专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型解读与提分精练（全国）

专题05三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1双角平分线模型（双内角） 2模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 5模型3.双角平分线模型（双外角） 7 10模型1双角平分线模型（双内角）双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。1）两内角平分线的夹角模型图1图2图3条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。例1．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则．例2．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图，是内一点，连接，．(1)猜想：与、、存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若，、分别是、的三等分线，直接利用（1）中结论，可得的度数为．例3．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．如图①，在中，、分别是和的角平分线．解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案）(2)若，求出的度数；拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系．例4．（23-24八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系；【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______；【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______；【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______；【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______．模型2.双角平分线模型（一内角一外角）双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。图1图21）一个内角一个外角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：．证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是．证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn=1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，平分，点是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：

①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．例2．（2023·河北·九年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝；如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝；这两个图中，与∠A度数的比是

；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）∠ACD是△的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点An．设∠A＝．则＝，∠A2021＝．模型3.双角平分线模型（双外角）双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。 图1图2图31）两外角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：．证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）=180°-（180°+∠A）=90°+∠A。2）旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,例1．（2023.广东八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝．例2．（2023·安徽宿州·八年级校联考期末）（1）如图（a），平分，平分.①当时，求的度数.②猜想与有什么数量关系？并证明你的结论.（2）如图（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.例3．（2023秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图（1），，是的外角，的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的平分线交于点E．(1)若，则度；(2)若，求∠E的度数；(3)在图（1）的条件下，沿作射线，连接，如图（2）．求证：平分．例4．（2023·甘肃天水·七年级统考期末）已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，（1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．（2）请直接写出结果．如图2，若，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝________；如图3，若，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________．1．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（

）

A． B． C． D．2．（2023·江苏·八年级统考期末）中，点是内一点，且点到三边的距离相等；，则A． B． C． D．3．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（

）A．10° B．15° C．20° D．30°4．（2023春·广东·七年级专题练习）如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（

）A．∠1+∠0=∠A+∠2B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°C．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D．∠1+∠2+∠A=∠O5.（2023.广东七年级期中）在四边形中，的平分线与的平分线交于点，若，则（

）A． B． C． D．6．（2023春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在中，是角平分线，是边上的高，延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=．则：（1）∠A1=；（2）∠An=．8．（2023春·成都市七年级课时练习）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记，，则以下结论①，②，③，④，正确的是．（把所有正确的结论的序号写在横线上）

9．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则．10．（2023秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点M，作的延长线得到射线，作射线，有下面四个结论：①；②；③射线是的角平分线；④．所有正确结论的序号是．11．（2023春·河南郑州·七年级校考期末）如图，已知在中，．(1)分别作，的平分线，它们交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)当时，的度数为．(3)当时，的度数为．12．（2023·成都市·八年级专题练习）在中，，线段、分别平分、交于点G．(1)如图1，求的度数；(2)如图2，求证：；(3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长．

13．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，在中，，是，平分线的交点．(1)；(2)若是两条外角平分线的交点，则

；(3)在（2）的条件下，若是内角和外角的平分线的交点，试探索与的数量关系，并说明理由．14．（2022春·湖北十堰·七年级统考期末）在三角形中，由三角形的内角平分线所形成的角存在一定的规律，理解并掌握其中的规律，有助于同学们巩固相关的数学知识．如图1，中，分别平分，且相交于点“勤奋小组”的同学发现:．证明过程如下:

证明:如图2，连接并延长，则(依据1)与分别平分又，(依据2)．依据1是___，依据2是__；如图3，在图1的基础上，作的角平分线交于点试探究与之间的数量关系．

15．（2023秋·山西朔州·八年级统考阶段练习）（1）【情境引入】如图1，，分别是的内角，的平分线，说明的理由．（2）【深入探究】①如图2，，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是_________；②如图3，，分别是的一个内角和一个外角的平分线．，交于点D，探究与之间的等量关系，并说明理由．（3）【拓展应用】请用以上结论解决下列问题：如图4，在中，，分别平分，．M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，．若，则的度数是________．16．（2023·江苏镇江·七年级校考期中）（1）如图1，BO、CO分别是中和的平分线，则与的关系是______（直接写出结论）；（2）如图2，BO、CO分别是两个外角和的平分线，则与的关系是______，请证明你的结论．（3）如图3，BO、CO分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是______，请证明你的结论．（4）利用以上结论完成以下问题：如图4，已知：，点A、B分别是射线OF、OD上的动点，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P，猜想的大小是否变化？请证明你的猜想．17．（2023·天津河西·八年级期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角．试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)；探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系；探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？即：如图3，在四边形