数据的分析 知识归纳与题型突破（六类题型清单） （原卷版）-2024-2025学年八年级数学上册复习（北师版）

第六章数据的分析知识归纳与题型突破（六类题型清单）

01思维导图

02知识速记

一、算术平均数和加权平均数

一般地，对于〃个数X1、/、七、…天，我们把!（不出2出3+…+%）叫做这〃个数的算术平均数，简

n

称平均数，记作了.计算公式为亍=工（西+%2+%3+…+工〃）•

n

要点：

平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.

（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数。附近上、下波动时，一般选用简化计算公式

元=元，+。.其中三为新数据的平均数，。为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.

（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.

所以平均数容易受到个别特殊值的影响.

若〃个数七、的权分别是％、叫、…、叱,贝I]"I"+"2叱+—+X'叱.叫做这.个数的加权

W]+TV2+...+TV“

平均数.

要点：

(1)相同数据玉的个数叱叫做权，叱越大，表示玉的个数越多，“权”就越重.数据的权能够反映数据的

相对“重要程度”.

(2)加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.

二、中位数和众数

1.中位数

一般地，n个数据按照大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做

这组数据的中位数.

要点：

(1)一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.

(2)由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.

2.众数

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.

要点：

(1)一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个.

(2)众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.

三、平均数、中位数与众数的联系与区别

联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.

区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中

有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列

位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多

次重复出现时，可用众数来描述.

四、极差、方差和标准差

1.极差

一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差=最大数据一最小数据.

要点：

极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就

越稳定.

2.方差

方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差/的计算公式是：

2222

S=—[(xj-X)+(x2-x)+...+(%„-X)],其中，又是xrX2，…Xn的平均数.

n

要点：

(1)方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越

小.

(2)一组数据的每一个数都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.

(3)一组数据的每一个数据都变为原来的左倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的左2倍.

3.标准差

方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号s表示，即:

S=£[5一-三/+…+&-I）?]；标准差的数量单位与原数据一致.

4.极差、方差和标准差的联系与区别

联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数.

区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均

值的离散程度的大小.方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好.所以一般情况下只求一组数据的

波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.

五、用样本估计总体

在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总

体的平均水平或方差.

要点：

（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可

能大的代表性.

（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身

的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.

03题型归纳

题型一平均数

例题

1.一组数据10,9,10,12,9的平均数是（）

A.11B.12C.9D.10

巩固训练

2.若一组数1,3,xj5,6的平均数为4,则工的值为（）

A.3B.4C.5D.6

3.在一次编程比赛中，8位评委给参赛选手小李的打分如下:

9.0,9.0,9.2,10.0,9.0,9.2,9.0,9.2.

规定去掉一个最高分和一个最低分后的平均值做为选手的最后得分.小李的最后得分是（）

A.9.0B.9.1C.9.2D.9.3

4.某次射击训练中，一个小组的成绩如下表所示：

环数789

人数23

已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（）

A.4B.5C.6D.7

5.在一次演讲比赛中，甲的演讲内容90分、演讲能力80分、演讲效果90分，若按照演讲内容占50%,演

讲能力占40%,演讲效果占10%,计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为.

6.有m个数的平均数是x,n个数的平均数是y,则这（m+n）个数的平均数为（）

A%+ycmx+Dmx+ny

2m+nm+n2

7.有20个数据，其中8个数的平均数为11,另12个数的平均数是12,则这20个数的平均数是（）

A.11.5B.11.6C.23.2D.232

题型二中位数和众数

例题

8.已知一组数据：15,13,15,16,17,16,14,15,则这组数据的中位数与众数分别是（）

A.14,15B.15,15C.14,16D.15,16

巩固训练

9.在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是

D.9.8m,9.8m

10.一组数据1,2,5,3,。的平均数是3,则中位数是.

11.李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量，抽取了7名同学进行调查，调查结果如下（单位:

篇/周）：4,25,543,其中有一个数据不小心被墨迹污损.已知这组数据的平均数为4,那么这组数据

的众数与中位数分别为（）

A.5,4B.3,5C.4,4D.4,5

12.一组数据4,6,4,x的众数只有一个，则x的值不能为.

13.某校初中三个年级进行卫生大评比，其中一个评委对初三年级20个班的成绩汇总并绘制如下表格:

平均数众数中位数方差

9.29.09.10.7

学校规定三个年级评比要求：去掉一个最高分，去掉一个最低分进行评比，去掉后表中数据一定不发生变

化的是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

14.两台/、2型号的大米自动封装机包装的质量为50km的袋食品中各封装了10袋大米，测得其实际质量

如下表（单位：km）：

A50.150.650.849.750.849.650.550.349.549.9

B50.550.249.850.149.950.349.850.250.149.9

由上表可以判断______型号自动封装机性能更好.

题型三数据的离散程度

例题

15.在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是品=0.32,

^=0.15,S需=0.26,4=0.47,这4人中成绩发挥最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

巩固训练

16.为了解同一型号50辆汽车每耗油1L所行驶路程的情况，现从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油1L

所行路程的试验，得到如下数据（单位：km）：11,15,9,12,13.该样本的方差是（）

A.20B.12C.4D.2

17.某班级举办了一次背诵古诗竞赛，满分100分，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）:

甲：40,60,70,90,90,100；乙：60,60,80,80,80,90其中90分以上为优秀，则下列说法正确的

是（）

A.甲组平均成绩高于乙组

B.甲组成绩比乙组更稳定

C.甲组成绩中位数与乙组相同

D.乙组成绩优秀率更高

18.小明同学分析某小组成员身高的数据（单位：cm）：155,162,173,162,17>,160,发现其中一个

数据的个位数被墨水抹黑了，则以下统计量不受影响的是（）

A.中位数B.众数C.平均数D.方差

19.九（2）班要在甲、乙、丙、丁四位同学中选择一个代表班级参加学校“春季运动会”的50米跑项目，班

委利用课余时间对4位同学进行了50米跑的选拔.将四位同学的测试数据整理在下表中，为了选出一名成

绩较好且稳定的同学为班级争光，应该选择（）

甲乙丙T

平均用时/秒8.27.97.98.2

方差2.21.42.41.4

A.甲B.乙C.丙D.丁

题型四利用统计图分析数据的集中趋势和离散程度

例题

20.下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，通常新手的成绩不太确定，根据图中的信息,

估计这两人中的新手是

甲10次射击成绩统计图乙10次射击成绩统计图

次数次数

f0lil

讪诚/环

8910成绩/环8910

巩固训练

21.七（1）班举行投篮比赛,每人投5球.如图是全班学生投进球数的扇形统计图，则投进球数的众数

是.

七（1）班学生投进

球数的扇形统计图

22.某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如图所示，那么这6天的平均用水量是吨.

用水量/吨

37--------------------,

34r

32

I-

31

I-

30Ia-

期

s日

23.如图是根据某次射击比赛中甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图，成绩更稳定的是

()

A.甲B.一■样C.乙D.不能确定

24.甲、乙两地今年4月份前5天的日最低气温如图所示，则下列描述正确的是（）

B.甲地最低气温的众数是4°C

C.乙地最低气温相对比较稳定D.乙地最低气温的平均数是5°C

题型五数据的分析难点

例题

25.如果将一组数据中的每个数都减去25,那么所得的一组新数据（）

A.众数改变，方差改变B.众数不变，平均数改变

C.中位数改变，方差不变D.中位数不变，平均数不变

巩固训练

26.已知一组数据即，a2,的，..，。"的方差为3,则另一组数田+1,a2+\,a3+l,....,的方差

为

27.已知一组数据为,%2，苫3，匕，%的平均数是4,方差是3,那么另一组数据2%-3,2X2-3,2X3-3,

2匕-3,2%-3的平均数和方差分别是（）

A.5,12B.5,3C.6,12D.6,3

28.五个互不相等的正偶数X],x2,七，x4,X5的平均数和中位数都是A,且六个数X],X],演，看，

天，〃2的众数是6,平均数还是A,则这五个互不相等的正偶数为，X”x3,5，X5的方差为.

题型六解答综合题

例题

29.某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均

为10分，成绩高者被录用.图1是甲、乙两人测试成绩的条形统计图.

图2

图1

(1)分别计算甲、乙两人三项成绩之和，则一会被录用;

(2)若将甲、乙两人的三项测试成绩，分别按照扇形统计图(图2)各项所占之比进行计算，甲成绩为一分,

乙成绩为一分，则一会被录用.

巩固训练

30.“直播+电商”作为新兴销售形式，对于拓宽农特产品销售渠道，助力乡村振兴起到了重要作用、某农村

合作社帮助该村农民利用网络平台计划销售1000箱苹果，为确保苹果质量，检测人员随机抽取20箱进行

测量，每箱苹果的质量统计如下:

抽测苹果的质量统计图每箱4.9kg的苹果的箱数

(1)补全条形统计图.

(2)抽取20箱苹果质量的中位数为,众数为

(3)经调查，苹果市场的售价为6元/kg,若这批苹果全部售完，请估计这批苹果的总销售额.

31.为了进一步了解七年级学生的身体素质情况，体育老师对七年级(1)班45名学生进行1分钟跳绳次

数测试，以测试数据为样本，绘制频数分布直方图如图所示.已知七年级学生1分钟跳绳次数(x)达标要求

是：x<120为不合格，120Wx<140为合格，140Wx<160为良好，xN160为优秀.

(1)求80<100这一组数据的频率及七年级(1)班1分钟跳绳的优良率(包括良好和优秀).

(2)求出这45名学生1分钟跳绳次数的中位数所在组的组中值，并结合各数据段分布情况对七年级(1)班

的同学提出一些合理的建议.

32.为了让同学们了解自己的体育水平，八年级1班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试

(得分均为整数)，成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下:

八年级1班全体女生体育测试成绩八年级1班全体男生体育测试

分布扇形统计图成绩条形统计图

八年级1班体育模拟测试成绩分析表

平均数方差中位数众数

男生287

女生7.921.998

根据以上信息，解答下列问题:

(1)这个班共有男生一人，共有女生一人;

(2)补全八年级1班体育模拟测试成绩分析表;

(3)你认为在这次体育测试中，1班的男生队，女生队哪个表现更突出一些？并写出你的看法的理由.

33.某校初一开展英语拼写大赛，爱国班和求知班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选

出的5名选手的复赛成绩如图所示:

分数

班级平均数（分）中位数（分）众数（分）

爱国班a85C

求知班85b100

（1）根据图本直接写出。、6、c的值；

（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩比较好？

（3）已知爱国班复赛成绩的方差是70,请求出求知班复赛成绩的方差，并说明哪个班成绩比较稳定？（计算

方差的公式：$2=—［（*—苫）+（X2—X）H-----F（Xa—X）］）

34.某校为了了解初一年级共480名同学对环保知识的掌握情况，对他们进行了环保知识测试.现随机抽

取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：

【收集数据】

甲班15名学生测试成绩分别为：78,83,85,87,89,90,92,93,94,96,97,98,99,100,100

乙班15名学生测试成绩中804x<95的成绩如下：90,91,92,93,94

【整理数据工

班级75<x<8080<x<8585<x<9090<x<9595<x<100

甲11346

乙123