专题07 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型解读与提分精练（北师大版）

专题07圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.内切圆模型 2模型2.多边形的外接圆模型 5 9大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！模型1.内切圆模型内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。图1图2图31）三角形的内切圆模型条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r，∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=，∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°-=180°-=90°+，∴即r=2）直角三角形的内切圆模型条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=；证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形，∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=；3）四边形的内切圆模型条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。结论：。证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH，∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。例1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，分别交于D，E两点，则的长为．（结果用含的式子表示）例2．（2023春·广东九年级期中）如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（）A．125° B．120° C．130° D．115°例3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为；例4．（2023·河南安阳·九年级校联考期中）若三角形的面积是24cm2，周长是24cm，则这个三角形内切圆的半径cm．例5．（2023春·江苏宿迁·九年级校联考期中）如图是的内切圆，切点分别是D，E，F，其中，若与相切与G点，与相交于M，N点，则的周长等于．

例6．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，是边长为的正三角形的内切圆，与边、均相切，且与外切，则的半径为．

例7．（2023·江苏无锡·统考模拟预测）如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为（

）A．5 B． C．5或 D．6模型2.多边形的外接圆模型外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。图1图2图31）三角形的外接圆模型条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。结论：①OA=OB=OC；②。证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO，∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO，∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC2）等边三角形的外接圆模型条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD．∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。3）四边形的外接圆模型条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。结论：①；；②。证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵\t"/item/%E5%86%85%E6%8E%A5%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2%E5%AF%B9%E8%A7%92%E4%BA%92%E8%A1%A5/_blank"圆周角等于所对的\t"/item/%E5%86%85%E6%8E%A5%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2%E5%AF%B9%E8%A7%92%E4%BA%92%E8%A1%A5/_blank"圆心角的一半，∴∠ADC=，同理：∠ABC=，∴；同理：；∵，∴。例1．（2023·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为.例2．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则．例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，四边形中，．若．则外心与外心的距离是（

）A．5 B． C． D．例4．（2024·四川绵阳·校考一模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，O为Rt△ABC的外心，I为Rt△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D．连接OI，则cos∠OID的值为．例5．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．(1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心．例6．（2023江苏九年级上期末）如图，已知的半径为1，A、P、B、C是上的四个点，．(1)的形状为______；(2)试求线段、、之间的数量关系；(3)若点M是的中点，直接写出点P在上移动时的最小值．例7．（2023·重庆·九年级专题练习）内接于，点是的内心，连接并延长交于点，连接，已知，(1)连接，，则______（用含有的代数式表示）(2)求证：；(3)连接，若，求的最小值(4)若，为等腰三角形，直接写出的值．1．（2024·浙江·九年级专题练习）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，则∠D的度数是（

）A．60° B．65 C．70° D．75°2．（2024·山东潍坊·九年级统考期末）如图，点I为的内切圆的圆心，连接并延长交的外接圆于点D，连接，若，则的长为（

）．A．1 B．2 C．2.5 D．3.55．（2023·山东枣庄·九年级校考自主招生）如图，中，内切圆O和边、、分别相切于点D、E、F，则以下四个结论中，错误的结论是（

）A．点O是的外心B．C．D．4．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，5．（2024·四川广元·三模）如图，是一块草坪，其中，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟随机落在这块草坪上，则小鸟落在阴影部分的概率为．

6．（2023·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若，，则的值是．7．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为．

8．（2023·广东·九年级专题练习）已知，点为的外心，点为的内心．（1）若，则；（2）若，则．9．（2024·江苏扬州·二模）如图，中，，，，，的内切圆半径分别记为，，，若，，则．10．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）已知内接于，为内心，交于．证明：．11．（2023·北京·校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OIR2Rr.下面是该定理的证明过程（借助了第(2)问的结论）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），∴△MDI∽△ANI.∴，∴IAIDIMIN①如图②，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°.∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA．∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），∴△AIF∽△EDB．∴，∴②，由（2）知：，∴又∵，∴2Rr(Rd)(Rd)，∴Rd2Rr∴dR2Rr任务：（1）观察发现：IMRd，IN（用含R，d的代数式表示）；（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由.（请利用图1证明）（3）应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm．12．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，的半径为1，A，，，是上的四个点，．(1)判断的形状：；(2)试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)记的面积分别为，若，求的长．13．（2023·广东深圳·三模）综合与实践：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、、在半径为的上静止不动，第四只蚂蚁在上的移动，并始终保持．(1)请判断的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：是______三角形；(2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁在上的移动时，线段、、三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明；(3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁同时随着蚂蚁的移动而移动，且始终位于线段的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）．14．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知I是的内心，的延长线交的外接圆于点D，连接．(1)在图1中：①证明：；②判断外心的位置，并证明；(2)如图2，若为的外接圆直径，取中点O，且于点I，切圆O于点D，求的值．15．（2024·吉林长春·一模）如图，为等边三角形的外接圆，半径为4，点D在劣弧上运动（不与点A、B重合），连接．(1)求的长；(2)求证：是的平分线；(3)当时，求的长；(4)若点M、N分别在线段上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，则所有t值中的最大值为______．16．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在中，．

(1)在图①中作的外接圆；在图②中作的内切圆．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若O、I两点在同一中，当，时，______，______．（如需画草图，请使用图③）17．（2023·江西新余·九年级校考阶段练习）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图，与四边形的边，，，分别相切于点，，，，则四边形叫做的外切四边形．(1)如图，试探究圆外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______（横线上填“”，“”或“”）；(2)利用图证明你的猜想；(3)若圆外切四边形的周长为．相邻的三条边的比为．求此四边形各边的长．18．（2024·山东九年级期中）如图，是