专题32 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型解读与提分精练（全国）

专题32最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.将军遛马模型 2模型2.将军造桥（过桥）模型 6 12模型1.将军遛马模型将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧（图1-2）；图1-1图1-2将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.图1-1图1-2将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。例1．（2023·陕西·模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________例2．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．例3．（2024·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（）A．1 B． C． D．2例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为．模型2.将军造桥（过桥）模型将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。图2-1图2-2将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，∵AA’∥MN，且AA’=MN∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N，∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．

例2．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．

例3．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形的边长为4，点是对角线上两动点，且，将点沿的方向平移2个单位得到点，连接、．(1)①四边形的形状为_____________；②连接、，当点，，共线时，的值为_____________．(2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、．1．（2023安徽中考学二模）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（

）A．4 B．4+ C．2+2 D．62．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．3．（2024·四川泸州·一模）如图，在直角坐标系中，，，C是的中点，点D在第二象限，且四边形为矩形，P是上一个动点，过点P作于H，Q是点B关于点A的对称点，则的最小值为．4．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．5．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动，若⊙O的周长为，，则周长的最小值是．

6．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______．7．（2024·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，点E、F是对角线上的两点，，，点G是边的中点．当取最小值时，的值为．8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形中，，，是边上一动点，过点作对角线的垂线，分别交于点、交直线于点，则点在运动过程中，的最小值是．9．（2024·广东广州·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为；（2）周长的最小值是．10．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为．11．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边的边长为3，点D在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为，其中，正确结论的序号为.12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为．13．（2024·江苏连云港·二模）如图，正方形的边长为4，E是的中点，P是上的动点，过点P作，分别交，于点F，G．当取最小值时，则的长是．14．（2024·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为．15．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为．16．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点，则的最小值为，此时点B坐标为．17．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段沿x轴向右平移得到，连接，，则的最小值为．18．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在矩形中，．E、F分别在上，且满足，．若边长为10的正方形在线段上运动，连接，当取值最小时，求的长．19．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．20．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，，到公路的垂直距离分别为和，，之间的水平距离为．现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_____．问题探究（2）如图（2），和是腰