2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷27.2.2 相似三角形的性质及其应用举例 课后能力提升专练(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷27.2.2相似三角形的性质及其应用举例课后能力提升专练(含答案)第2课时相似三角形的性质及其应用举例1．已知平行四边形ABCD与平行四边形A′B′C′D′相似，AB＝3，对应边A′B′＝4，若平行四边形ABCD的面积为18，则平行四边形A′B′C′D′的面积为()A.eq\f(27,2)B.eq\f(81,8)C．24D．322．若把△ABC的各边长分别扩大为原来的5倍，得到△A′B′C′，则下列结论不可能成立的是()A．△ABC∽△A′B′C′B．△ABC与△A′B′C′的相似比为eq\f(1,6)C．△ABC与△A′B′C′的各对应角相等D．△ABC与△A′B′C′的相似比为eq\f(1,5)3．如图27­2­24，球从A处射出，经球台边挡板CD反射到B，已知AC＝10cm，BD＝15cm，CD＝50cm，则点E距离点C()A．40cmB．30cmC．20cmD．10cm图27­2­24图27­2­254．已知△ABC和△DEF相似且对应中线的比为3∶4，则△ABC和△DEF的周长比为____________．5．高为3米的木箱在地面上的影长为12米，此时测得一建筑物在水面上的影长为36米，则该建筑物的高度为______米．6．如图27­2­25，在等腰梯形ABCD中，AD∥CB，且AD＝eq\f(1,2)BC，E为AD上一点，AC与BE交于点F，若AE∶DE＝2∶1，则eq\f(S△AEF,S△CBF)＝________.7．如图27­2­26，直立在B处的标杆AB＝2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上(点F，B，D也在同一条直线上)．已知BD＝8m，FB＝2.5m，人高EF＝1.5m，求树高CD.图27­2­268．如图27­2­27是测量旗杆的方法，已知AB是标杆，BC表示AB在太阳光下的影子，下列叙述错误的是()A．可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高B．只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高C．可以利用△ABC∽△EDB，来计算旗杆的高D．需要测量出AB，BC和DB的长，才能计算出旗杆的高图27­2­27图27­2­289．如图27­2­28，在▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝eq\f(1,2)CD.(1)求证：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．10．(2011年广东中考改编)如图27­2­29(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；(1)取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图27­2­29(2)中阴影部分，求正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积；(2)取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图27­2­29(3)中阴影部分，求正六角星形A2F2B2D2C2E2的面积.(3)取△A2B2C2和△D2E2F2各边中点，连接成正六角星形A3F3B3D3C3E3，依此法进行下去，试推测正六角星形AnFnBnDnCnEn的面积.图27­2­29参考答案1．D2.B3.C4．3∶45.96.eq\f(1,9)7．解法一：如图D57，过点E作EG⊥CD，交CD于点G，交AB于点H.图D57因为AB⊥FD，CD⊥FD，所以四边形EFBH、EFDG是矩形．所以EF＝HB＝GD＝1.5，EH＝FB＝2.5，AH＝AB－HB＝2.4－1.5＝0.9，CG＝CD－GD＝CD－1.5，EG＝FD＝FB＋BD＝2.5＋8＝10.5.因为AB∥CD，所以△EHA∽△EGC.所以eq\f(EH,EG)＝eq\f(AH,CG)，即CG＝eq\f(AH·EG,EH)＝eq\f(0.9×10.5,2.5)＝3.78.所以CD＝CG＋GD＝3.78＋1.5＝5.28，故树高CD为5.28m.解法二：如图D58，延长CE，交DF的延长线于点P.图D58设PF＝x，因为EF∥AB，所以△PEF∽△PAB.所以eq\f(PF,PB)＝eq\f(EF,AB)，即eq\f(x,x＋2.5)＝eq\f(1.5,2.4)，解得x＝eq\f(25,6)，即PF＝eq\f(25,6).因为EF∥CD，所以△PFE∽△PDC.所以eq\f(PF,PD)＝eq\f(EF,CD)，即eq\f(PF,PF＋FB＋BD)＝eq\f(EF,CD)，eq\f(\f(25,6),\f(25,6)＋2.5＋8)＝eq\f(1.5,CD).解得CD＝5.28.故树高CD为5.28m.8．B9．(1)证明：∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠E.∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C，∴△ABF∽△CEB.(2)解：∵DE＝eq\f(1,2)CD，∴DE＝eq\f(1,3)EC.由DF∥BC，得△EFD∽△EBC.∴eq\f(S△EFD,S△EBC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,EC)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,9).∴S△EBC＝9S△EFD＝9×2＝18.S四边形BCDF＝S△EBC－S△EFD＝18－2＝16.由AB∥DE，得△ABF∽△DEF.∴eq\f(S△DEF,S△ABF)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,AB)))2＝eq\f(1,4).∴S△ABF＝4S△DEF＝4×2＝8.∴S四边形ABCD＝S△ABF＋S四边形BCDF＝8＋16＝24.10．解：(1)∵正六角星形A1F1B1D1C1E1是取△ABC和△DEF各边中点构成的，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2∶1.∴＝＝22.∴＝eq\f(1,4).(2)同(1)，得＝4，∴＝eq\f(1,16).(3)＝eq\f(1,4n).27.2.2相似三角形应用举例一、课前预习(5分钟训练)1.在同一时刻同一个地点物体的高度与自身的影长的关系是()A.成反比例B.成正比例C.相等D.不成比例2.如图27-2-2-1,DE⊥EB,AB⊥EB,∠DCE=∠ACB,DE=12m,EC=15m,BC=30m,则AB=____m.图27-2-2-1图27-2-2-2图27-2-2-33.已知A,B两地相距300km,在地图上量得两地相距15cm,则图上距离与实际距离之比为___________.4.某一时刻,测得旗杆的影长为8m,李明测得小芳的影长为1m,已知小芳的身高为1.5m,则旗杆的高度是_______________m.二、课中强化(10分钟训练)1.如图27-2-2-2所示,ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件:(1)∠APB=∠EPC;(2)∠APE=90°;(3)P是BC的中点;(4)BP∶BC=2∶3.其中能推出△ABP∽△ECP的有()A.4个B.3个C.2个D.1个2.如图27-2-2-3,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE∶BC的值为()A.B.C.D.3.图27-2-2-4所示是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就会被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10cm,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端下压()A.100cmB.60cmC.50cmD.10cm图27-2-2-4图27-2-2-5图27-2-2-64.如图27-2-2-5所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE方向走30米,到E处,使A(目标物),C(标杆)与E在同一条直线上,那么可测得A,B间的距离是_______.5.如图27-2-2-6,为了测量一棵树CD的高度,测量者在B点立一高为2米的标杆,观测者从E处可以看到杆顶A,树顶C在同一条直线上.若测得BD=23.6米,FB=3.2米,EF=1.6米,求树高.6.如图27-2-2-7,一圆柱形油桶,高1.5米,用一根长2米的木棒从桶盖小口A处斜插桶内另一端的B处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,求桶内油面的高度.图27-2-2-7三、课后巩固(30分钟训练)1.如图27-2-2-8,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=5m,点P到CD的距离是3m,则P到AB的距离是()图27-2-2-8A.mB.mC.mD.m2.如图27-2-2-9,BE⊥AC于B,CD⊥AC于C,AE∥BD,若BE=1.7米,AB=3米,BC=12米,求CD的长.图27-2-2-93.如图27-2-2-10,射击瞄准时,要求枪的标尺缺口上沿中央A,准星尖B和瞄准点C在一条直线上,这样才能命中目标.已知某种冲锋枪基线AB长38.5cm,如果射击距离AC=100m,当准星尖在缺口内偏差BB′为1mm时,弹着偏差CC′是多少?(BB′∥CC′)图27-2-2-104.如图27-2-2-11,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,BD长55cm,求梯子的长.图27-2-2-115.一条河的两岸有一段是平行的,在河的这岸每隔5米有一棵树,在河的对岸每隔50米有一根电线杆,在这一岸离开岸边25米处看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽.图27-2-2-126.一位同学想利用树影测量树高AB,他在某一时刻测得小树高为1米,树影长0.9米,但当他马上测量树影时,因树靠近建筑物,影子不全落在地上,有一部分落在墙上,如图27-2-2-13,他先测得地面部分的影子长2.7米,又测得墙上的影高CD为1.2米,试问树有多高?图27-2-2-137.如图27-2-2-14所示,大江的一侧有甲,乙两个工厂,它们有垂直于江边的小路,长度分别为m千米及n千米,设两条小路相距l千米.现在要在江边建立一个抽水站,把水送到甲,乙两厂去,欲使供水管路最短,抽水站应建在哪里?图27-2-2-148.图27-2-2-15,一人拿着一个刻有厘米分度的小尺,站在距离电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上的12个分度恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.图27-2-2-159.晨晓想用镜子测量一棵古松树的高,但因树旁有一条小河,不能测量镜子与树之间的距离,于是他两次利用镜子,如图27-2-2-16,第一次他把镜子放在C点,人在F点正好看到树尖A;第二次他把镜子放在C′处,人在F′处正好看到树尖A,已知晨晓眼睛距地面1.70m,量得CC′为12m,CF长1.8m,C′F′为3.84m,求这棵古松树的高.图27-2-2-1610.如图27-2-217,河边有一条笔直的公路l,公路两侧是平坦的草地,在数学活动课上,老师要求测量对岸B点到公路的距离,请你设计一个测量方案.要求:①列出你测量所使用的工具;②画出测量的示意图,写出测量的步骤;③用字母表示的测量的数据,求点B与公路之间的距离.图27-2-2-17参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.在同一时刻同一个地点物体的高度与自身的影长的关系是()A.成反比例B.成正比例C.相等D.不成比例解析：因太阳光线是平行的,所以同时同地光线,物高,影长组成的三角形都相似.答案：B2.如图27-2-2-1,DE⊥EB,AB⊥EB,∠DCE=∠ACB,DE=12m,EC=15m,BC=30m,则AB=____m.图27-2-2-1解析：∵△ABC∽△DEC,∴AB=24.答案：243.已知A,B两地相距300km,在地图上量得两地相距15cm,则图上距离与实际距离之比为___________.解析：AB=300km=30000000cm,所以图上距离∶实际距离=1∶2000000.答案：1∶20000004.某一时刻,测得旗杆的影长为8m,李明测得小芳的影长为1m,已知小芳的身高为1.5m,则旗杆的高度是_______________m.解：如图所示,△ABC∽△DEF,∴.∴DF=12m.答案：12二、课中强化(10分钟训练)1.如图27-2-2-2所示,ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件:(1)∠APB=∠EPC;(2)∠APE=90°;(3)P是BC的中点;(4)BP∶BC=2∶3.其中能推出△ABP∽△ECP的有()A.4个B.3个C.2个D.1个图27-2-2-2解析：①中因为∠B=∠C,∠APB=∠EPC,所以△ABP∽△ECP;④中因为BP∶BC=2∶3,所以BP=BC,PC=BC.所以=2,且∠B=∠C=90°.所以△ABP∽△ECP.故选C.注意三角形的对应顺序.答案：C2.如图27-2-2-3,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE∶BC的值为()图27-2-2-3A.B.C.D.解析：因△ADE∽△ABC,故.答案：A3.图27-2-2-4所示是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就会被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10cm,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端下压()图27-2-2-4A.100cmB.60cmC.50cmD.10cm解析：杠杆运动过程中构成的三角形相似.答案：C4.如图27-2-2-5所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE方向走30米,到E处,使A(目标物),C(标杆)与E在同一条直线上,那么可测得A,B间的距离是_______.图27-2-2-5解析：因为△ABC∽△EDC,所以.答案：48米5.如图27-2-2-6,为了测量一棵树CD的高度,测量者在B点立一高为2米的标杆,观测者从E处可以看到杆顶A,树顶C在同一条直线上.若测得BD=23.6米,FB=3.2米,EF=1.6米,求树高.图27-2-2-6解：由题意得△AEM∽△CEN,∴.而AM=0.4,EM=3.2,EN=26.8,∴CN=3.35.∴CD=4.95(米).答:树高4.95米.6.如图27-2-2-7,一圆柱形油桶,高1.5米,用一根长2米的木棒从桶盖小口A处斜插桶内另一端的B处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,求桶内油面的高度.图27-2-2-7解：根据题意建立数学模型,如右图,AD=1.2米,AB=2米,AC=1.5米,DE∥BC.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴△ADE∽△ABC.∴.∴∴AE=0.9(米).∴EC=AC-AE=1.5-0.9=0.6(米).三、课后巩固(30分钟训练)1.如图27-2-2-8,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=5m,点P到CD的距离是3m,则P到AB的距离是()图27-2-2-8A.mB.mC.mD.m解析：设P到AB的距离为x米,则有.x=1.2(m).答案：C2.如图27-2-2-9,BE⊥AC于B,CD⊥AC于C,AE∥BD,若BE=1.7米,AB=3米,BC=12米,求CD的长.图27-2-2-9解：∵BE⊥AC于B,CD⊥AC于C,∴∠ABE=∠BCD=90°.∵AE∥BD,∴∠A=∠CBD.∴△ABE∽△BCD.∴,即.∴CD=6.8(米).∴CD的长为6.8米.3.如图27-2-2-10,射击瞄准时,要求枪的标尺缺口上沿中央A,准星尖B和瞄准点C在一条直线上,这样才能命中目标.已知某种冲锋枪基线AB长38.5cm,如果射击距离AC=100m,当准星尖在缺口内偏差BB′为1mm时,弹着偏差CC′是多少?(BB′∥CC′)图27-2-2-10解：∵BB′∥CC′,∴△ABB′∽△ACC′.∴.∴CC′=(m).即弹着偏差m.4.如图27-2-2-11,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,BD长55cm,求梯子的长.图27-2-2-11解：∵△ADE∽△ABF,∴.设梯子长为xcm,则有,解得x=440.经检验x=440为所列方程的根,所以梯长为440cm.5.一条河的两岸有一段是平行的,在河的这岸每隔5米有一棵树,在河的对岸每隔50米有一根电线杆,在这一岸离开岸边25米处看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽.图27-2-2-12解：根据题意,画出图形,其中AB=50米,CD=5×4=20米,GE⊥CD,GF⊥AB,点G,E,F共线,GE=25米.∵AB∥CD,∴∠DCG=∠BAG,∠CDG=∠ABG.∴△GCD∽△GAB.又∵GE⊥CD,GF⊥AB,∴(相似三角形对应高的比等于相似比).∴GF==62.5(米).∴河宽EF=GF-GE=62.5-25=37.5(米).6.一位同学想利用树影测量树高AB,他在某一时刻测得小树高为1米,树影长0.9米,但当他马上测量树影时,因树靠近建筑物,影子不全落在地上,有一部分落在墙上,如图27-2-2-13,他先测得地面部分的影子长2.7米,又测得墙上的影高CD为1.2米,试问树有多高?图27-2-2-13解法一：如图,延长AD,BE相交于点C,则CE就是树影长的一部分,,即.∴CE=1.08(m).∴BC=BE+EC=2.7+1.08=3.78(m).∴,即.∴AB=4.2(m).解法二：过E作EF∥AD,交AB于F.,即.∴BF=3m.AB=AF+BF=3+1.2=4.2(m)7.如图27-2-2-14所示,大江的一侧有甲,乙两个工厂,它们有垂直于江边的小路,长度分别为m千米及n千米,设两条小路相距l千米.现在要在江边建立一个抽水站,把水送到甲,乙两厂去,欲使供水管路最短,抽水站应建在哪里?图27-2-2-14解：如图所示,AD垂直于江边于D,BE垂直于江边于E,则AD=m千米,BE=n千米,DE=l千米.延长BE至F,使EF=BE.连结AF交DE于C,则在C点建抽水站,到甲,乙两厂的供水管路AC+CB为最短.设CD=x千米,因为Rt△ADC∽Rt△FEC,所以,即,解得x=(米).8.图27-2-2-15,一人拿着一个刻有厘米分度的小尺,站在距离电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上的12个分度恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.图27-2-2-15解：设电线杆高xm,因为两三角形相似,则有,解得x=6,经检验x=6为原分式方程的根,所以电线杆高6m.9.晨晓想用镜子测量一棵古松树的高,但因树旁有一条小河,不能测量镜子与树之间的距离,于是他两次利用镜子,如图27-2-2-16,第一次他把镜子放在C点,人在F点正好看到树尖A;第二次他把镜子放在C′处,人在F′处正好看到树尖A,已知晨晓眼睛距地面1.70m,量得CC′为12m,CF长1.8m,C′F′为3.84m,求这棵古松树的高.图27-2-2-16解：设BC=ym,AB=xm,作CM⊥BF,C′M′⊥BF′.由物理学中光的反射定理,得∠ACM=∠ECM,∠AC′M′=∠E′C′M′,所以∠ACB=∠ECF,∠AC′B=∠E′C′F′.因为∠ABC=∠EFC=90°,∠ABC=∠E′F′C′=90°,所以△ABC∽△EFC,△ABC′∽△E′F′C′.所以.所以,①.②解①②组成的方程组,得所以这棵古松树的高为10米.10.如图27-2-217,河边有一条笔直的公路l,公路两侧是平坦的草地,在数学活动课上,老师要求测量对岸B点到公路的距离,请你设计一个测量方案.要求:图27-2-2-17①列出你测量所使用的工具;②画出测量的示意图,写出测量的步骤;③用字母表示的测量的数据,求点B与公路之间的距离.解：(1)皮尺;(2)具体步骤如下:①在公路上任取两个不同点A,C,在草地上取两点D,E,使BAD在一条直线上,且BCE在一条直线上,DE∥AC.②测量AC,AD,DE的长.③∵△BAC∽△BDE,∴.∴BA=.27.2.2相似三角形应用举例（1）新颖题赏析如右图，在等边△ABC的边BC上取点D，使=，作CH⊥AD，H为垂足，连结BH，求证：∠DBH=∠DAB．证明：过A作AM⊥BC于M，在Rt△ADM和Rt△CDH中，∠ADM=∠CDH，∠AMD=∠CHD=990°，所以△CDH∽△ADM，所以，CD=2BD，DM=BD，所以．因为∠ADB=∠BDH，所以△ADB∽△BDH，所以∠DBH=∠DAB．一、基础练习1．在同一时刻，小R量得小D的身高是1.5m，其影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗杆高度是________m．2．如图1，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB长为5mm，AC被分为50等分，如果小管口DE正好对着量具上29份处（DE∥AB），那么小管口径就是________mm．（1）（2）3．如图2，测得QS=40m，ST=100m，QR=60m，则河宽PQ约为_______m．4．如图3，测得BD=10m，DC=40m，EC=30m，则河宽AB约为______m．（3）（4）（5）5．如图4，测得BO=6m，OD=3.4m，CD=1.7m，则旗杆AB高约为______m．6．如图5，测得CD=1.7m，DE=3.4m，BD=6m，则旗杆AB高约为______m．7．将两块完全相同的等腰直角三角形的三角板摆放如图6，假设图形中的所有的点，线都在同一平面内，则图形中相似但又不全等的三角形是________．（6）（7）8．如图7，请你设计几种不同的方法，将一个Rt△ABC分割成四个小三角形，使得每一个小三角形都与原直角三角形相似．设计好以后，请你想一想，将一个锐角△ABC（或钝角三角形）分割成四个小三角形，使得每一个小三角形都与原直角三角形相似，你能够吗？二、整合练习1．图中的每一个小正方形的边长为1，将三个正方形并排组成一个矩形．（1）求证：△BCE∽△BED；（2）求证：∠BEC+∠BED=45°2．如图，ABCD是边长为3的正方形，E是BC边上一点，且EC=2BE，将正方形折叠，使点A与点E重合，折痕为MN，若四边形BCMN的面积和四边形ADMN的面积分别为S1和S2，求S1：S2．答案：一、基础练习1．122．2.93．604．755．3（∠AOB=∠COD）6．4.77．△BDE∽△CDB∽△ABE8．图（1）、（2）分别取斜边和直角边的中点，结果分割成四个小三角形均全等，分别与原三角形相似．图（3）、（4）、（5）、（6）、（7）依次作直角三角形斜边上的高．当△ABC由Rt△变成锐角三角形或钝角三角形时，只要顺次连结原三角形三边的中点所得的图形符合要求．如图（8）、（9）．（运用依次作直角三角形斜边上的高的方法，可将Rt△分成n个小三角形其每一个小三角形都与原直角三角形相似）二、整合练习1．（1）在△BCE和△BED中，BE=，BC=1，BD=2，因为∠CBE=∠EBD．，所以△BCE∽△BED．（2）因为△BCE∽△BED，所以∠BCE=∠BED，∠BEC+∠BED=∠BEC+∠BCE=∠ABE=45°2．设MN与AE相交于点F，BC=3，EC=2BE=2，BE=1，AE=，MN垂直平分AE，△AFM∽△ABE，，AM=AE2=，BM=，过N作NH⊥AB于H，△MNH≌△EAB．MH=BE=