第01讲 实数及其运算课件2025年中考数学复习

第一章

数与式

第01讲

实数及其运算6大考点精讲+专训2大中考命题点+11大题型探究01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求实数的分类数轴、相反数、绝对值、倒数科学记数法平方根、立方根实数比较大小实数的相关计算★★★★★★★★★★★★★★理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值.会用科学记数法表示数了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；了解乘方与开方互为逆运算.能用有理数估计一个无理数的大致范围；能比较实数的大小.理解乘方的意义；掌握有理数的加减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.【考情分析】实数是初中数学的基础内容，也是必考内容，试题形式多样，考查较多的是实数与数轴结合、实数的混合运算及科学记数法，试题难度都不大，在实数的混合运算中，注意符号和运算顺序是解题的关键，实数的混合运算涉及的知识点较多，包含去绝对值、非零数的0次幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值等，每个知识点都要求准确掌握.02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究科学记数法考点三平方根、立方根考点四比较实数的大小考点五数轴、相反数、绝对值、倒数考点二实数的运算考点六实数的分类考点一实数的分类1.正数与负数大于0的数叫做正数正数：小于0的数叫做负数.负数：

有理数：整数和分数统称为有理数.

【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.

例：分数形式

根号形式

2.有理数及分类实数的分类考点一有理数分类

你答对了吗？实数的分类考点一3.无理数【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.无理数：无限不循环小数叫做无理数.常见的无理数：（1）一般的无限不循环小数如0.43241…，7.6385661…等（2）开方开不尽的数

（3）与圆周率π有关的数

（4）看似有规律循环实际上是

无限不循环的小数（5）某些三角函数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）…如sin60°、cos20°[易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.【注意】实数的分类考点一4.实数及其分类实数的定义：有理数和无理数统称为实数.实数的分类

能够写成分数形式实数的分类考点一

实数的分类

实数的分类考点一针对练习1．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（

）

A

C

C

实数的分类考点一03考点突破·考法探究科学记数法考点三平方根、立方根考点四比较实数的大小考点五数轴、相反数、绝对值、倒数考点二实数的运算考点六实数的分类考点一

数轴、相反数、绝对值、倒数1.数轴数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；2）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变；3）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小.4）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.数轴三要素原点正方向单位长度每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示补充实数与数轴上点的关系：数轴上的每一个点都表示一个实数实数与数轴上的点一一对应.数轴、相反数、绝对值、倒数考点二2.相反数相反数只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的性

质1）若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数.2）一个有理数有且只有一个相反数；3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.热

考几何意义1）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧.2）位于原点的两侧且到原点距离相等的点，所表示的两个数互为相反数.数轴、相反数、绝对值、倒数考点二3.绝对值绝对值数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|．正数的绝对值是它本身0绝对值是0负数的绝对值是它的相反数绝对值的代数意义易混易错3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论1）若|a|=a（或|a|-a=0），

则a≥0，

若|a|=-a（或|a|+a=0），

则a≤0.2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0.数轴、相反数、绝对值、倒数考点二4.倒数1）0没有倒数，倒数是本身的只有1和-1.2）若a、b互为倒数，则ab=1.3）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）倒数1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．易混易错数轴、相反数、绝对值、倒数考点二针对练习

AB

B数轴、相反数、绝对值、倒数考点二针对练习

D

D

数轴、相反数、绝对值、倒数考点二03考点突破·考法探究科学记数法考点三平方根、立方根考点四比较实数的大小考点五数轴、相反数、绝对值、倒数考点二实数的运算考点六实数的分类考点一

科学记数法1.科学记数法把一个数A表示成a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．定义类别a的确定n的确定示例|A|＞10

0＜|A|＜11≤|a|＜10n为正整数，n=小数点左移的位数n为负整数，n=小数点右移的位数a=5.5，n=6a=-5.5，n=-6科学记数法考点三①直接将像26000000、320万这样的较大数字用科学记数法表示；②将450km或35nm换算单位后用科学记数法表示；③根据题意，先计算，再将计算结果用科学记数法表示.【补充】1）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数.2）一个负数也可以用科学记数法表示.3）科学记数法的常见类型:科学记数法考点三精确度近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位2.近似数准确数在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数.近似数接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.有效数字的概念从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数a×10n，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.【补充】4.360×104有四个有效数字：4,3,6,0.例：0.012有两个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6科学记数法考点三针对练习1．（2024·内蒙古·中考真题）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为

．

科学记数法考点三03考点突破·考法探究科学记数法考点三平方根、立方根考点四比较实数的大小考点五数轴、相反数、绝对值、倒数考点二实数的运算考点六实数的分类考点一平方根、立方根1.算术平方根

定义

1）被开方数具有非负性，即a≥0；

小结两个重要等式：

1）

一个非负数的算术平方根的平方等于它本身

即：2）

一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值即：平方根、立方根考点四

正数有两个平方根，且它们互为相反数0的平方根为0；负数没有平方根.2.平方根定义读作“正、负根号a”.性质平方根、立方根考点四3.立方根

1）立方根等于本身的有0和±1.2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.定义【补充】正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根．性质

平方根、立方根考点四平方根与立方根的区别与联系

名称

关系平方根立方根区别性质表示方法被开方数的取值范围联系转化条件正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根

正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数

平方根、立方根考点四4.常见实数的平方与立方

常见数的平方122232425262728292102149162536496481100112122132142152162172182192202121144169196225256289324361400常见数的立方1323334353637383931031827641252163435127291000平方根、立方根考点四

针对练习A2．（2023·山东·中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（）A．9的平方根

B．9的算术平方根

C．9的立方根

D．5的算术平方根B

±2平方根、立方根考点四03考点突破·考法探究科学记数法考点三平方根、立方根考点四比较实数的大小考点五数轴、相反数、绝对值、倒数考点二实数的运算考点六实数的分类考点一比较实数的大小01正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；比较实数的大小方法总结数轴比较法：实数性质法：020304根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；作差比较法：作商比较法：a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b.

比较实数的大小考点五050607倒数比较法：平方比较法：特殊值法：a、b为正数，若a²>b²，则a>b.

a、b为负数，若a²>b²，则a<b.通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小.补充记住三个常用的近似值:

比较实数的大小考点五

2．（2023·江苏·中考真题）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，

下列结论正确的是（

）

A．a＜-2 B．b＜2

C．a＞b D．-a＞b

针对练习ADC＞比较实数的大小考点五03考点突破·考法探究科学记数法考点三平方根、立方根考点四比较实数的大小考点五数轴、相反数、绝对值、倒数考点二实数的运算考点六实数的分类考点一实数的运算实数的四则运算当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用.1.实数的加法法则1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.2.实数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数.实数的运算考点六3.实数的乘法法则4.实数的除法法则5.运算顺序1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2）任何数同0相乘，都得0.1）正数的任何次幂都是正数；2）0的任何正整数次幂都是0；3）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数；2）0除以任何不为0的数，都得0.先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算.【补充】实数的运算考点六类别表示加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律乘法分配律6.运算律易混易错①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号．1.有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交换律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律．2.在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：实数的运算考点六

针对练习

方法指导

（2）先计算括号里的，再把除法运算化为乘法运算，最后约分即可．（1）先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可；方法指导实数的运算考点六

针对练习方法技巧解题的关键：

根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算

实数的运算考点六04题型精研·考向洞悉正负数的意义题型01实数的基础命题点一无理数的识别题型02科学记数法题型03无理数的估算题型04实数的大小比较题型05实数与数轴题型06平方根、立方根题型07

方法指导解题的关键：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正负数表示一对相反的意义的量命题点一

实数的基础题型01正负数的意义规定：海平面以上为正，

则：

海平面以下为负命题点一

实数的基础题型01正负数的意义

2．（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，

则能表示这5天日最低气温变化情况的是（

）A． B．C． D．

AA常见的无理数：

方法技巧带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.易错无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.注意命题点一

实数的基础题型02无理数的识别

命题点一

实数的基础题型02无理数的识别AD、0.13133是有理数，不符合题意；解

析

解

析方法技巧解题的关键：会求解一个数的算术平方根，立方根，确定无理数，再利用概率公式求解简单随机事件的概率

A命题点一

实数的基础题型02无理数的识别实数分类与概率结合题

解

析分数无理数循环小数整数有限小数无理数整数

∵7个数中有2个无理数∴无理数有2个用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1；②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.

3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧：1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10；2）确定n的两种方法：将数字用科学记数法表示时，小数点移动的位数，即为10的指数的绝对值.【小结】具体方法为命题点一

实数的基础题型03科学记数法方法技巧

BC命题点一

实数的基础题型03科学记数法【例1】【例2】

B命题点一

实数的基础题型03科学记数法【变式】

方法技巧

解析：C命题点一

实数的基础题型04无理数的估算方法技巧

【例2】（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数．

解析：

命题点一

实数的基础题型04无理数的估算1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；2）将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数；3）作差或作商法：作差后与0进行比较，作商后与1进行比较；5）乘方法：符号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小.

实数比较大小的常用方法

常见4）估算法：命题点一

实数的基础题型05实数的大小比较方法技巧

方法技巧

C【解析】

命题点一

实数的基础题型05实数的大小比较

命题点一

实数的基础题型05实数的大小比较解：

抛物线与实数比较结合题。利用抛物线性质确定出关于m的关系式

命题点一

实数的基础题型05实数的大小比较【例1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，若AM>BM，则下列运算结果一定是正数的是（

）A．a+b B．a-b C．ab D．a-b

【解析】A命题点一

实数的基础题型06

实数与数轴1．（2024·山东青岛·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如

图所示，这四个实数中绝对值最小的是（

）A．a

B．b C．c D．dC命题点一

实数的基础题型06

实数与数轴

A．点A

B．点B

C．点C

D．点DC3．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在数轴上，OB=1，

过O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA=2，且A在

OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线

OB于点C，则C点的横坐标为

．

利用勾股定理求出半径AB的值

12

3

命题点一

实数的基础题型07

平方根、立方根【解】方法技巧一个正数的平方根有两个，它们互为相反数

A命题点一

实数的基础题型07

平方根、立方根

C【解析】

04题型精研·考向洞悉非负性的应用题型01实数的运算命题点二实数的简单运算题型02实数的混合运算题型03与实数有关的新定义问题题型04常见的三种非负数2）一个实数的偶次方(主要是二次方)，即a²，a4等

方法技巧二次根式是初中阶段常见的三种非负数之一1）一个实数的绝对值，即|a|；

D【解】实数的偶次方二次根式实数的绝对值

命题点二

实数的计算题型01非负性的应用

命题点二

实数的计算题型01非负性的应用【变式】

再根据非负数相加等于0的条件得出方程组

【解】命题点二

实数的计算题型01非负性的应用

12

解题关键方法技巧C

【解析】

有理数的加减乘除、乘方的运算法则，正确掌握运算法则进行计算和判断命题点二

实数的计算题型