2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上学期12月月考数学质量监测试题（附解析）

2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上学期12月月考数学质量监测试题第Ⅰ卷选择题（共58分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．设集合A=xx=2n+1,n∈NA．xB．xC．xD．∅2．已知i是虚数单位，则复数z1=2+ai,z2=1−iA．-2 B．2 C．0 D．13．不等式x+1x−1A．1<x<2B．1<x<3C．x<3D．x<24．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有A．八层B．十层C．十一层D．十二层5．已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为S，体积为V，则当VSA．2B．3C．1D．36．已知函数fx=2sinωx+φ（ω>0，0<φ<π），将fx图象上所有点向右平移π6ω个单位长度得到函数gx的图象，若A．2B．1C．2D．37．已知圆的圆心为1,−2，且直线3x−4y+14=0与圆相切，则圆的标准方程为A．x−1B．x−1C．x+1D．x+18．如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球为球O，E，F分别是棱ADA．对于任意点G，OD//平面B．直线EF被球O截得的弦长为3C．过直线EF的平面截球O所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为πD．当G为AB的中点时，过E，F，G的平面截该正方体所得截面的面积为2二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是A．an=1+n C．an=110．已知a>0，b>0.若4a+b=1，则A．14aB．1aC．4a+1b+1的最大值为D．a+1b+1的最大值为11．已知△ABC内角A,B,C对边分别为a,b,c，则下列说法正确的是A．若sinA>sinB．若acosB=bcosC．若a2+bD．若a=1.5,b=2,A=30第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．若函数gx=x−1,x>0fx,x<0是奇函数，则13．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则该“堑堵”的正视图的面积是，体积是．14．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点Mx1,y1，Nx四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数fx（1）函数fx取得最大值或最小值时的x组成集合A，将集合A中x∈0,+∞的所有x的值，从小到大排成一数列，记为an（2）令bn=π2an⋅16．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．cos2cos2cos2（1）求出这个常数；（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．17．在如图所示的五面体中，四边形ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=π2，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2CD=4AB=4，△ADE(1)证明：EF//平面ABCD；(2)证明：BE⊥平面ACF．18．已知双曲线E:x2a2−(1)求双曲线E的方程；(2)过点F作斜率分别为k1,k2的直线l1,l2，直线l1交双曲线E于A,B两点，直线l2交双曲线E于19．已知函数fx(1)求fx在x=0(2)当x≥0时，fx≥1−x−sin(3)证明：当a<12时，fx高三数学答案及解析1234567891011CAADACACABDBCABD1．【详解】设集合C=xx=4n+3=22n+1+1,n∈N，B=xx=4n+1=22．【详解】z1z2=2+ai1−i=3.【详解】不等式x+1x−1>2化为2x−1−x+1x−1<0，即x−3x−1<0,∴x−1x−34．【详解】设该塔共有n+4层，则5n+n(n−1)即(n+12)⋅(n−8)=0，解得n=8或n=−12（舍），即该塔共有n+4=8+4=12层.5．【详解】设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，则l=2，ℎ=V=13于是V（当且仅当r=4−r2此时l=2，r=2，由线面角的定义得，所求的母线与底面所成角的正弦值为26．【详解】依题意，gx所以φ−π由于0<φ<π，所以φ=fxx∈0,由于fx在0,所以π6ω+π6≤7．【详解】因为直线3x−4y+14=0与圆相切，设圆的半径为r，则r=3×1−4×所以圆的标准方程为x−128．【详解】对于A，根据已知条件圆O为以O为圆心，半径R=1的圆；G在棱AB上移动，当G与点A重合时，平面EFG即为平面EFA，因为D在直线AE上，所以D⊂平面EFG，所以OD与平面EFG相交，A错误；对于B，以D点为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、则O1,1,1、E1,0,0、F2,2,1则OE=02+−1设直线OE与直线EF夹角为θ，则cosθ=由此可知sinθ=1−322=12，连结则在Rt△OEM中，有OMOE=设直线EF被球O截得的弦长为l，则l=2R对于C，过直线EF的平面截球O所得的所有截面圆半径最小时，有OM垂直于过EF的平面，此时圆的半径为r=l2=对于D，根据题意当G为AB的中点时，过E，F，G的平面截该正方体所得截面为正六边形EGFHNP，∠EAG=90°，在Rt△EAG中，AG=AE=1，所以边长EG=所以截面面积为S19．【详解】对于A，由于an+1−a对于B，由于an+1−a对于C，由于a1=14,对于D，由于a1当n>2时，a3=4，an+1又a1<a10．【详解】A.14a+1b=14a+1b4a+bB.1a+1b=1a+1b4a+bC.4a+1b+1≤4a+1+b+1D.a+1b+1=144a+4b+1≤1411.【详解】对于A，因为sinA>sinBab=sinAsin对于B，由余弦定理得a×a化简得a=b，故△ABC为等腰三角形，故B正确；对于C，由余弦定理cosC=因为a2+b2>c2对于D，若a=1.5,b=2,A=30°，则由正弦定理得因为B∈(0,π12．x+1【详解】当x<0时，−x>0，∴g−x又g−x=−gx，即−g∴当x<0时，fx13．1；2【详解】由三视图可知，该几何体的直观图如下图所示：该几何体为直三棱柱，正视图为等腰直角三角形，且斜边长上的高为1，斜边长为2，故该“堑堵”的正视图的面积是12×2×1=1，体积为14．±【详解】设直线MN的斜率为k，则直线MN:y=kx−1；联立y=kx−1,y2=4x,，消去y得，k2x2−2k2+2x+k2=0故S△MPF=12x15．（1）f(x)=2[32sin当x=2kπ+π2，k∈Z时，f(x)max=2，当x=2kπ−∴A={x|x=kπ+π2,k∈Z}（2）由（1）bn Tn=2(1−16．（1）cos=2=1+cos30°−3（2）推广：当α+β=30°时，cos2证明：∵α+β=30°，∴β=30°−α，cos====717．（1）因为四边形ABCD为直角梯形，所以AB//CD，又AB⊄平面CDEF，CD⊂平面CDEF，所以AB//平面CDEF，又AB⊂平面BAEF，平面ABFE∩平面CDEF=EF，所以AB//EF，又AB⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF//平面ABCD.（2）取AD的中点N，连接NB,NE,AF,BE，依题意易知NE⊥AD，又因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，所以NE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以NE⊥AC，又AN=AB=1，AD=DC=2，所以∠ANB=∠NAC=π所以AC⊥BN，又NE∩NB=N，所以AC⊥平面BNE，又BE⊂平面BNE，所以AC⊥BE，因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADE，AB⊥AE，由（1）有：EF//AB，所以EF⊥AE，在Rt△AEF和Rt△ABE中，tan∠AEB=又∠AEB+∠BFE=π2，所以∠AFE+∠BFE=π因为AF∩AC=A，AF,AC⊂平面ACF，所以BE⊥平面ACF.18．（1）由题意知c=25a2−23b2=1（2）直线l1的方程为y=k1由x23−所以x1所以x0=x所以M−6k因为l1⊥l2，所以当k≠1且k≠−1时，kMN所以直线MN的方程为y+2y+2y=−2y=−2y=−2所以y=−2所以直线MN过定点3,0；当k=1或k=−1时，直线MN的方程为x=3，所以直线MN过定点3,0．综上，直线MN过定点3,0．19.（1）∵f∴f(0)=1，且f'(x)=ex−2ax−cosx，则（2）当x≥0时，f(x)≥1−x−sinx，即ex−ax2+x−1≥0,当x=0时，ex−a则g'因为x>0，所以e当x>2时，g'(x)>0,，g(x)在(2,+∞)上单调递增；当0<x<2时，g'(