分类加法计数原理512分步乘法计数原理课件高二上学期数学北师大版选择性

第五章计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理问题1从甲地到乙地，可以乘飞机，可以乘火车，也可以乘轮船，还可以乘汽车.每天有2个班次的飞机，有4个班次的火车，有2个班次的轮船，有1个班次的汽车.那么，乘坐以上交通工具中的一种从甲地到乙地，在一天中共有多少种选择呢？解：共有乘飞机、火车、轮船、汽车4类办法，每类办法中分别又有2，4，2，1种方法.于是，乘坐以上交通工具从甲地到乙地，共有2+4+2+1＝9种方法.

一

分类加法计数原理问题2春节到了，某同学要与父母一起参加家庭聚会.（1）她有3件不同的上衣，4条不同的裤子，如果把1件上衣和1条裤子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？（2）她还有5双不同的鞋子，如果把1件上衣、1条裤子和1双鞋子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？分析

（1）我们先看裤子的选择方法数，有4条不同的裤子，则有4种选择方法；每一条裤子对应3件不同的上衣，如图.因此，根据分类加法计数原理，共有N＝3+3+3+3＝3x4=12种搭配方法.（2）由题意知还有5双不同的鞋子，且每一双鞋子对应的裤子和上衣的搭配方法有12种，如图.因此，根据分类加法计数原理，共有

N＝12+12+12+12+12＝12x5=3x4x5=60种搭配方法.二

分步乘法计数原理

例1

在所有的两位数中，个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个？分类加法计数原理的应用解：分5类：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个；当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个；当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个；同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25（个）.分类加法计数原理解题思路：例2分步乘法计数原理的应用从-1、0、1、2中任选2个不同的数作为点的直角坐标，可以作出多少个点的坐标？解：分两步：第一步从四个数中取出一个数作为点的横坐标，共有4种可能，第二步，从剩下的三个数中再取一个数做为点的纵坐标，共有3种可能，因此从、0、1、2中任选2个不同的数作为点的直角坐标，可以作出4×3=12个点的坐标.方法归纳分步乘法计数原理解题思路:(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．每个步骤缺一不可!常见题型1、行程问题从甲地到乙地，每天有火车6次,公交大客车14次，小客车23次.某人在一天中乘坐上述交通工具，从甲地到乙地有多少种不同的走法？从学校乘公共汽车去市图书馆，必须在市政府站转车.从学校到市政府站共有4种公共汽车可乘坐，从市政府站到图书馆有6种公共汽车可以乘坐.从学校到图书馆有多少种乘车方案?分类加法计数原理分步乘法计数原理从甲组的40件产品与乙组的20件产品中，抽出一件进行质量检测，共有多少种抽取方法？2、抽拿问题总共抽一件两个袋子中分别装有3个红色球和3个白色球，从中取出一个红色球和一个白色球，共有多少种方法？各抽一件分步乘法计数原理分类加法计数原理3、排（填）数字问题用数字1、2、3、4可以组成多少个三位数？画好空格，将数字逐一填入格子中变：用数字1、2、3、4可以组成多少个三位数？（数字不重复）4、分配问题将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，不同的方法有多少种？将3封信放入4个不同的信箱中，不同的方法有多少种？5本不同的画册分给3人，每人限得一本，不同的方法有多少种？例3高二（1）班、（48）班、（62）班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试．(1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？(2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？(3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？

两个计数原理的应用解：（1）选一人当组长可分三类方案完成，第一类，组长从（1）班选出，有7种选法、第二类，组长从（48）班选出，有5种选法、第三类，组长从（62）班选出，有9种选法，根据分类加法计数原理，选一人当组长有7+5+9=21种选法；（2）如果老师任组长，每班选一名副组长，则需要分三步，第一步，从（1）班选一名同学担任副组长，有7种选法，第二步，从（48）班选一名同学担任副组长，有5种选法，第三步，从（62）班选一名同学担任副组长，有9种选法，根据分步乘法计数原理，每班选一名副组长共有7×5×9=315种选法；（3）推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，可分为三类方案，第一类，若两人来自（1）班和（48）班，有7×5=35种选法；第二类，若两人来自（1）班和（62）班，有7×9=63种选法；第三类，若两人来（48）班和（62）班，有5×9=45种选法；综上可知，这两人来自不同的班级的不同的选法有35+63+45=143种选法.

方法归纳应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这件事是什么.(2)思考如何完成这件事.(3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类.(4)选择计数原理进行计算.1．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．则四名同学的报名情况共有（

）A．81种

B．64种

C．24种

D．12种A2．垃圾分类是保护环境、改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措，现将3袋垃圾随机投入4个不同的垃圾桶，则不同的投法有（

）A．7种

B．12种

C．64种

D．81种C3.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法?根据会英语的人中是否含甲，分两类.解：由题意知，有1人既会英语又会日语，记为甲，6人只会英语，2人只会日语.第一类：不含甲，从只会英语的6人中选1人有6种选法，从会日语的3人中选1人有3种选法.此时共有6×3=18(种)选法.第二类：含甲，从只会日语的2人中选1人有2种选法,此时有1×2=2(种)选法.所以由分类加法计数原理知，共有18+2=20(种)选法.复杂问题先分类后分步.两个原理的联系与区别1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.