固体物理知识点总结

一、考试重点

晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念和基本理论和知识

二、复习内容

第一章晶体结构

•基本概念

1、晶体分类及其特点：

单晶粒子在整个固体中周期性排列

非晶粒子在几个原子范围排列有序（短程有序）

多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积

准晶体粒子有序排列介于晶体和非晶体之间

2、晶体的共性：

解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质

各向异性晶体的性质与方向有关

旋转对称性

平移对称性

3、晶体平移对称性描述：

基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元

格点用几何点代表基元，该几何点称为格点

晶格、

平移矢量基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量

瓦=%,=+，避2+，3痣=0;±1.±2.±3;-«-）

例、

-

苴七三个不共面矢量2为点阵空间坐标矢量，称为基矢。

元胞以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不

同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。原胞是晶体结构的最小体积重

复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。每个原胞含1个格点，

原胞选择不是唯一的

晶胞以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴

上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞。

晶胞边长同、、向称为晶格常数;

晶格常数B

WS元胞以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体

称为WS原胞。WS原胞含一个格点

复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格

简单格子

点阵格点的集合称为点阵

布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。

4、常见晶体结构：简单立方、体心立方、面心立方、

金刚石

两个面心立方晶格沿体对角线相互移动1/4对角线长套构成

闪锌矿

体对角线上离子面心立方与顶角、面心离子面心立方沿体对

角线相互移动1/4对角线长套构而成。

铅锌矿

六方硫离子晶格和六方锌离子晶格沿六方轴C移动3c/8长度套构形成。

氯化钝

Cs+和Cl-各自构成简立方晶格，沿体对角线相互移动1/2对

角线长套构而成。

氯化钠

Na+和C「各自构成面心立方格子沿立方边长方向相互移动半

个边长套构形成。

钙钛矿结构

A离子在立方顶角，B离子在立方体心（氧八面体中心），。1、

OJI、O】n分别在立方面心，A、B、OnOn、0nl各自组成简单

立方格子套构而成。

5、密排面将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排

面

密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。

六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积

中心反演i

1

（x15x2JJJ）T（一玉,一工2,一天）

、玉,3）B--100］「xj

________X；=0-10x2

.-------------------*毛X3J00-1Xj

（X；,芯芯、-100-

D=0-10

00-1

镜面反映CT

（玉心口3）

3*

_______/:

/上

:（XXM

n次旋转对称轴Cn

将晶体围绕某一固定轴旋转工后,晶体重合，则对应的固定轴

n

称为〃次旋转对称轴,其操作矩阵是正交矩阵。

司」10(）

乂=0cos6-sin8七

§Q

芯0sin0cos

14种布拉菲晶胞

14种布拉菲晶胞

名称布拉菲晶胞类型对称性最高的点群晶胞基矢特征

简单立方（P）

立方晶系a-b-c

面心立方（F）O

（高级对称）ha二4=7=90

体心立方（I）

四方晶系简单四方（P）a-b^c

P-简单Df

（中级对称）体心四方（Da=Q=y=9。

I-体心简单正交（P）

a*b±c

正交晶系底心正交（C）

F-面心

（低级对称）体心正交（I）外a=/?=y=90

面心正交（F）

R-菱形

单斜晶系简单单斜（P）a*b丰c

C-底心

（低级对称）底心单斜（C）C?ha=4=90,”90

三斜品系丰

简单三斜（P）£ab#c

（低级对称）a“w90?w90

三方晶系a=b=c

三方（R）,d

（中级抽）a=4=7工90

六方晶系%

六方（P）a=b^c

（中级对称）a=8=90,y=120

32种宏观对称性

晶体32个点群

名称标记符号的意义熊夫利符号

回转群Q晶体只含有一个旋转对称轴G，

晶体包含一个〃重旋转轴和77个与之

双面群

2垂直的二重轴

G群GG加上中心反演（对称心）G

Cs

G群加上镜面反映对称面

口上与〃重旋转轴垂直的水平对

CJc2力,G/pG力,a力

c泌群称葡

C群C„加上%个含"重旋转轴垂直对02丫＞03丫,。八〉C6V

nvCnv称海

与群2加上与〃重旋转轴垂直的水平。2力，03力，04力，。6力

D„h对称面

%群Dn加上通过/重轴及两根二重轴的D?d>D3d

%角平分线的对称面

久群凡晶体只包含象转轴S,Sf

Td群Td含正四面体24个对称操作Td

O群O°h中24个转动操作加中心反演。，。卜

T群TTd中12个转动操作T

。群T加上中心反演A

7个晶系

晶系：满足32种宏观对称类型的晶胞,其基矢a,b,c的组合只有7种,每一种

组合称为一个晶系.

6、描述晶体性质的参数：

配位数晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。

晶体最大配位数为12,晶体可能配位数12,8,6,4,3,2。

晶列过任意两格点的直线称为晶列

晶向晶列方向

晶向指数

♦晶向指数（晶列指数）

设元胞基矢为为q,格点。为原点,

沿着某一晶体方向，格点力的平移矢量,

耳=万］+4万？+/；53

W-0,±1,±2,…）

将化成互质整数，

口⑷3］就是晶向指数

晶面全部格点用一族平行平面包含，该平行平面族称为晶面族，族中每个平面称为

晶面

晶面指数）晶面在元胞基矢截距的倒数的互质整数组称为晶面指数

密勒指数（hkl）晶面在晶胞基矢上截距的倒数的互质整数组称为密勒指数

面间距

密勒指数（h,k,l）晶面系晶面间距，

面密度

体密度

晶面上的格点密度。与面间距d之间满足

式中,P为格点体密度.

致密度

_晶胞中原子最大体积之和

‘晶胞体积

解理面对原子晶体，密勒指数简单的晶面族，面间距较大，晶面格点密度大，晶面

间结合力较小，容易解理。对离子晶体，晶面格点密度大且晶面是电中性的晶面容

易解理

7、倒格子：

定义倒格子是晶格点阵在波矢空间的傅立叶变换

倒格子基矢:倒格子基矢4,方2，与।

7xxa

oa2a3,a3a,,_

fi=af(a2XaJ为正格子元胞体积।

倒格矢

+〃石，+(”「%，砥=0,土1,土2,土3,・・・)

Gnh=h1S.1xznn

布里渊区以任意倒格点为原点，作所有倒格矢的垂直平分面将倒格子空间分成的一

系列区域，称为布里渊区

•理论公式

1、布拉菲点阵分布函数？?？

2、倒格矢

3、倒格子基矢与正格子关系式

:倒格子基矢与正格子的关系为,

Qi'bj=2TT3U=j0j〜jD=1,2,3

4、晶面指数(57-60)、密勒指数(61)、晶面间距(65-66)、晶面原子密度的计算????？

•图形和关系曲线

1、简单立方(配位数、元胞、元胞基矢、晶胞、晶胞基矢、不同晶面上格点分布、倒格

子基矢、第一布里渊区)

•筒单立方晶格

晶胞基矢，原胞基矢，

a=ata-=ai

b=aj一=>

c=ak53=ak

alblca:la:1a3

晶格常数，同二|不|=同二。

晶胞与原胞同=|5|=向=a体积，

晶胞含1个格点，体积,Q=*(a;xa3)=a'

2、

(1)设简单立方格子的基矢为a产ai、a2=aja3=ak,则对应的

倒格子基矢为b产(2Va)i、b2=(2n/a)j.b3=(27t/a)ko

(2)由瓦、b2、b3作出倒格子空间。倒格子元胞仍为简单立

方，元胞大小为(2n/a)3。

(3)简约布里渊区是原点与六个最近邻倒格点连线的中垂面围

成的立方体，其体积为(2Wa凡且包含了一个格点。

3、图1-12(a)简单立方图1-44简单立方格子的简约布里渊区

2、体心立方(配位数、元胞、元胞基矢、晶胞、晶胞基矢、不同面上格点分布、倒格子基

矢、第一布里渊区)

•体心立方晶格

晶胞基矢，

a=ai,b=aj,c=ak

a±b±c

晶格常数，

同=B卜同=。

晶胞含2个格点，体积，

晶胞与原胞

Q=

原胞基矢，

4=?(-亍+了+.)

a2=^(J-j

万3=yG+7-*)

团=同|=同|=卓

原胞体积，

。=五1.(方2乂］3)=9

对广体心立方结构，其原胞的基矢可取为

ai=互(—，+j+A)，02=—J+k),g=+j-k)，

其倒格子基矢为

bi=­“(j+A),62=(I+*,g=—CL(«+j).

4、面心立方(配位数、元胞、元胞基矢、晶胞、晶胞基矢、不同面上格点分布、倒格子

基矢、第一布里渊区)

•面心立方晶格

晶胞基矢，

a=ai,b=aj,c=ak

a±blc

晶格常数，

同=b=|cI=a

晶胞含4个格点，体积，

Q=Q3

原胞基矢，万1=y(J+k)

%=十f)

氏=/+])

团=同=鬲|=

原胞体积,

Q=a,(万2、通)=—

6、

倒格子基矢、元胞体积,

Rxq=_G_J+斤)

24_i2TT

--4X4.=---

%c+R)

几几区构成体心立方格子,元胞体积,

3

a*=J(4x&)=^i2万

4

7、

8、(115-120)

4、金刚石结构（最小结构单元、配位数、元胞、晶胞、晶胞基矢、不同面格点分布、倒格

子基矢、第一布里渊区）

♦金刚石结构

晶胞与元胞

体对角线原子面心立方晶格与顶角、面心原子面心立方晶格

沿体对角线相互移动1/4对角线长度套构形成面心立方格子

（复式）。

基元由面心（或顶角）原子和1/4对角线长度处原子组成。

晶胞基矢，

————

a=ai,b=aj,c=ak

alb±c

晶格常数，

团=B=|c|=a

晶胞包含丹格点，晶胞体积，

Q=

金刚石晶格由两个面心立方格子套构而成，第一布里渊区

由两个面心立方倒格子的第一布里渊区套构而成。

第二章晶体结合

•基本概念

1、两粒子间排斥力及其性质

两粒子间吸引力及其性质

两粒子间总相互作用力及其特点

,一、、r〃⑺>0

二，〃亿）二°

吸引.篦而短势力〃少八.

/、5、m、n>0

n>m

r—两粒子间距

4-两粒子平衡间距

吸引势能，异性电荷之间的库伦吸引势（长程势能）

排斥势能：1、两同性电荷库伦排斥势（长程势能）

2、泡利不相容短程势（短程势能）

UG）=：£〃（A/）

晶体总相互作用能人.'

晶体结合能绝对零度下，忽略粒子零点振动能，晶体粒子最小总相互作用势能等于晶体结

合能3K）

4、离子键及特点

定义，晶体中正、负离子库仑引力形成的结合力称为离子键。

依靠离子键结合形成的晶体称为离子晶体。

离子键特点，1、没有方向性和饱和性

5、2、离子键越强，离子晶体越稳定

马德隆常数

2=y--------...............—

均，叼，与।4+〃；+nt）

（勺,叼，与不同时二0八''））

6、共价键的形成及其特点两个原子各出一个电子，在两个原子核之间形成较大电子云密

度被两个原子共用、自旋相反配对的电子结构

饱和性

一个电子与另一个电子配对后不再与其它电子配对

8-N定贝IJ

共价键数等于原子轨道未填满价电子数

方向性

共价键方向在电子波函数最大方向上，共价键强弱决定于两

7、个电子波函数的交迭程度

极性共价键形成及其特点共用电子对偏向负电性大的原子的共价键

6、金属键形成及其特点金属原子结合成金属晶体时，价电子脱离原子成为晶格共有电子，

原子成为正离子实，共有化电子与离子实库仑引力构成金属键

7、范德瓦耳斯键形成及其特点

静电力一极性分子偶极矩之间的静电力

范德瓦尔斯键会导力一极性分子偶极矩与感应偶极矩静电力

色散力一非极性分子瞬时偶极矩间静电力

原子负电中原子负电性=0.18（电离能+亲和能）

原子电离能基态原子失去一个电子成为正离子所需能量

原子亲和能基态原子俘获一个电子成为负离子时释放的能量

8、原子负电性与晶体结构关系

1、负电性小和负电性大两种原子结合倾向形成离子晶体

2、原子负电性差别减小，原子结合由离子性向共价性变化

3、负电性较大的同种原子结合成晶体，倾向形成共价晶体

4、负电性较小的同种原子结合成晶体，倾向形成金属晶体

5、氢与负电性大的原子形成共价键后，负电荷中心与氢核偏

9、离，氢核与另一个原子结合形成氢键晶体

10、SP\SP2、SP轨道杂化的形成及其性质原子S、P轨道波函数杂化形成的波函数给出的

电子几率分布称为杂化轨道。

•理论公式

1、两粒子间相互作用能的一般形式

2、两粒子间相互作用力的一般形式

3、晶体体积弹性模量

定义晶体体积弹性模量父=卷=

4、原子负电性计算式

•图形和关系曲线

1、两粒子相互作用势能

2、两粒子相互作用力

3、SP?杂化轨道示意图

第三章晶格振动

•基本概念

1、一维单原子晶格振动及其特点

2、一维双原子晶格振动及其特点

3、简谐近似原子绕格点弹性振动(谐振)，振动位移与弹性力成正比

4、最近邻近似

只考虑最近邻原子相互作用势能，并且凡1=凡.】=£,得到,

5、周期性边界条件

N个元胞一维双原子晶格周期性边界条件，

Un~UR+N，冏=U/N

6、格波

原子集体振动形成波长2=二的简谐波，称为一个格波

q

(Latticewave)或晶格振动的一个简正模。

8、格波波矢、波矢空间、

波矢密度

/、1L/\1s1V

Sq（2笈）心）Vq（24

第一布里渊区波矢个数

Un~Ufi+N，Un~U

i{naqat总

4=Ae-\vn=Be"

In.

Naq=hx24q=-----hTh=O.±l.±2-・•

Na

波矢在第一布里渊区取值，

n7iN,1N

——<q<——►--------<h<——

9、aa22

8、色散关系圆频率-波长关系

da）

群速度dq

相速度原子振动状态用格波位相描述，波速等于振动位相传播速度，称为相速度

CD

10、光学支格波

光学支格波色散关系（光学模），

+£；+2£应cos（〃q）］%

O

11、m

声学支格波

声学支格波色散关系（声学模），

―［庆+/+2£心3（"）心

长纵光学波、长纵声学波基元中两个原子相反振动，形成长光学波

10、振动模式数每个波矢对应一个声学波圆频率和一个光学波圆频率。N个元胞一维双原子

晶格共有2N个独立振动模式（自由度）。

11、振动模式数与晶体结构的关系

U、声子晶格振动能量的“量子”岫回）~~声子（格波能量子）

声子准动量声子准动量方服二方(%仄+卜显+)

声子统计分布一定温度下，晶体中能量为的平均声子数由玻色-爱因斯坦统计给出,

平均声子数

1_1

n=x1-TioJkT1

se-ie—1

12、振动模式密度膜②=菰

12、正则变换

独立振动模式的正交性、

完备性周期性边界条件下，所有的晶格振动模式构成正交、完备集

态空间

•理论公式

〃工〃4。=劭”•凡

Rn=na(〃=1,2,3,…产)

1、一维格波〃。夕-第〃个原子的振动位相、

[i(lga+mq”而)]

.w=2/(0)expx

二维格波

为。M)=—

三维格波解

2、一维、二维、三维晶格周期性边界”+〃

3、三维晶格振动总能量表达式及其意义

4、晶格振动模式密度定义

5、一维、二维、三维晶格振动模式密度计算

三维晶格振动模式密度

g(0)=———~-II-------------:dS.

(2TTYJJ|▽/(“)|

二维品格振动模式容度,

…备!^^叫

一维晶格振动模式密度,

L_________1_______

=

27T69(4)/dq|

•图形和关系曲线

CD

2、一维双原子晶格色散美系曲线

第四章晶体能带

•基本概念

1、单电子近似（包括：绝热近似假设相对于电子运动速度，离子实近似固定在格点上不动。

平均场近似假设每个价电子所处的周期场相同，与其它价电子、离子实的库仑相互作用

只与该价电子位置有关

周期性势场近似若单电子势具有晶格平移周期性，晶体价电子的定态薛定博方程求解

转化为晶格周期场中单电子薛定谓方程求解）

2、电子共有化运动、晶体电子、能带电子波包代表的电子称为能带电子

3、布洛赫定理

晶体中共有化运动电子的本征波函数是调幅平面波（布洛赫波）。

心（尸）=/行）/尸（布洛赫波函数）

以任）=4（产+瓦）

布洛赫波的物理意义

由布洛赫波函数，得到晶体共有化运动电子的几率分布,

4、周期性边界条件

5、电子波矢矢量后是平移算符本征值2（用）的量子数，称为电子波矢

、波矢空间、波矢空间密度、电子能态（状态）密度

6、能带共有化电子能量本征值，不同波矢对应的能量值（能级）的集合，称为能带

禁带(能隙)、满带、空带、导带能量最低的空带、价带能量最高的满带、近满带、半满带、

能带底、能带顶、能带宽度

7、准经典近似、波包

用能带波矢k附近△%范围内的电子本征态叠加构成波包,

18E

U=-------i

8、电子平均速度能带电子波包群速度定义为能带电子的平均速度为bk

电子加速度

9、电子有效质量及其物理意义

11"耳㈤

在能带顶，加周期势场对电子作负功，电子传递给

晶格的能量大于外场力对电子的作功。

在能带底，优*>0,周期场对电子作正功，电子从晶格得

到能星C

电子有效质量概括了周期场对电子的作用，使外场下能带电子的运动，可用服

从牛顿运动定律、具有有效质量的“鹰电子”来描述。

能带底电子有