专题26 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型解读与提分精练（全国）（解析版）

专题26相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型梅涅劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。使用梅涅劳斯和塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理 1模型2.塞瓦（定理）模型 7 12模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么。其中：这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形。注意：梅涅劳斯（定理）特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。1）梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么。其中：这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形。图1图2证明：证明：如图2，过点A作，交的延长线于点，易证：，∴，；．2）梅涅劳斯定理的逆定理模型：如图1，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线．证明：先假设F、D、E三点不共线，直线DF与AC交于P，由\t"/item/%E6%A2%85%E6%B6%85%E5%8A%B3%E6%96%AF%E9%80%86%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"梅涅劳斯定理的定理得。∵，∴，∴

，∴。∴CP=CE；即P与E重合，∴D、E、F三点共线。例1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知，是的中线，是的中点，则．【答案】【分析】法1：这道题是梅氏定理的直接应用，难点在于找梅氏线：直线FEB。法2：过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【详解】法1：∵直线EBF是的梅氏线，∴．∵是的中线，∴，∵是的中点，∴，∴，．故答案为：．法2：过点作交于，则，是的中线，是的中点，，，，．故答案为：．例2.（23-24八年级下·广东潮州·期中）中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：．【答案】见解析【分析】法1：这道题是梅氏定理的直接应用，难点在于找梅氏线：直线FEB。法2：本题考查了三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，作的中点G，连接，证明，即可得出，进而可证明，即可得出．【详解】法1：∵直线EBF是的梅氏线，∴．∵D为中点，，∴，∵是的中点，∴，∴，．．法2：作的中点G，连接，则，∵，∴，∴，∵，∴，∴．例3.如图，在中，D为BC的中点，．求．【解析】∵HFC是的梅氏线，∴，∵D为BC的中点，，∴，．∴，∴．∵GEC是的梅氏线，∴，∴，∴．∴．∴．【点睛】这道题主要考查多个梅氏定理的应用，考查相对综合．例4.（24-25重庆九年级校考期中）如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为．【解析】∵DEF是△ABC的梅氏线，∴由梅涅劳斯定理得，，即，则，连FC，S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，于是SBCEF＝S△BCF+S△CEF＝S△ABC＝××2×2sin60°＝×＝．故答案为．例5.如图，CD、BE、AF分别为（不是等边三角形）的三个外角平分线，分别交AB、AC、BC于D、E、F．证明：D、E、F三点共线．【解析】过C作BE的平行线，则，所以是等腰三角形．则．则有：．同理；．所以．所以D、E、F共线．【点睛】这道题主要是考查梅氏定理逆定理判定三点共线．例6．（24-25·广东·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，，∴，．请用上述定理的证明方法解决以下问题：

（1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：．请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长．（3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）【分析】(1)过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例，化简计算即可．(2)根据定理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可．(3)根据定理，计算比值，后解答即可．【详解】（1）证明：如图，过点作交于点，则．故：．

（2）解：如图，根据梅涅劳斯定理得：．又，∴，．在等边中，，点为的中点，．由勾股定理知：．（3）解：线段是的梅氏线，由梅涅劳斯定理得，，即，则．如图，连接，，于是．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握定理是解题的关键．模型2.塞瓦（定理）模型塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，如图3，则。注意：塞瓦（定理）的特征是三线共点，我们用塞瓦（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，如图3，则。塞瓦（定理）证明：法1：可利用梅涅劳斯定理证明：在△中，割线∴①在△中，割线，∴②，由②÷①：即得：。法2：∵；∴①；同理：②；③；由①×②×③得：。塞瓦定理的逆定理：如果有三点分别在△的三边上，且满足，那么三线交于一点。塞瓦定理的逆定理证明：设、交于点，联结并延长交于；根据塞瓦定理：。∴，∴，∴，∴与重合，即证。注意：利用塞瓦定理的逆定理可判定三线共点，如证明三角形三条中线交于一点；三角形三条角平分线必交于一点；三角形三条高线交于一点等。例1.如图，设M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求证：EF//BC。【详解】证明：在中，∵点D为边BC的中点，∴．对△ABC和点M应用赛瓦定理可得：．∴，∴．即EF//BC；点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．例2.如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高线，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交AC、AB于E、F，求证：∠EDH=∠FDH。【详解】证明：过点A作PQ//BC，与DF，DE的延长线分别交于点P、Q，则DA⊥PQ。对△ABC和点H应用赛瓦定理可得：．∵PQ//BC，∴,∴,∴AP=AQ根据垂直平分线，∴PD=QD，∴△PQD是等腰三角形，∴∠EDH=∠FDH。点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．例3.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证：.对△DKL和点B应用赛瓦定理可得：．①对和截线，由梅氏定理得：②由①②得：点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．例4.已知：内角平分线、、与对边分别交于点、、。求证：三角形三条内角平分线交于一点。（用塞瓦定理的逆定理证明）证明：由角平分线定理知因此由塞瓦定理逆定理得交于一点。例5．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则．数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积．【答案】(1)证明见解析(2)；的面积为【分析】（1）根据塞瓦定和中点的性质即可求解；（2）根据塞瓦定和等边三角形的性质即可求出BF，然后过点F作FG⊥BC于G，证明，可求出OD，从而求出△BOC的面积，然后根据可求△BCF的面积，从而得解．【详解】（1）证明：在中，∵点D，E分别为边BC，AC的中点，∴，．由赛瓦定理可得：．∴，∴．即点F为AB的中点；（2）解：∵为等边三角形，，∴∵点D是BC边的中点，∴，∵，∴．由赛瓦定理可得：；过点F作FG⊥BC于G，∴，，∴CG=BC-BG=8，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴，∴又，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中点的性质、等边三角形的性质，读懂题意，学会运用塞瓦定理是解题的关键．1．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】法1：这道题是梅氏定理的直接应用，难点在于找梅氏线：直线EFB。法2：本题考查了构造平行线并利用平行线分线段成比例进行解决问题，正确构造平行线是解题的关键．过点作交于点，利用，得，再利用平行线分线段成比例可得，再利用比例的性质即可求解．【详解】法1：∵直线EFB是的梅氏线，∴。∵是的中线，∴，∵，∴，，∴，故选：B．法2：过点作交于点，如图，∵是的中线，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故选：B．2．（23-24上·上海闵行·九年级校考期中）如图，、、内分正的三边、、均为两部分，、、相交成的的面积是的面积的（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法1：利用梅氏定理和等积模型求解即可。法2：如图，过作交于设等边三角形的边长为：结合题意可得：证明证明设等边三角形的面积为：可得从而可得答案.【解析】法1：∵，∴，对和截线，由梅氏定理得：，即，∴，∴，∴.∵，∴,同理：，，故.法2：如图，过作交于设等边三角形的边长为：结合题意可得：同理：设等边三角形的面积为：，的面积是的面积的故选D【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积问题，掌握“作出适当的辅助线构建相似三角形”是解题的关键.3．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质，作交于点F，作交于点G，设，则，，设，则，根据平行线分线段成比例定理，推导出与之间的数量关系，即可求解．【详解】解：作交于点F，作交于点G，，设，则，，同理，设，则，，∴，，，，，则，，则，，，，，，，，，，，，故选D．4．（2024广东校考一模）如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D，E为的中点，交的延长线于点F．若，，则的长为．【答案】/【分析】法1：连接BC，先根据梅氏定理求出CD的长度，再射影定理求得的长度即可。法2：连接OC，BC，根据为的直径，可得∠ACB=∠BCD=90°，再由E为的中点，可得CE=BE=DE，从而得到∠BCE=∠CBE，然后根据切线的性质可得∠ABD=90°，再由OC=OB，可得∠OCF=90°，然后根据，可得△OBC是等边三角形，进而得到∠A=30°，∠CBD=30°，最后根据锐角三角函数，即可求解．【详解】法1：∵CEF是的梅氏线，由CEF截可得，∵E为的中点，∴BE=DE，∵，∴AF:FB=3:1，∵AC=4，∴，即，∴，由射影定理：∴.法2：如图，连接OC，BC，∵为的直径，∴∠ACB=∠BCD=90°，∵E为的中点，∴CE=BE=DE，∴∠BCE=∠CBE，∵是的切线，∴∠ABD=90°，即∠CBD+∠OBC=90°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB+∠BCE=∠OBC+∠CBD=90°，即∠OCF=90°，∵，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠A=30°，∠CBD=30°，∵，∴，∴，故答案为：【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．5．（24-25·江苏·九年级期中）如图，的面积为，、分别是，上的点，且,．连接,交于点,连接并延长交于点．则四边形的面积为．【答案】.【分析】法1：对△ABC和点F应用赛瓦定理得到，再利用面积关系求解即可。法2：先画出图形,再作DJ∥EC交AB于J,交AH于K，作DG∥BC交AH于G，由题推出EF:FC=1:3，BH:CH=1:2，求出△BEF,△BFH的面积即可．【详解】证明：在中，∵,．对△ABC和点F应用赛瓦定理可得：．∴，∴．∵，∴，∵；设，则，，故，，∵的面积为；∴，∴，∴S四边形BEFH=，法2：根据题意画出图形:作DJ∥EC交AB于J,交AH于K作DG∥BC交AH于G，∵DJ∥EC,AD=DC，∴AJ=JE,AK=KF，∴EF=2JK,DJ=2EF,CF=2DK，设JK=m,则EF=2m,DJ=4m,DK=3m,CF=6m，∴EF:CF=1:3，∵AE=2BE，∴BE=EJ，∵EF∥DJ，∴BF=DF，∵GD∥BH，∴∠GDF=∠FBH，∵∠GFD=∠HFB,BF=DF，∴△DFG≌△BFH（ASA），∴DG=BH，∵DG∥CH,AD=DC，∴AG=GH，∴CH=2DG，∴BH=2CH，∵BE=AB，∴S△BEC=S△ABC=，∵EG=EC，∴S△BEF=S△BEC=,S△BFC=，∵BH=BC，∴S△BHF=×=，∴S四边形BEFH=+=．【点睛】本题考查三角形的全等及辅助线的做法,关键在于通过辅助线将面积分成两个三角形面积求证．6.（24-25·成都·九年级校考期中）如图，中，D、E分别是BC、CA上的点，且BD：DC=m：1，CE：EA=n：1，AD与BE交于F，求的值。【解析】∵BD：DC=m：1，∴，对和截线，由梅氏定理得：，即，∴，∴.∴.另解：此题也可过点E或D作平行线，利用平行线分线段成比例或相似求解。【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题．7．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：．证明：如图，由三角形面积的性质，∵①；同理：②；③；由①×②×③得：。8.如图，在△中，分别在边上，且,设与交于点，求证：通过的中点.证明：连结∵∴∵∴∴三线共点，∵与交于点∴通过的中点.9.已知：锐角三边上的高线、、与对边分别交于点、、。求证：三角形三条高线交于一点。（用塞瓦定理的逆定理证明）证明：在锐角三角形中，易证△∽△，即;同理可证所以。即。由于三角形的三条高线不可能平行，由塞瓦定理逆定理得交于一点。10．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）请阅读下列材料，完成任务．梅涅劳斯（Menelaus）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点D，可截得六条线段，则这六条线段满足，下面是该定理的一部分证明过程：证明：如图2，过点作，交延长线于点，则有（依据），…(1)上述过程中的“依据”指的是；(2)请将该定理的证明过程补充完整．【答案】(1)平行线分线段成比例(2)见解析【分析】本题考查了平行线分线段成比例质．（1）根据题意，上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；（2）根据平行线分线段成比例，得到，进而得到，得证．【详解】（1）解：上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例；故答案为：平行线分线段成比例；（2）解：该定理的证明过程补充完整如下：，，，，即．11．（2023上·山西临汾·九年级统考期末）梅涅劳斯定理梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，则有．任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；（2）如图（3），在中，，，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则________．【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）由题意可得，然后根据比例的性质可进行求证；（2）由（1）可得，进而由题意易得，，然后可得，则由勾股定理可得，最后问题可求解．【详解】解：（1）补充的证明过程如下：，，；（2）根据梅涅劳斯定理得，∵点D为BC的中点，，，，，∵，，∴AD⊥BC，BD=5，∴在中，，．故答案为6．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．12．（2024·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》一书，塞瓦定理是指如图1，在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，F，E，则．下面是该定理的部分证明过程：如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N．则∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得△NOA∽△COD．∴②．任务一：(1)请分别写出与△MOA，△MEA相似的三角形；(2)写出由（1）得到的比例线段；任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，点E为DC的中点，连接AE并延长，交BC于点F，连接BE并延长，交AC于点G．小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与FC的比是25：16，请你直接写出△ECG与△EAG面积的比．【答案】(1)△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；(2)；．任务二：证明见解析；任务三：．【分析】任务一：可直接通过“8”字型相似得出答案；任务二：通过相似之间的对应边比例转换得出结论；任务三：由任务一和任务二得出1，可得出的值，再由△ECG和△EAG为同高，故面积比就等于底边CG和GA之比．【详解】（1）解：任务一：∵MN//BC∴△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；（2）；任务二：证明：如图所示：由任务一可得：；同理可得△OAN∽△ODC；△AFN∽△BFC；∴；∴；∴．任务三：由任务一和任务二可得：在△ABC中，1；∵Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB；∴cos∠BAC；∴；∴AD；∴BD＝AB﹣AD；∵1；∴1；解得；过点E作EH⊥AC于H；∴【点睛】本题主要是根据“8”字型的相似得出对应的边之比，任务二的重难点在于各边比例之间的转换，任务三中两个三角形同高，故面积比等于底边比；本题属于中等偏.上类题．13．（2024·江苏镇江·校考一模）如图1，在中，D是边上的一点，过点D的直线分别与、的延长线交于点M、N．问题引入：若点D是的中点，，求的值；如图2，可以过点C作，交于点P；如图3，也可以过点A作，交延长线于点Q．探索研究：（1）如图4，若点D为上任意一点，求证：．

拓展应用：（2）如图5，P是内任意一点，，则_______，____．【答案】（1）见详解；（2），【分析】（1）过点C作CP∥AB交MN于点P，由题意易得，，则有，，然后问题可求证；（2）过点D分别作DG∥AB，DH∥AC，由题意易得，，，，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】（1）证明：过点C作CP∥AB交MN于点P，如图所示：∴，，∴，，∴；（2）过点D分别作DG∥AB，DH∥AC，如图所示：∴，，∴，，∵，∴，，∴，∴；∵DH∥AC，∴，，∴，，∴，∴；故答案为，．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．14．（2023·江苏盐城·二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．【初步体验】（1）如图1，在中，点D在上，．若，，，则，；（2）已知，如图1，在中，且．求证：．证明：过点E作的平行线交于点F．………………请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程；【深入探究】（3）如图2，如果一条直线与的三边或其延长线交于D、F、E点，那是否为定值？若是；若不是，请说明理由；（4）如图3，在中，D为的中点，，则．【答案】（1）3，；（2）见解析（3）是，定值为1；（4）【分析】（1）根据平行线分线段成比例，直接代入即可；（2）过点E作的平行线交于点F，利用平行线的性质得，，，再证明四边形是平行四边形，即可证明结论；（3）作，交于G，利用平行线分线段成比例定理得，，代入计算即可；（4）过点D作，交于Q，交于P，首先得出，再根据点D为的中点，，得，，分别表示出，与的关系即可．本题是相似形综合题，主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，作平行线利用平行线分线段成比例定理是解题的关键．【详解】(1)∵，，，，∴，∴，∴，∴，故答案为：3，；(2)过点E作的平行线交于点F，∵，∴，，∵，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴；(3)为定值，作，交于G，∴，，∴，∴为定值；(4)过点D作，交于Q，交于点P，∵，∴，∵，∴，∵点D为的中点，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．15．（23-24九年级上·山西运城·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点，可截得六条线段、、、、、，则这六条线段满足．下面是该定理的一部分证明过程：证明：如图2，过点作，交延长线于点则有（依据），…(1)上述过程中的依据指的是________；(2)请将该定理的证明过程补充完整．(3)在图1中，若点是的中点，，则的值为________；(4)在图1中，若，，则的值为________．【答案】(1)平行线分线段成比例(2)证明过程补充见解析(3)(4)【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．（1）根据题意，上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；（2）根据平行线分线段