•统考高考乙卷）如图，四棱锥尸-ABC。的底面是矩形，底面ABCD,PD=DC=1,M

为3c的中点，且尸3_LAM.

（1）求BC；

（2）求二面角A-尸加-3的正弦值.

8.（2021•全国•统考高考甲卷）已知直三棱柱ABC-ABC中，侧面为正方形，AB=BC=2,E,F

分别为AC和CG的中点，。为棱44上的点.BF1

（1）证明：BFVDE-,

（2）当耳。为何值时，面84GC与面OEE所成的二面角的正弦值最小?

9.(2021全国•统考新课标回卷)在四棱锥。-ABC。中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=QA…QC=3.

(1)证明：平面QAOJ■平面ABCD；

(2)求二面角的平面角的余弦值.

10.(2020•全国•国卷)如图，D为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.A4BC是

底面的内接正三角形，尸为DO上一点，PO=®DO.

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(1)证明：外，平面P8C；

(2)求二面角3-尸C—E的余弦值.

考点03求线面角

1(2023•全国•统考高考甲卷)如图，在三棱柱ABC-A8c中，4夕_1底面ABC,NACB=90。,44)=2,4

到平面8CG4的距离为1.

(1)证明：AC=AC；

⑵已知A4与BBI的距离为2,求A片与平面BCCE所成角的正弦值.

2.(2022•全国•统考高考乙卷)如图，四面体ABCD中，AD工CD,AD=CD,ZADB=NBDC,£为AC的中

点.

⑴证明：平面平面ACD；

(2)设AB=8D=2,NACB=60。，点尸在上，当△的(7的面积最小时，求CF与平面4步所成的角的正弦

值.

3.（2022•全国•统考高考甲卷）在四棱锥尸中，尸£），底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=y/3.

⑴证明：BD±PA；

(2)求P£)与平面所成的角的正弦值.

4.(2020•全国•新课标团卷)如图，四棱锥P/BCD的底面为正方形，PZ龙底面ABCD设平面与平面

(1)证明：何平面PDC；

(2)已知PZXM>=1,。为/上的点，求尸B与平面QC。所成角的正弦值的最大值.

5.(2020全国•统考新课标团卷)如图，四棱锥P-ABC。的底面为正方形，PD_L底面A8CD.设平面%D与平

面PBC的交线为/.

(1)证明：/_L平面PDC；

(2)已知PD=AD=1,Q为/上的点，QB=&,求PB与平面QCD所成角的正弦值.

6.(2020全国•统考新课标团卷)如图，已知三棱柱4BC-4&Q的底面是正三角形，侧面BB】QC是矩形，M,

N分别为BC,&Q的中点，P为AM上一点,过&Q和P的平面交4B于E,交AC于F.

(1)证明：AAiBMN,且平面4AMN回E&QF；

(2)设。为EI/hBQ的中心，若A。国平面EBiQF,且AO=AB,求直线&E与平面4A/WN所成角的正弦值.

考点04已知二面角求点距离

1（2024•全国•高考I卷）如图，四棱锥尸—ABCD中，上4,底面ABC£）,PA=AC=2,BC=1,AB=43.

(1)^AD±PB,证明：AD〃平面BBC；

(2)若AD，DC,且二面角A-CP-。的正弦值为这，求AD.

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2.（2023•全国•新课标回卷）如图，在正四棱柱ABC。-