专题17 全等三角形模型之奔驰模型解读与提分精练（全国）

专题17全等三角形模型之奔驰模型对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。

今天的这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 2模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 4模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 6 9模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心(如上图的旋转)。条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5），结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）常用结论等边三角形的面积公式：（选填题非常适用）证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；∵，∴，∴∠PP’C=90°，∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。注意：多线段共端点常考旋转。例1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，点P是等边三角形内的一点，且，，，则的度数为．

例2．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（

）A． B． C． D．例3.（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是．例4．（2024·安徽·一模）如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（

）A． B． C． D．例5．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（

）A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足，结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形；∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°；∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；∵，∴，∴∠PP’C=90°，∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。例1．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，等腰直角，点P在内，，，则PB的长为（）A． B． C．5 D．5例2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例3．（2023年湖北省武汉市中考一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的面积是．

例4．（2024·河北·校考一模）如图1，在正方形内有一点P，，，，求的度数．【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将绕点B逆时针旋转，得到了（如图2），然后连结PP'．【解决问题】请你通过计算求出图2中的度数；【比类问题】如图3，若在正六边形内有一点P，且，，．（1）的度数为；（2）直接写出正六边形的边长为．模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若，结论：∠APC=45°。（注意：上述两个模型结论和条件互换也成立）图1图2鸡爪就是模型本质就是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化，结合勾股定理，非常有意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD；∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形；∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°；∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD；∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。例1．（2024九年级上·重庆·专题练习）如图，是等边三角形外一点，，，，求的度数．例2．（2023·广西贺州·二模）如图，点P为等边三角形外一点，连接，，若，，，则的长是．

例3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为（

）

A． B． C． D．例4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题情境】在数学课上，老师出了这样一个问题：“如图1，在四边形中，，，，，，求CD的长．”经过小组合作交流，找到了解决方法：构造旋转全等．将绕点B逆时针旋转60°到，连接DE．则是等边三角形，所以，导角可得，所以．（1）请补全图形；【探究应用】（2）如图2，在中，，．D为外一点，且，，求的度数；【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，于D，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，，连接，请直接写出线段的长______．

1．（2024九年级·重庆·期中）如图，在等边内有一点，使得，那么以，，的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为．2．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．【发现问题】如图①，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数．解：如图①，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，即．请你补充完整解答过程．【应用问题】如图②，在正方形内有一点，若，，，则．【拓展问题】如图③，在正方形中，对角线，相交于点，在直线上方（包括直线）有一点，，，连接，则线段的最大值为．3．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）阅读下面材料：张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且，，，求的度数．张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．(1)请你计算图1中的度数；(2)参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形内有一点，且，，，求的度数．4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）（1）已知如图1，在中，，，点在内部，点在外部，满足，且．求证：．（2）已知如图2，在等边内有一点，满足，，，求的度数．

5．（2023·四川绵阳·一模）如图，四边形是正方形，点为平面内一点，(1)若点在正方形内，如图1，，求的度数；(2)若点在正方形外，如果，如图2，且，求的长．（用表示）6．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）阅读材料题：浙教版九上作业本①第18页有这样一个题目：已知，如图一，P是正方形ABDC内一点，连接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的长.小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将△PAC绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本题.请根据数学老师的提示帮小明求出图一中线段PB的长为.【方法迁移】：已知：如图二，△ABC为正三角形，P为△ABC内部一点，若PC=1，PA=2，PB=,求∠APB的大小.【能力拓展】：已知：如图三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底边AB上两点且∠DCE=60°，若AD=2，BE=3，求DE的长.7．（2024·河南·校考一模）（1）阅读理解:利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图，点是等边三角形内一点，，求的度数．为利用已知条件，不妨把绕点顺时针旋转60°得，连接，则的长为_______；在中，易证，且的度数为_____，综上可得的度数为__；（2）类比迁移:如图，点是等腰内的一点，．求的度数；（3）拓展应用:如图，在四边形中，，请直接写出BD的长．6．（23-24九年级上·山东德州·期中）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的．（1）如图1，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，∠APB＝135°，为探究AP，BP，CP三条线段间的数量关系，我们可以将△ABP，绕点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，则PP'＝AP，△CPP'是三角形，AP，BP，CP三条线段的数量关系是．（2）如图2，等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，∠APB＝150°，请借助第一问的方法探究AP、BP、CP三条线段间的数量关系．（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点P在四边形的内部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB的长．7．（2023·山东济南·模拟预测）（问题提出）如图1，在等边内部有一点P，，，，求的度数．（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为三角形，的度数为．【类比探究】如图2，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．【联想拓展】如图3，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．

8．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在等边内有一点，且，，，若把绕着点逆时针旋转得到，连接，．(1)求的度数；(2)求的长．(3)求点划过的路径长；(4)当时，如果是由旋转所得，求扫过的区域的面积．9．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰中，，点是内一点，连接，且，设.（1）如图1，若，将绕点顺时针旋转至，连结，易证为等边三角形，则，；（2）如图2，若，则，；（3）如图3，试猜想和之间的数量关系，并给予证明.10．（23-24九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】：如图1，在等边中，点D是等边内一点，连结，，将绕点A逆时针旋转得到，连结，观察发现：与的数量关系为，度；【尝试应用】：如图2，在等腰中，，，点D是内一点，连结，，，，，，求面积．【拓展创新】：如图3，在等腰中，，，点D为平面内一点，且，，则的值为．

11．（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）问题情境，利用圆规旋转探索：每位同学在纸上画好，，，要求同学们利用圆规旋转某一条线段，探究图形中的结论．问题发现，某小组将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角设为，连接、，如图1所示．如图2，小李同学发现，当点落在边上时，；如图3，小王同学发现，当每改变一个度数时，的长也随之改变．……问题提出与解决，该小组根据小李同学和小王同学的发现，讨论后提出问题1，请你解答．如图1，在中，，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，设转角设为，连接、．（1）如图2，当点落在边上时，求证：；（2）如图3，当时，若，求的长．（3）拓展延伸，小张同学受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为，尝试画图，并提出问题请你解答．如图4，中，，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角，连接、，求的度数．12．（2024·吉林长春·一模）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点P，，，，求的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解决这道问题．下面是小明的部分解答过程：解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段．，连接、，∵，，∴是等边三角形，∴，．∵是等边三角形，∴，，∴，即．请你补全余下的解答过程．（2）【类比迁移】如图②，在正方形内有一点P，且，，，则______度．（3）【拓展延伸】如图③，在正方形中，对角线、交于点O，在直线上方有一点P，，，连接，则线段的最大值为______．13．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）【几何感知】如图（1），在中，点D为BC边上一点，连接AD，点P为线段AD上一点，连接PB、PC得到有公共边的两个和，求证：．【类比迁移】如图（2），在中，点D、E、F分别为线段BC、AC、AB上的点，线段AD、BE、CF交于点P，若，，则．【拓展迁移】如图（3），在中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点P为内部一点，且，则线段AP＝．14．（23-24九年级上·山东德州·期中）【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系．即能求PB＝请参考他们的想法，完成下面问题：【学以致用】如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内一点，PA＝5，PC＝2，∠BPC＝135°，求PB的长；【能力拓展】如图3，等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，D、E是底边AB上的两点且∠DCE＝60°，若AD＝2，BE＝3，求DE的长．15．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，则AB的最大值是．（2）如图②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为△ABC内一点，且AD＝2，BD＝2．，CD＝6，请求出∠ADB的度数．问题解决：（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，点A、B、C分别是三个任务点，点P是△ABC内一个打卡点．按照设计要求，CP＝30米，打卡点P对任务点A、B的张角为120°，即∠APB＝120°．为保证游戏效果，需要A、P的距离与B、P的距离和尽可能大，试求出AP+BP的最大值．16．（2024山东校考二模）【操作发现】如图①，在边长为1个单位长