数列的概念（第2课时）课件高二上学期数学人教A版选择性2

数学必修第一册舒城一中*4.1数列的概念2024/12/28第四章数列（第2课时）温故知新1.数列的概念是什么？一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做数列的项。

2.什么是数列的通项公式？

通项公式数列的概念表示方法分类列表图象有穷数列无穷数列递增数列递减数列摆动数列常数列函数数列温故知新例题导入

思路：利用相对应的函数的单调性来判断。解法一：（作差法）

解法二：（作商法）

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解法三：（函数性质法）

例题小结

2.用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论。

例题导入解法一：（单调性法）

∴分类如下：

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例题小结求数列最大项和最小项的方法方法一：利用判断函数单调性的方法，先判断数列的单调性，再求数列的最大项和最小项；方法二：解不等式组：

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所以，120是这个数列的项，是第10项．追问：

已知数列通项，我们可以解决哪些问题呢？①可以知道数列中的某一项的值；②可以判断这个数值是不是该数列的项。思考：数列作为特殊的函数，还有没有其它特别的表达方式？欣赏谢尔宾斯三角形的美妙探究新知例4：

图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形。在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式。探究新知着色三角形数127×3×3×3

猜想39追问：你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？探究新知13927×3×3×3

每一个着色三角形都会在下一个图形中都可以分裂成三个着色三角形和一个白色的三角形。即从第二项起，前一项是后一项的3倍探究新知13927×3×3×3a1=1a2=3a1a3=3a2a4=3a3（n≥2）因此，此数列的通项公式为：n≥2.n=1,

当不能明显看出数列的项的取值规律时,可以尝试通过运算来寻找规律,如依次取出数列的某一项,减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察。问题1：

什么是一个数列的递推公式呢？

探究新知1，3，9，27，…项与序号之间的关系

相邻两项之间的关系an=3an-1(n≥2)通项公式递推公式

同样的数列，从两个不同角度观察就得到两个不同的规律。由第二个式子可通过第一项推出第二项，再由第二项推出第三项，……依次类推。把这个式子叫做这个数列的递推公式。概念生成

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。这样，知道了一个数列的首项和递推公式，就能求出数列的每一项了。注意：(1)不是所有的数列都有递推公式；

1，3，9，27，…追问1：相邻多项之间的关系能用递推公式表示吗？探究新知1，1，2，3，5，8，13，21，34，…斐波那契数列

反映相邻3项的关系

追问2：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？

递推公式通项公式（n≥2）==3·

探究新知首项为1

类别递推公式通项公式区别表示与它的前一项（或前几项）之间的关系。表示与序号之间的关系。

联系（1）都是表示数列的一种方法，且两者相统一。（2）由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式。探究新知数学史1202年，意大利数学家斐波(LeonardoFibonacci，约1170-约1250)出版了他的《算盘书》(LiberAbaci)。他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题:如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，一年后会有多少对兔子?斐波那契数列

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233….你发现这个数列的规律了吗?把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到一组数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，过了一年之后，总共会有233对兔子。

数学史典例分析

典例分析

巩固练习

巩固练习3、写出各组图的点数构成的数列的一个通项公式，在括号中填第5项的点数.211335巩固练习

解：（1）由递推式可得，a2－a1=1，a3－a2=1，…an－an－1=1

∴数列的通项为an=n.

总结：一般递推关系为an+1=f(n)+an，即an+1-an=f(n)时，可用累加法求通项公式.

探究新知被减数有多少个，就有多少个由递推公式求数列的通项公式累加法

解：由递推式可得

又∵a1=1总结：一般递推关系为an+1=f(n)·an,即时，可用累乘法求通项公式.典例分析累乘法

典例分析解法一(归纳法)：

解法二(迭代法)：由题意可知：典例分析

解法三(累加法)：

由题意可知

典例分析(2)累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类：①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法；②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)可以求积的)，使用累乘法；③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决.方法提炼由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.探究新知

=（n≥2）当n≥2时当n

=

1时这就是数列的前n项和公式与通项公式联系探究新知

探究新知

典例分析

典例分析解:∵

Sn=-2n2+10n,∴

Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴

an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).

解:a1=S1=1+2=3,①

巩固练习

解：（1）当n≥2时，

当n=

1时，

不符合上式巩固练习解：（2）当n≥2时，

总结：已知Sn求出an依据的是Sn的定义：Sn=a1+a2+…+