江西省萍乡市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题 附答案

秘密★启用前萍乡市2023—2024学年度第一学期期末考试高二数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答题无效.3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.根据下表数据，通过最小二乘法求得关于的线性回归方程为：，则（）12340.60.81.11.5A.0.2 B.0.25 C.0.3 D.12.已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（）A. B.14 C. D.23.焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（）A. B.2 C. D.4.某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（）A. B. C. D.5.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462 B.630 C.672 D.8826.加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）.已知椭圆：，是直线：上一点，过作的两条切线，切点分别为、，连接（是坐标原点），当为直角时，直线的斜率（）A. B. C. D.7.以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成60°的二面角.若，，其中，，则的最小值为（）A. B. C. D.8.抛物线：（）的焦点为，准线为，过的直线与相交于，两点，且满足，在上的射影为，若的面积为，则的长为（）A. B. C. D.9二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.已知随机变量，则B.若随机事件，满足：，，，则事件与相互独立C.若事件与相互独立，且，则D.若残差平方和越大，则回归模型对一组数据，，…，的拟合效果越好10.曲线：，直线：与：，下列结论错误的是（）A.曲线的图象一定关于对称 B.当时，与间的距离为C.当时， D.若与曲线有2个交点，则的取值范围是11.如图，正方体边长为1，是线段的中点，是线段上的动点，下列结论正确的是（）A.B.三棱锥的体积为定值C.直线与平面所成角的正弦值为D.直线与直线所成角的余弦值的取值范围为12.双曲线：的左右焦点分别为，，两条渐近线分别为，，过坐标原点的直线与的左右两支分别交于，两点，为上异于，的动点，下列结论正确的是（）A.若以为直径的圆经过，则B.若，则或9C.过点作的垂线，垂足为，若（），则D.设，的斜率分别为，，则的最小值为2第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答题无效.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为______.14.将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有______种.（用数字作答）15.若随机变量，且，则展开式中项的系数是______.16.盒中装有5个大小、质地相同的小球，其中3个白球和2个黑球.两位同学先后轮流不放回摸球，每次摸一球，当摸出第二个黑球时结束游戏，或能判断出第二个黑球被哪位同学摸到时游戏也结束.设游戏结束时两位同学摸球的总次数为，则______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知圆是的外接圆，圆心为，顶点，，且______.在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.①顶点；②；③.（1）求圆的标准方程；（2）若点为直线：上一动点，过点作圆的切线，切点为，求的最小值.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，.（1）证明：；（2）若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）甲、乙两所学校高三年级学生分别有1000人和800人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了72名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校分组频数3148103乙校分组频数210221（1）计算，的值；（2）若规定考试成绩在内为尖子，现从两校的尖子生中随机抽取4人，求恰有1人来自乙校的概率；（3）若规定考试成绩在内为优秀，根据以上统计数据完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异.甲校乙校总计优秀非优秀总计参考公式：，.临界值表：0.10.050.012.7063.8416.63520.（本小题满分12分）在一次智力游戏中，甲、乙两人轮流答题，每人每次答一题，游戏开始时由甲先答题，约定：先答对题者为游戏获胜方：当游戏分出胜负或两人各答错3次时游戏均结束，两人各答错3次视为平局.已知甲每次答对题的概率均为，乙每次答对题的概率均为，且每次答题互不影响.（1）求两人共答题不超过4次时，甲获胜的概率；（2）求游戏结束时乙答题次数的分布列与数学期望.21.（本小题满分12分）如图，是边长为4的正方形，平面，，且.（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）如图，椭圆：（）的上顶点为，右顶点为，离心率，、是椭圆上的两个动点，且满足.（1）求椭圆的标准方程；（2）试判断直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

萍乡市2023—2024学年度第一学期期末考试高二数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（分）BACDC；DDB.二、多项选择题（分）ABC；ABC；ACD；AD.三、填空题（分）13.（或）；14.50；15.48；16..四、解答题（共70分）17.答案：（1）圆的标准方程为；（2）的最小值为3.（1）若选①：【方法一】设圆的标准方程为，圆心为，半径为，∵圆过点，，∴圆心在直线上，即；∵圆过点，，∴圆心在直线上，即，∴圆的圆心为，半径，∴圆的标准方程为；【方法二】设圆的一般方程为，∵圆过点，，，代入方程，解得，，，∴圆的一般方程为，∴圆的标准方程为；若选②：∵，∴是直角三角形，∴的外接圆圆心为斜边的中点，设圆的标准方程为，圆心为，半径为，由题知，圆心为，半径，∴圆的标准方程为；若选③：∵，∴圆心为边的中点，为圆的直径，设圆的标准方程为，圆心为，半径为，由题知，圆心为，半径，∴圆的标准方程为；（2）依题意：，，又∵，∴，即，∴的最小值为3.18.答案：（1）见详解；（2）平面与平面所成角的正弦值为.（1）证明：设为的中点，连接，，，∵底面是菱形，，∴又∵，∴，，、平面，∴平面，∵平面，∴；（2）∵，∴为异面直线和所成角或其补角，则，又，由余弦定理，，在中，，∴，由（1）可知，，，故，，两两垂直，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，，，，，，，，设平面的法向量，则，即，令，得，因为平面，故平面的法向量，设平面和平面所成角为，则，则，故平面和平面所成角的正弦值为.19.答案：（1），：（2）：（3）列联表见后；不能在犯错误的概率数学成绩有差异.（1）甲校抽取人，乙校抽取人，故，；（2）由表知甲校尖子生5人，乙校尖子生3人，共8人，抽取4人，恰有1人来自乙校的概率；（3）列联表如下：9分甲校乙校总计优秀15520非优秀252752总计403272，故不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异.20.答案：（1）；（2）.（1）计，分别表示甲、乙在第次答题答对，则，，，记“甲获胜”为事件，则；（2）的所有可能为：0，1，2，3，，，，，综上所述，的分布列为：0123数学期望（次）.21.答案：（1）见详解；（2）存在这样的点，当时，点到平面的距离为.（1）证明：设点是线段上靠近的三等分点，连接，.∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，，在正方形中，，所以，，∴四边形是平行四边形，则，平面，平面，∴平面；（2）∵平面，，∴以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，设，，，故，设平面的法向量为，则，即，令，则，∵点到平面的距离为，所以，解得