2024年北京昌平区高一上学期期末考数学试题含答案解析

第1页/共1页北京昌平区2023—2024学年第一学期高一年级期末质量抽测数学试卷第一部分（选择题）一、选择题共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则集合（）A. B. C. D.2.下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（）A B. C. D.3.对于任意实数a，b，c，下列命题是真命题的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果，那么 D.如果，那么4.已知向量，在平面直角坐标系中的位置如图所示，则（）A. B.2 C. D.45.向一个给定的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为，则以下函数图象中，可能是的图象的是（）A. B. C. D.6.以下茎叶图记录了甲、乙两名学生六次数学测验成绩（百分制）.给出下列四个结论：①甲同学成绩的极差比乙同学大；②甲同学成绩的平均数比乙同学高；③甲同学成绩的分位数比乙同学小；④甲同学成绩的方差比乙同学大其中所有正确结论的序号是（）A.①④ B.①③ C.②④ D.①③④7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度C.向上平移2个单位长度 D.向下平移2个单位长度8.已知函数，则“，使”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知函数，则函数零点个数为（）A.2 B.1或2 C.3 D.1或310.高一年级某班30名同学参加体能测试，给出下列三个判断：①有人通过了体能测试：②同学甲没有通过体能测试；③有人没有通过体能测试.若这三个判断中只有一个是真，则下列选项中正确的是（）A.只有1名同学通过了体能测试 B.只有1名同学没有通过体能测试C.30名同学都通过了体能测试 D.30名同学都没通过体能测试第二部分（非选择题）二、填空题共6小题．11.函数的定义域为________________.12已知向量，不共线，且，.若，则______________.13.，，三个数中最大的数是________________.14.在中，点D，E满足，.若，则_________.15.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为.若三人各投篮一次，则甲、乙、丙三人都投中的概率为______________；至少有两人投中的概率为_______________.16.已知函数，给出下列四个结论：①在定义域上单调递增；②存在最大值；③不等式的解集是；④的图象关于点对称．其中所有正确结论的序号是________________.三、解答题共5小题，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知全集，，，.（1）求，.（2）若，求实数a的取值范围.18.为促进更多人养成良好的阅读习惯，某小区开展了“我读书，我快乐”的活动.为了解小区居民最近一个月的阅读时间（单位：小时），随机抽取个居民作为样本，得到这个居民的阅读时间，整理得到如下数据分组及频数、频率分布表和频率分布直方图：分组区间频数频率合计（1）求出表中，及图中的值；（2）若本小区有人，试估计该小区阅读时间在区间内的人数；（3）在所取样本中，从阅读时间不少于小时的居民中，按分层抽样的方法选取人，并从这人中选人去参加社区知识竞赛，求至多有人阅读时间在区间内的概率.19.已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，（ⅰ）求的值；（ⅱ）设，，求的最小值；（2）当时，若函数图象上任意一点都不在直线的上方，求的取值范围.20.某旅行社不定期组成旅游团去风景区旅游，若旅游团人数在30或30以下（不低于20），则收取费用180元/人；若旅游团人数大于30，则给予如下优惠：每多1人，费用每人减少3元，直到达到满额50人为止（大客车限乘51人，含司机）．旅行社每次需支出成本费用3000元.（1）若旅游团人数为40，求每人应交的费用；（2）设旅游团人数为x时每人应交的费用为y元，求出y与x之间的关系式；（3）求旅游团人数x为多少时，旅行社可获得的利润L最大.21.已知函数是奇函数.（1）求实数a的值；（2）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；（3）解关于t的不等式.昌平区2023—2024学年第一学期高一年级期末质量抽测数学试卷第一部分（选择题）一、选择题共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据并集的知识求得正确答案.【详解】依题意.故选：C2.下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性与单调性判断即可.【详解】对于选项A：关于原点对称，奇函数，且在上单调递减，故A不正确；对于选项B：关于轴对称，是偶函数，且在上单调递增，故B正确；对于选项C：是非奇非偶函数，且在上单调递减，故C不正确；对于选项D：关于轴对称，是偶函数，且在上单调递减，故D不正确.故选：B.3.对于任意实数a，b，c，下列命题是真命题的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果，那么 D.如果，那么【答案】D【解析】【分析】采用举反例的方法，可判断A，B，C，利用不等式性质可判断D.详解】对于A：如果，当时，则，选项A不正确；对于B：如果，取，，满足条件，但，选项B不正确；对于C：如果，取，，满足条件，但，选项C不正确；对于D：如果，则必有，故，则，选项D正确.故选：D.4.已知向量，在平面直角坐标系中的位置如图所示，则（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的运算法则和向量模的计算求解.【详解】由图知，，所以，所以.故选：B.5.向一个给定的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为，则以下函数图象中，可能是的图象的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函数增长速度得到结论.【详解】因为单位时间内注水的体积不变，结合容器的形状，水面的高度变化应该是：先逐渐变快，后逐渐变慢.故选：C6.以下茎叶图记录了甲、乙两名学生六次数学测验的成绩（百分制）.给出下列四个结论：①甲同学成绩的极差比乙同学大；②甲同学成绩的平均数比乙同学高；③甲同学成绩的分位数比乙同学小；④甲同学成绩的方差比乙同学大其中所有正确结论的序号是（）A.①④ B.①③ C.②④ D.①③④【答案】A【解析】【分析】根据茎叶图、极差、平均数、百分位数、方差等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】①甲同学成绩的极差为，乙同学成绩的极差为，所以①正确，排除C选项.②甲同学成绩的平均数为，乙同学成绩的平均数为，所以②错误.③，所以甲同学成绩分位数是，乙同学成绩的分位数是，所以③错误，排除BD选项.所以A选项正确.同时，通过观察茎叶图可知甲同学的成绩相对分散，乙同学的成绩相对集中，所以甲同学成绩的方差比乙同学大，④正确.故选：A7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度C.向上平移2个单位长度 D.向下平移2个单位长度【答案】D【解析】【分析】变形函数解析式，再与指定函数比对即得.【详解】函数化为：，显然把函数的图象下移2个单位长度即得的图象，所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向下平移2个单位长度.故选：D8.已知函数，则“，使”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由不等式有解得到的取值范围，从而得到充分性不成立；通过，判断函数对应的不等式有解，说明必要性成立.【详解】由”，使”，即，所以，即，充分性不成立；已知函数，当“”时，，函数与轴有两个交点，所以“，使”成立，即必要性成立.综述，已知函数，则“，使”是“”的必要而不充分条件.故选：B.9.已知函数，则函数的零点个数为（）A.2 B.1或2 C.3 D.1或3【答案】A【解析】【分析】分段分析函数的取值集合，再分段确定的零点个数即可.【详解】当时，函数在上单调递增，，显然，而，即恒有，函数在上无零点；当时，，函数取值集合为，由，，得，解得或，在上有2个零点，所以函数的零点个数为2.故选：A10.高一年级某班30名同学参加体能测试，给出下列三个判断：①有人通过了体能测试：②同学甲没有通过体能测试；③有人没有通过体能测试.若这三个判断中只有一个是真，则下列选项中正确的是（）A.只有1名同学通过了体能测试 B.只有1名同学没有通过体能测试C.30名同学都通过了体能测试 D.30名同学都没通过体能测试【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，分析确定正确的一个判断，即可求得正确答案.【详解】“有人通过了体能测试”与“有人没有通过体能测试”不可能都为真，若“同学甲没有通过体能测试”为真，则“有人没有通过体能测试”必真，不符合题意，因此“同学甲没有通过体能测试”是假的，即同学甲通过了体能测试，②假，①真，③假，由“有人没有通过体能测试”是假的判断，得30名同学都通过了体能测试，C正确.故选：C第二部分（非选择题）二、填空题共6小题．11.函数的定义域为________________.【答案】【解析】【分析】由函数定义域的求法直接求解.【详解】由.故答案为：12.已知向量，不共线，且，.若，则______________.【答案】【解析】【分析】根据向量平行列方程，从而求得的值.【详解】由于，所以存在，使得，即，所以，解得.故答案为：13.，，三个数中最大的数是________________.【答案】【解析】【分析】利用指数函数、对数函数等知识，与1，2进行比较即可求得正确答案.【详解】，，，，所以三个数中最大的是.故答案为：14.在中，点D，E满足，.若，则_________.【答案】##【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即得.【详解】在中，点D，E满足，，则，而不共线，又，因此，所以.故答案为：15.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为.若三人各投篮一次，则甲、乙、丙三人都投中的概率为______________；至少有两人投中的概率为_______________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.【详解】甲、乙、丙三人都投中的概率为.至少有两人投中的概率为.故答案为：；16.已知函数，给出下列四个结论：①定义域上单调递增；②存在最大值；③不等式的解集是；④的图象关于点对称．其中所有正确结论的序号是________________.【答案】①③④【解析】【分析】根据给定的函数，分析单调性判断①；利用指数函数值域判断②；解指数不等式判断③；探讨函数图象的对称性判断④即得.【详解】函数的定义域为R，函数在R上单调递减，因此在R上单调递增，①正确；由于，则，，函数不存在最大值，②错误；不等式，即，整理得，解得，的解集是，③正确；由于，因此的图象关于点对称，④正确，所以所有正确结论的序号是①③④.故答案为：①③④【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.三、解答题共5小题，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知全集，，，.（1）求，.（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得，.（2）先求得，然后根据以及对进行分类讨论，从而求得的取值范围.【小问1详解】，解得或，所以或，，解得，所以，所以或.【小问2详解】，，当时，无解，无法使得成立，不符合题意.当时，由解得，则，无法使得成立，不符合题意.当时，由解得，则，要使成立，则需.18.为促进更多人养成良好的阅读习惯，某小区开展了“我读书，我快乐”的活动.为了解小区居民最近一个月的阅读时间（单位：小时），随机抽取个居民作为样本，得到这个居民的阅读时间，整理得到如下数据分组及频数、频率分布表和频率分布直方图：分组区间频数频率合计（1）求出表中，及图中的值；（2）若本小区有人，试估计该小区阅读时间在区间内的人数；（3）在所取样本中，从阅读时间不少于小时的居民中，按分层抽样的方法选取人，并从这人中选人去参加社区知识竞赛，求至多有人阅读时间在区间内的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据频率与频数求得，结合图表求得.（2）根据阅读时间在区间内的频率求得对应的人数.（3）根据分层抽样以及古典概型概率计算公式求得正确答案.【小问1详解】依题意，，所以，.【小问2详解】阅读时间在区间内的人数为.【小问3详解】抽取人，记为，抽取人，记为.从这人中选人去参加社区知识竞赛，基本事件有：，共个，至多有人阅读时间在区间内包含的基本事件有：，共个，所以至多有人阅读时间在区间内的概率为.19.已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，（ⅰ）求的值；（ⅱ）设，，求的最小值；（2）当时，若函数的图象上任意一点都不在直线的上方，求的取值范围.【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）的最小值为（2）【解析】【分析】（1）（ⅰ）根据一元二次不等式的解求得.（ⅱ）利用基本不等式求得的最小值.（2）由恒成立，然后对进行分类讨论来求得的取值范围.【小问1详解】（ⅰ）依题意，关于的不等式的解集为，所以，解得.（ⅱ）由（ⅰ）得，当时，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.【小问2详解】当时，，由于函数的图象上任意一点都不在直线的上方，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，当时，不等式不恒成立，当时，要使恒成立，则需，解得，所以的取值范围是.20.某旅行社不定期组成旅游团去风景区旅游，若旅游团人数在30或30以下（不低于20），则收取费用180元/人；若旅游团人数大于30，则给予如下优惠：每多1人，费用每人减少3元，直到达到满额50人为止（大客车限乘51人，含司机）．旅行社每次需支出成本费用3000元.（1）若旅游团人数为40，求每人应交的费用；（2）设旅游团人数为x时每人应交的费用