离散型随机变量的分布列、均值与方差 专项训练-2025届高三数学一轮复习

2025高考数学一轮复习-10.5-离散型随机变量的分布列、均值与方差-专项训练模拟练习

【A级基础巩固】.

一、单选题

1.设随机变量X服从两点分布，若尸(X=1)—P(X=0)=04,则E(X)=()

A.0.3B.0.4

C.0.6D.0.7

2.若某随机事件的概率分布列满足小=。=。卸=1,2,3,4),则D(X)=()

A.3B.10

C.9D.1

3.一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3球，以X表示取

出的三个球中的最小号码，则随机变量X的分布列为()

X123

111

PTT3~

X1234

1132

P

105~105~

X123

331

P

5-1010

X123

133

P

To105~

4.某一随机变量X的概率分布如下表，且〃一机=0.1,则尸(XW2)=()

X0123

P0.1m0.2n

A.0.3B.0.4

C.0.6D.0.7

5.已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记

检测的次数为焉则E©=()

7

A.3B.2

C.yD.4

二、多选题

6.若随机变量X服从两点分布，其中尸(X=O)=g,E(X),。(㈤分别为随机

变量X的均值与方差，则下列结论正确的是()

A.P(X=1)=E(X)B.E(3X+2)=4

2

C.D(3X+2)=4D.D(X)=g

7.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列说法正确的是()

A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是g

B.从中任取3球，恰有两个白球的概率是］

C.从中任取3球，取得白球个数X的数学期望是1

D.从中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到红球，则后两

2

次中恰有一次取到红球的概率为5

8.已知机，咒均为正数，随机变量X的分布列如下表：

X012

Pmnm

则下列结论一定成立的是()

A.P(X=1)<P(XW1)B.E(X)=1

C.机〃WD.D(X+1)<1

o

9.下列命题正确的是()

12

A.若随机变量X的方差为石，则。(5X+2)=14

B.对于随机事件A与3,若尸(了)=0.3,P(B|A)=0.7,则事件A与3独立

C.设随机变量1f服从正态分布N(0,l),若PC>1)=P，则尸(一l<30)=g—p

D.根据分类变量X与丫的成对样本数据，计算得到二=3.712,根据a=0.05

的独立性检验(P〃2>3.841)=0.05),有95%的把握认为X与丫有关

三'填空题

10.设随机变量X的分布列为

X1234

111

Pm

346

则P(|X—3|=1)=

11.设随机变量X的概率分布列为

为止，则取球次数X的数学期望为.

13.小明准备用9万元投资A,3两种股票，已知这两种股票的收益独立,

且这两种股票的买入价都是每股1元，每股收益的分布列如下表所示.若投资A

种股票a万元，则小明两种股票的收益期望和为万元.

收益X/元-103

概率0.30.20.5

收益17元-34

概率0.40.6

四、解答题

14.盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球.

⑴求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；

(2)记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望E(X).

15.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥

林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛.已知羽毛

球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；

若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方.现甲、乙二人进行羽毛

球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为最乙得分的概率为亍若乙发球，乙得

41

分的概率为亍甲得分的概率为亍每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第一

回合由甲发球.

(1)求第三回合甲发球的概率；

(2)设前三个回合中，甲的总得分为X,求X的分布列及期望.

【B级能力提升】1.袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中

随机且不放回的摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，

记随机变量q为此时已摸球的次数，求：

1.袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回的

摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量4为

此时已摸球的次数，求：

⑴P(《=2)的值;

(2)随机变量的概率分布列和数学期望.

2.某种项目的射击比赛规则是开始时在距离目标60米处射击，如果命中记

4分，同时停止射击；若第一次射击未命中目标，可以进行第二次射击，但目标

已在90米远处，这时命中记3分，同时停止射击；若第二次射击仍未命中目标,

还可以进行第三次射击，此时目标已在120米远处，这时命中记2分，同时停止

射击；若三次都未命中，则记1分.已知甲射手在60米处击中目标的概率为今

他命中目标的概率与距离的平方成反比，且各次射击都是独立的.

(1)求射手甲分别在90米和120米处命中的概率；

(2)求射手甲进行射击比赛中命中目标的概率；

(3)设1f为射手甲进行射击比赛的得分，求E(0.

3.某次知识竞赛共有两道不定项选择题，每小题有4个选项，并有多个选项

符合题目要求.评分标准如下：全部选对得10分，部分选对得4分，有选错得0

分.由于准备不充分，小明在竞赛中只能随机选择，且每种选法是等可能的(包括

一个也不选).

(1)已知两题都设置了3个正确选项，求小明这两题合计得分为14分的概率；

(2)已知其中一题设置了2个正确选项，另一题设置了3个正确选项.小明准

备从以下两个方案中选择一种进行答题.为使得得分的期望最大，小明应选择哪

一种方案？并说明理由.

方案一：每道题都随机选1个选项;

方案二：每道题都随机选2个选项.

参考答案

【A级基础巩固】.

一、单选题

1.(D)［解析］由题意得P(X=1)+P(X=O)=1,

因为尸(X=l)—P(X=0)=0.4,

所以解得尸(X=l)=07,P(X=0)=0.3,

所以E(X)=lX0.7+0X0.3=0.7,故选D.

、

2.(D)［解析］由分布列的性质(知1+正2+3正4+旬=1,

：.a=l,，X的分布列为

X1234

1132

p

To5To5

-­E®=T0+5+T0+5=3'

112

.\Z)(X)=(3-1)2X—+(3-2)2X-+(4-3)2X-=l,故选D.

3.(C)［解析］随机变量X的可能取值为1,2,3,

P(x=D=『，

C?3

P(X=2)=a=IU，

C?1

。(乂=3)=着=元.故选C.

n—机=0.1,

4.(C)［解析］由题意可得：＜

0.1+机+0.2+〃=1,

n=0.4,

解得＜

m=0.3,

故P(XW2)=P(X=0)+P(X=l)+P(X=2)=0.1+0.3+0.2=0.6,故选C.

A2

5.(B)［解析］由题意知，。的可能取值为2,3,4,其概率分别为P(0=2)=xj

A支JC3+A33Aldd+A支4d

=宓尸(<=3)=所以

A1Td-e)=AgE®=

2义京+3*7^+4*正=：故选B.

J.JL\J_LV/乙

二、多选题

6.(ABD)［解析］随机变量X服从两点分布，其中P(X=O)=g,，P(X=1)

2122，2、1,2、22

=3,E(X)=OX-+1X-=~,D(X)=—3J2x3+—3/X3=95P(X=1)=E(X),

22

故A正确;E(3X+2)=3£(X)+2=3X§+2=4,故B正确;。(3X+2)=9D(X)=9Xg

2

=2,故C错误；D(X)=g,故D正确.故选ABD.

7.(BC)［解析］从中任取3球，恰有一个白球的概率「=簧=|,故A错

误；

「4rl1

从中任取3球，恰有两个白球的概率。=6=亍故B正确；

e1

从中任取3球，全为红球的概率p=0=m，

故X的分布列为：

X012

131

p

555

131

故E(X)=OX,+1Xg+2X5=1,故C正确；

从中不放回地取3次球，每次任取1球，

31233

则第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率P=5X2+5X4=5,

故D错误.

故选BC.

8.(BCD)［解析］由分布列的性质得加+〃+机=2m+〃=1,P(X=l)=n,

P(XW1)=2机，当机$时，尸(X=l)=尸(XW1),故选项A错误；因为E(X)

=n+2m=l,故选项B正确；因为阴，〃均为正数，所以I=n+2m力2y/2mn,

11

即nw-n-

m82等号成立，故选项C正确；由n=l—2m>0,

得0<相<3.又E(X)=1,所以。(X+l)=D(X)=m+m=2m<1,故选项D正确.

1?19

9.(BC)［解析］由O(X)=芯，得。(5X+2)=25D(X)=25Xx=12,故A错

误；由P(3)=l—P(耳)=1—0.3=0.7,而尸(引4)=0.7,则P(3|A)=g鬻=0.7=

P(B),所以P(AB)=P(A)P(B),即事件A与5相互独立，故B正确；因为随机变

量〈服从正态分布N(0,l),所以正态曲线关于直线4=0对称，又因为P4>l)=p,

所以P4<—l)=p,所以P(—1<«0)=；一2，故C正确；由/=3.712<3.841,所

以没有95%的把握认为X与丫有关，故D错误.故选BC.

三、填空题

10.［解析］由g+根+(+上=1,解得机=1,P(IX—31=1)=P(X=2)+P(X=

八1.15

4)=4+6=12-

n.［解析］E(X)=OX4+1X介2x(1—字)=2—p,

又•..1岩\0,1三1一与三0,

331

.,.当尸=］时，E(X)的值最小，E(X)=2—2=2-

C13

12.［解析］由题意得X的所有可能值为1,2,3,尸(乂=1)=0=亍P(X=2)

cicj;3clclcl1

—c4c£—10；"X—3)—cgclc』一10，

3313

E(X)=1X^+2X—+3X—=-

13.［解析］E(X)=-lX0.3+0X0.2+3X0.5=1.2；E(K)=-3X0.4+4X0.6

=1.2.若投资A股票a元，则投资5股票90000—a元，E(aX)+E［(90000-a)Y］

=aE(X)+(90000—a)E(K)=90000X1.2=108000,即小明两种股票的收益期望和

为10.8万元.

四、解答题

14.［解析］(1)记”取出的3个小球上的数字两两不同”为事件先确定

3个不同数字的小球，有C?种方法,

然后每种小球各取1个，有caxcJxd种取法,

axcixclxci4

所以P(M)=

7-

(2)由题意可知，X的可能取值为1,2,3,

当X=1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的

小球,

C1C5+C2C49

所以P(X=1)=

14'

当X=2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的

小球,

cicHc?cl2

所以P(X=2)=

以7'

当X=3时，分为两种情况:只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的

小球,

心、，C1CHC2C11

所以P(X=3)=------@------

145

所以X的分布列为:

X123

921

P

14714

92I10

所以E(X)=lXj^+2Xy+3Xj^=7-

15.［解析］(1)若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲,

或者甲乙甲，

故第三回合甲发球的概率为

(2)设甲在第，回合得分记为事件4,乙在第，回合得分记为事件A"©{1,2,3},

则尸(A1A2A3)=11)=言，此时甲得3分，

P(A1A2§3)=11)X|=覆，此时甲得2分，

3216

P(AiB2A3)=^X-X-=p^,此时甲得2分，

32424

P(AIB2B3)=7XTX-=YT7,此时甲得1分,

JJJ工乙J

P(JBiA2A3)=|x1x|=-j-17,此时甲得2分,

JJJ_L乙J

2124

P(BiAiBi)X-X-=—,此时甲得1分,

2418

P(JBIB2A3)=^X-X-=J^,此时甲得1分,

24432

=7XTX-=-rr^,此时甲得0分,

JJJJL乙J

X的取值为0,1,2,3.且

323630

P(X=0)=市，P(X=D=西P(X=2)=市,

27

P(X=3)=市.

【B级能力提升】1.［解析］(1)由已知可得从袋中不放回的摸球两次的所有取

法有C&CI种，事件4=2表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次

取红球，故事件。=2包含C!C3+C4C3种取法,

1.［解析］(1)由已知可得从袋中不放回的摸球两次的所有取法有C4&种，事

件4=2表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球，故事件e

=2包含C4CJ+C3C4种取法,

““C3C4+C必3

所以尸(4=2)=—灰—=5-

(2)随机变量。可取的值为2,3,4.

由⑴知尸(4=2)=|；

A支，+A支33

n-^3)=dcld=To;

p(^=4)=cIcIcB=w-

得随机变量4的概率分布列为:

e234

331

P

5To10

随机变量。的数学期望为：

331

E((^)=2X-+3X—+4X—=2.5.

2.［解析］(1)令射手甲在60米、90米和120米处命中概率分别为pi,pz,

P3,

k1

由题意可得，p=?,且〃1=5，

Ji乙

则看，，左=1800,

.1800218001

--P2-go2~9fP?—1202—R'

2I

射手甲在米和米处命中概率分别为G，

90120yo.

(2)设A表示第，次击中(7=1,2,3),

记A：“射手甲在这次射击比赛中命中目标”，则+

/.P(A)=P(AI+T1A2+T1T2A3)=P(A1)+P(T1A2)+P(T1T2A3)

112171

---1