2023-2024学年广东省深圳市南山外国语学校高一上学期期中数学试题及答案

试题PAGE1试题深圳市南山外国语学校（集团）高级中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学科试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.下列函数既是奇函数，又是增函数的是（）A. B. C. D.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知，则（）A. B. C. D.5.已知函数的定义域为，则的值域为（）A. B. C. D.6.已知正数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.7.已知函数有最大值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知函数，且，则实数取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，错选或不选得0分）9.若，则下列结论正确的有（）A. B. C. D.10.已知函数，下列说法正确的有（）A. B.不等式解集为C.的单调增区间为 D.当时，方程有三个不等根11.已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（）A. B.C.在区间上单调递减 D.12.指数与对数的研究常常结合进行，例如：已知，则可得到，因此；仿照上述步骤，结合，等指数不等式，可以得到（）A. B. C. D.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，且，则的最大值为________________14.函数的单调递减区间为________________15.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为________________16.已知函数，若对，都有，则的取值范围为________________四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合，（1）当时，求；（2）若，求的取值范围.18.已知（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）求不等式的解集19.某公司经过调研知：某产品年产量最大为件，生产该产品年固定成本为万元，年产量为件时另需投入可变成本（单位：万元），若，每件产品的售价为1万元，且生产的产品能够全部销售完（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量函数解析式；（2）当该产品年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？20.已知函数（1）若，求在区间上的值域；（2）若，使得，求实数的取值范围21.已知函数是奇函数（1）求的值；（2）利用定义判断的单调性；（3）若，解不等式：22已知（1）讨论的奇偶性；（2）若在上的最大值为，求的值深圳市南山外国语学校（集团）高级中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学科试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】由得，所以，故选：C2.下列函数既是奇函数，又是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的奇偶性以及单调性，即可根据选项逐一求解.【详解】对于A,由指数函数的性质可知为非奇非偶函数，故A错误，对于B，由反比例函数的性质可知在和均为单调递减函数，故B错误，对于C，的定义域为，由于所以为偶函数，故C错误，对于D，的定义域为，且，故为奇函数，又为上的单调递增函数，故D正确，故选：D3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合，从充分性和必要性两方面考虑即可.【详解】由函数，其在单调递减，单调递增，则当时，能推出；当时，只能推出，不能推出，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用幂函数是上的增函数可判断，的大小；指数函数是R上的减函数可判断，的大小；得解.【详解】是上的增函数，，即；又是R上的减函数，，即；故选：A.5.已知函数的定义域为，则的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，转化为不等式的解集为，结合根与系数的关系，求得的值，再结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由函数的定义域为，即不等式的解集为，所以和是方程两个根，可得且，解得，所以，因为，所以函数的值域为.故选：D.6.已知正数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合，即可求解.【详解】由且，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.7.已知函数有最大值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数以及反比例函数的性质即可求解.【详解】当时，函数，若函数当时，，当时，，此时函数的最大值为4，符合要求，当时，在上单调递减，故，若有最大值，则，则，综上可知，故选：A8.已知函数，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函数的定义域，计算，进而判断函数的单调性，利用函数的单调性进行转化求解即可．【详解】由得，得，即函数的定义域为，，则,,由于函数均为单调递减函数，所以为的单调递减函数即函数在上为减函数，由得得，解得，故选：B二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，错选或不选得0分）9.若，则下列结论正确的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】对于AC，利用不等式的性质分析判断，对于B，举例判断，对于D，利用指数函数的单调性判断.【详解】对于A，因为，所以，所以，即，所以A正确，对于B，若，则满足，此时，所以B错误，对于C，因为，所以，所以，即，所以C正确，对于D，因为在上递增，且，所以，所以D正确，故选：ACD10.已知函数，下列说法正确有（）A. B.不等式的解集为C.的单调增区间为 D.当时，方程有三个不等根【答案】ABD【解析】【分析】根据分段函数表达式，作出函数图象，即可结合图象，逐一求解.【详解】作出的图象如下：对于A，，A正确，对于B，令，解得或或，结合函数图象可知：的解集为，B正确，对于C，的单调减区间为，故C错误，对于D，，故当方程有三个不等根时，，D正确，故选：ABD11.已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（）A. B.C.在区间上单调递减 D.【答案】AB【解析】【分析】由奇函数及，取，即可判断A，结合奇函数即可判断B，结合周期和对称性可判断出单调区间，即可判断CD.【详解】由知是定义在上的奇函数，则，且，又图象关于对称，则，令，则，A正确；由，得，则，B正确为奇函数，时，单调递减，则其在单调递减，又图象关于对称，则在区间上的单调性与在区间的单调性相反，即在区间上单调递增，C错误；则，则，则周期为4，则在的单调性与在的单调性相同，即在的单调递减，则，，则，D错误.故选：AB12.指数与对数的研究常常结合进行，例如：已知，则可得到，因此；仿照上述步骤，结合，等指数不等式，可以得到（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据指数与对数的互化，即可根据指数不等式求解.【详解】由得，由得，因此，故B正确，由得，由得，所以，故D正确，故选：BD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，且，则的最大值为________________【答案】##【解析】【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可.【详解】因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故答案为：14.函数的单调递减区间为________________【答案】【解析】【分析】根据指数复合函数的单调性，结合二次函数的性质即可求解.【详解】的定义域为,且是由函数和符合而成，由于函数在递增，而在定义域内为单调递减，故的单调递减区间为，故答案为：15.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为________________【答案】【解析】【分析】由函数为偶函数可将原不等化为，再根据函数在上单调递增，可得，从而可求得结果.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以可化为，因为在上单调递增，所以，所以，即，解得，所以原不等式的解集为，故答案为：.16.已知函数，若对，都有，则的取值范围为________________【答案】【解析】【分析】由题意将问题转化为在上，再分和两种情况，结合对数函数的单调性，可求出的取值范围.【详解】当时，在上递增，因为对，都有，所以，所以，所以，解得；当时，在上递减，因为对，都有，所以，所以，所以，解得；综上，或，即的取值范围为，故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合，（1）当时，求；（2）若，求的取值范围.【答案】17.18【解析】【分析】（1）根据，分别求出集合的解集，然后利用集合补集即可求解；（2）根据分情况讨论集合，从而求解.【小问1详解】当时，，所以：.【小问2详解】因为，所以有：，两种情况，若时，即：，得：.若时，即：，解得：.综上所述：的取值范围为：.18.已知（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）求不等式的解集【答案】（1）（2）当时，不等式的解为，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，即可由判别式求解，（2）分解因式，结合分类讨论，即可由一元二次不等式解的特征求解.【小问1详解】恒成立，则对恒成立，故，化简得，解得，故实数的取值范围【小问2详解】，即，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为19.某公司经过调研知：某产品年产量最大为件，生产该产品年固定成本为万元，年产量为件时另需投入可变成本（单位：万元），若，每件产品的售价为1万元，且生产的产品能够全部销售完（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式；（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）年产量为800件时，该公司所获利润最大,最大利润为86万元.【解析】【分析】（1）根据条件即可建立年利润关于年产量（件）函数解析式；（2）根据函数的表达式，利用二次函数的性质及基本不等式即可求出最大值．【小问1详解】由题意可得，所以．【小问2详解】当，时，．当时，取得最大值．当，时，．当，即时，取得最大值．综上，当时，取得最大值86，即年产量为800件时，该公司所获利润最大,最大利润为86万元．20.已知函数（1）若，求在区间上的值域；（2）若，使得，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）应用换元法，结合二次函数的最值即可求解；（2）应用换元法，即二次函数在有图像在轴下方，即可求解.【小问1详解】当时，，令，，则，开口向上，对称轴为，离对称轴较远，则，，即在区间上的值域为【小问2详解】函数，令，则开口向上，对称轴为，若，使得，又，即，使得，当时，则需,即，当时，需，解得则实数的取值范围.21.已知函数是奇函数（1）求的值；（2）利用定义判断的单调性；（3）若，解不等式：【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）由奇函数得解得，再验证定义域是否关于原点对称即可；（2）利用定义作差变形，结合对数函数的单调性利用作差比较法判断的符号；（3）设，不等式变形为，再利用单调性求解.【小问1详解】因为函数是奇函数，则，所以，则有，解得，当时，，由于定义域为，不关于原点对称，故舍去；当时，，由，解得，或，定义域为，关于原点对称，满足题意.综上，若函数是奇函数，则.【小问2详解】，.任取，且，则因为，所以，又，，，则，即，故在区间上单调递增.由是奇函数，则在区间上也单调递增.所以在区间上单调递增，在区间上也单调递增.【小问3详解】设，且，则不等式，当时，函数单调递增，函数也单调递增，则在区间单调递增，所以有，解得,故原不等式的解集为22.已知（1）讨论的奇偶性；（2）若在上的最大值为，求的值【答案】（1）当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数（2）3或4【解析】【分