2024-2025学年福建省福州市高二上册期中数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年福建省福州市高二上学期期中数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．2．过点且与直线平行的直线的方程为（

）A． B．C． D．3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线平面，则的值为（

）A． B．3 C．或3 D．或4．以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（

）A． B．C． D．5．已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（

）A． B． C． D．6．已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，，点在以为直径的圆上，若，，则的离心率为（

）A． B． C． D．8．在正三棱锥中，的边长为6，侧棱长为8，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（

）A．在轴上的截距为 B．过点且不垂直x轴C．若，则或 D．若，则10．已知椭圆的长轴端点分别为，两个焦点分别为是上任意一点，则（

）A．椭圆的离心率为B．的周长为C．面积的最大值为D．11．如图，在棱长为2的正方体中，E是棱BC的中点，F是侧面上的动点，且平面，则（）A．点F到直线的距离为定值B．线段的长度最小值为C．二面角的余弦值为D．直线与平面所成角的余弦值为三、填空题（本大题共3小题）12．若空间向量，，，则.13．圆上的点到直线的距离的最大值为.14．已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的三个顶点分别为．(1)若的中点为，求边的垂直平分线的方程；(2)求的外接圆的方程．16．如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面面ABCD，M是PD的中点.(1)求证：平面平面PCD(2)求BM与平面所成角的正弦值17．已知椭圆的左焦点为是椭圆上任意一点，的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于两点，求以为中点的弦所在的直线方程．18．已知圆心为C的圆经过点，，且圆心C在直线上．(1)求圆C的方程：(2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．(3)已知点，，且P为圆C上一动点，求的最小值．19．如图，棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，为棱上的动点.

(1)是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；(2)若直线与平面CFG所成的角的正弦值为，求三棱锥的体积；(3)求三棱锥的外接球半径的最小值.

答案1．【正确答案】B【详解】由题意可得，解得.故选：B.2．【正确答案】C【详解】直线的斜率为2，因为直线与直线平行，所以直线的斜率为2．又直线过点，代入点斜式方程得．故选：C3．【正确答案】A【详解】因为直线平面，所以，则，解得．故选：A4．【正确答案】D【详解】由，得，令，则，即直线恒过定点，则圆的方程为，即，故选：D.5．【正确答案】B【详解】取为空间向量的基底，因为，，，所以，.因为，所以，所以.故选：B6．【正确答案】A【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解.【详解】直线l：，令，解得，所以直线l恒过定点，圆C：的圆心为，半径为，且，即P在圆内，当时，圆心C到直线l的距离最大为，此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为．故选A．7．【正确答案】B【详解】由易知，点在以为直径的圆上，又在以为直径的圆上，则，且，，可知，所以，结合可得，，解得，故选：B.8．【正确答案】A【详解】依题意，记的中点为，连接，记正的中心为，连接，

因为在正三棱锥中，底面，在正中，，在平面中过点作轴底面，则轴，以点为原点，建立空间直角坐标系，如图，因为在正三棱锥中，的边长为6，侧棱长为8，所以，则，，故，则，，，所以，则异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.9．【正确答案】ABD【详解】对于选项A：因为直线，令，解得，所以在轴上的截距为，故A正确；对于选项B：因为直线的斜率，即斜率存在，直线不垂直x轴，且，即直线过点，故B正确；对于选项C：若，则直线、均为，即两直线重合，不平行，故C错误；对于选项D：若，则，解得，故D正确；故选：ABD.10．【正确答案】ABD【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，对于A，椭圆的离心率为，故A正确；对于B，的周长为，故B正确；对于C，，设，则面积的最大值为，故C错误；对于D，设，，因此，故D正确.故选：ABD.11．【正确答案】ABC【详解】由题意，分别取的中点为，连接，分别以为轴建立空间直角坐标系，作图如下：易知，由平面，则平面，因为，平面，平面，所以平面，同理可得平面，因为平面，，所以平面平面，当时，平面，则平面，对于A，由平行线的传递性知，故所求距离为定值，故A正确；对于B，在中，设其高度为，则，解得，在中，易知，为的中点时，取得最小值，，故B正确；对于C，由，则二面角与二面角的大小相同，由图可知：，A2,0,0，，，取，，，，设平面的法向量，则，令，则，，所以平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，则，，所以平面的一个法向量；设二面角的大小为，则，故C正确；对于D，由，则平面与平面为同一平面，由C可知平面的一个法向量，由图可知：，则，直线与平面所成角的正弦值为，则余弦值为，故D错误.故选：ABC.12．【正确答案】【详解】依题意得，解得.故13．【正确答案】/【详解】将圆的标准方程为，圆心为，半径为3，因为圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最大距离为.故答案为.14．【正确答案】/【详解】设该正四棱锥底面边长为，高为，则由题意可得，解得，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则有、A2,0,0、、，则，，则可设，，，，则，要使线段的长度最小，则为的公垂线，即有，解得，符合题意，此时，则.即线段长度的最小值.故答案为.15．【正确答案】(1);(2).【详解】（1）已知△的三个顶点分别为,所以的中点为的坐标为，直线的斜率为，由互相垂直的两斜率之积为，则边的垂线斜率为，所以边的垂直平分线的方程为：，整理得：,故边的垂直平分线的方程为.（2）设的外接圆的方程为，由的三个顶点分别为代入得，，解得：，所以的外接圆的方程为.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由平面平面，平面平面，底面ABCD是边长为2的正方形，则，平面，可知面，平面，，为正三角形，为中点，可得，平面，平面，平面，平面平面.（2）取AD的中点为O，连接，侧面PAD是正三角形，则，平面平面，平面平面，平面，可知面，设BC中点为N，连接ON，以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系：则，，，，，，设平面的法向量为，则，取，则，设BM与平面所成角为，则.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由的最大值为3，最小值为得，则，可得，所以椭圆方程为（2）根据题意得中点弦的斜率存在，且在椭圆内，设,，,，所以，，两式作差，得，由于是的中点，故，所以，所以，所以，所以中点弦的方程为，所求的直线方程．18．【正确答案】(1)(2)x=1或(3)24【详解】（1）,AB的中点为AB的垂直平分线方程为，即,将联立可得,即圆的圆心坐标为.圆的半径为，所以圆的标准方程为.（2）设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得，故.若直线的斜率不存在，则x=1，此时圆心到直线的距离为3，符合题意.若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，所以，解得，则直线的方程为.故直线的方程为x=1或.（3）在圆的标准方程上，设,又因为点，，所以，当时，取最小值为.19．【正确答案】(1)存在，点G为的中点，证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）当点为的中点，使得平面，用线面平行的判定定理证明；（2）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，由线面角的向量法求得，确定的位置，再利用体积法转换后计算体积；（3）用向量法证明与平面垂直，证得三棱锥的外接球的球心在线段上，设，设，由，求得的关系，从而求得的范围，再由此求得半径的最小值．【详解】（1）存在一点，当点为的中点，使得平面，连接，如图所示：

点分别是的中点，，又，且，四边形是平行四边形，，，又平面，且平面，平面.（2）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接，

则，设，，，设平面的一个法向量是，则，取得，直线与平面CFG所成的角的正弦值为，，