广西壮族自治区柳州市鹿寨县2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题

广西壮族自治区柳州市鹿寨县2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．下列方程属于一元二次方程的是（）A．xy=9 B．x+y=9 C．x2+2x=0 3．一个扇形的半径是3，扇形的圆心角120°，那么这个扇形面积是（）A．4π B．3π C．2π D．π4．已知一元二次方程x2−4x+2=0的两根为x1，xA．6 B．−6 C．2 D．−25．如图，A，B，C是⊙O上的三个点．若∠B=30°，则∠AOC的度数为（）A．60° B．50° C．30° D．15°6．下列语句描述的事件中，是随机事件的为（）A．少年强则国强 B．水中捞月C．守株待兔 D．绿水青山就是金山银山7．反比例函数y=4A．(1，2) B．(2，2) C．8．如图，AB为⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A=45°，AB=2，DH的长度为（）A．1 B．2−1 C．2+19．已知x=−1是一元二次方程x2+mx=3的一个解，则A．0或2 B．2 C．0 D．−210．电影《志愿军：雄兵出击》于2023年9月28日上映，首周票房约2.5亿，第三周票房约3.A．2.5(1+x)=3.C．2.5+2.11．铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y=−1A．103m B．8m C．10m12．若二次函数y=axA．b2−4ac>0 B．abc>0 C．a+b+c=0 二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分）13．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是14．若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP＝2，那么点P在⊙O（填“上”、“内部”或“外部”）15．抛物线y=−3(x−1)2+416．关于x的方程mx2−2x+5=017．如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠C=95°，则∠EAD的度数为．18．如图，点A，C分别是y轴，x轴正半轴上的动点，AC=1，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AB，则OB的最小值是．三、解答题（本大题共7小题，共72分）19．解方程：x20．如图是一个矩形花圃，它的两边分别长为10m和6m，现要在花圃内铺设一条互相垂直的十字石子路，横竖路面宽度相等．若要使种花的面积是45m2，石子路的宽度应是多少？21．为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从A．“垃圾分类入户宣传”、B．“消防安全知识宣传”、C．“走访慰问孤寡老人”、D．“社区环境整治活动”四个活动主题中随机选取一个主题中随机选取一个主题．（1）志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是．（2）志愿者小张和小李从A、B、C、D四个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率．22．如图，一次函数y=kx+b的图象交y轴于点C(0，2)，与反比例函数y=mx的图象交于A（1）​确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）直接写出不等式kx+b<m23．如图，在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），点O，B，C均在格点上．

（1）​在网格图中画出△OBC绕点O顺时针旋转90°后的△OB（2）在（1）的条件下，求旋转过程中，点C所经过的弧长．（结果保留π）24．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，垂足为O点，且AC+BD=10，若四边形ABCD有最大面积，则求出此时的AC与BD的长及这个最大的面积．

25．如图，AB是⊙O的直径，F为⨀O上一点，AC平分∠FAB交⨀O于点C，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．

（1）​求证：CD是⊙O的切线．（2）若DC=3，AD=9，求⊙O半径．26．动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．如图1，△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．（1）在图1中：△A′BC的面积为；（2）如图2，若△ACB为任意直角三角形，∠ACB＝90°．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．猜想三条线段AC、CD、A′D的数量关系，并证明．（3）如图3，在△ACB中，AB＝AC＝5，BC＝6，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C．若点D是△ACB的边BC的高线上的一动点，连接A′D、DB，则A′D+DB的最小值是．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；

B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；

D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意.

故答案为：A.

【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此判断即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：A、xy=9是二元二次方程，故不符合题意；

B、x+y=9是二元一次方程，故不符合题意；

C、x2+2x=0是一元二次方程，故符合题意；

D、x+1x=93．【答案】B【解析】【解答】解：这个扇形面积为120·π·32360=3π.

故答案为：B.

4．【答案】C【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2−4x+2=0的两根为x1，x2，

∴x1+x2=4，x1x25．【答案】A【解析】【解答】解：∵∠B=30°，

∴∠AOC=2∠B=60°.

故答案为：A.

【分析】一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，据此解答即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：A、少年强则国强，是必然事件，故不符合题意；

B、水中捞月，是不可能事件，故不符合题意；

C、守株待兔，是随机事件，故符合题意；

D、绿水青山就是金山银山，是必然事件，故不符合题意.

故答案为：C.

【分析】随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件是在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是在一定条件下，一定不发生的事件；据此判断即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：A，∵1×2≠4，∴反比例函数y=4x的图象不经过（1，2），故不符合题意；

B、∵2×2=4，∴反比例函数y=4x的图象经过（2，2），故符合题意；

C、∵-2×2≠4，∴反比例函数y=4x的图象不经过（-2，2），故不符合题意；

D、∵2×(-2)≠4，∴反比例函数8．【答案】C【解析】【解答】解：∵OA=OB，∠A=45°，

∴∠B=∠A=45°，

∴∠AOB=90°，

∵CD⊥AB，AB=2，

∴OH=AH=BH=1，AO=OB=22AB=2，

∴DH=OD+OH=2+1.

故答案为：C.

【分析】易得△OAB为等腰直角三角形，可得AO=OB=22AB=2，由垂径定理及等腰直角三角形的性质可得OH=AH=BH=1，从而求出DH=OD+OH=9．【答案】D【解析】【解答】解：把x=−1代入x2+mx=3中，得1-m=3，

解得m=-2.

故答案为：D.

【分析】把x=−1代入10．【答案】B【解析】【解答】解：设增长率为x，

依题意得：2.5(1+x)2=3.6.

11．【答案】C【解析】【解答】解：y=−112x2+23x+53，

当y=0时，则−112x2+2312．【答案】B【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2∵函数图象开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，∵抛物线对称轴在y轴的右侧，∴−b∴b＞0，∴abc＜0，故B不符合题意，符合题意；又∵图象与x轴的一个交点坐标是（1，0），∴将点代入二次函数y=ax2+bx+c得a+b+c=0，故C符合题意，不符合题意，∵当x=-1时，y=a-b+c，由函数图象可知，y=a-b+c＜0，故D符合题意，不符合题意，故答案为：B．【分析】根据二次函数图象开口方向与坐标轴的交点坐标特点，利用排除法可解答。13．【答案】（﹣5，3）【解析】【解答】解：点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣5，3）．故答案为：（﹣5，3）．【分析】根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．14．【答案】内部【解析】【解答】∵⊙O的半径r＝3，∵OP＝2，∵2<3∴点P在⊙O内部，故答案为：内部.【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此判断即可.15．【答案】（1，4）【解析】【解答】解：抛物线y=−3(x−1)2+4的顶点坐标是（1，4）.

故答案为：（1，4）.

16．【答案】m<1【解析】【解答】解：∵关于x的方程mx∴m≠0Δ=解得：m<1故答案为：m<1

【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式组m≠0Δ=17．【答案】55°【解析】【解答】解：∵∠B=30°，∠C=95°，

∴∠CAB=180°-∠B-∠C=55°，

∵△ABC≌△ADE，

∴∠EAD=∠BAC=55°.

故答案为：55°.

【分析】由三角形内角和求出∠CAB的度数，再利用全等三角形的对应角相等即可求解.18．【答案】3【解析】【解答】解：如图，取AC的中点，连接OD，BD，BC，则OD=CD=AD=12AC=12，

由旋转知：∠BAC=60°，AB=AC，

∴△ABC为等边三角形，

∴BD⊥AC，BC=AC=1，

∴BD=BC2-CD2=32，

∵OB≥BD-OD=32-12，

∴当B、O、D三点共线时，OB值最小，最小值为OB=BD-OD=32-19．【答案】解：移项得：x2配方得：x2−2x+1=2，即开方得：x−1=±2∴x1【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解。（或用公式法求解）20．【答案】解：设石子路的宽度为xm，依题意得(10－x)(6－x)＝45，解得x1＝1，x2＝15(不合题意，舍去)．答：石子路的宽度为1m．【解析】【分析】设石子路的宽度为xm，则种花的部分为一个长为（10-x）m，宽为（6-x）m的矩形，根据矩形的面积公式列出方程并解之即可.21．【答案】（1）1（2）解：画树状图如图：由图可知，共有16种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有AA、BB、CC、DD共4种，可知小张和小李选择相同主题的概率为4∴小张和小李选择相同主题的概率为14【解析】【解答】解：（1）由题意知：共有A、B、C、D4个主题，

∴志愿者小李选取A“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是14.

故答案为：14.

【分析】（1）利用概率公式计算即可；

（2）利用树状图列举出共有16种等可能的结果，其中小张和小李选择相同主题的结果有22．【答案】（1）解：∵A(−3，∴m=3，∴y=3∵A(−3，−1)∴−3k+b=−1b=2解得k=1b=2∴y=x+2；（2）解：联立y=3解得：x=−3y=−1，x=1∴B(1，根据图象可知kx+b<mx的解集为：x<−3或【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求出函数解析式即可；

（2）联立一次函数与反比例函数解析式为方程组并解之，即得B的坐标，由图象可知当x<−3或0<x<1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，据此即可求解．23．【答案】（1）如图，△OB1C1即为所求；（2）解：∵OC＝22∴点C所经过的弧长＝90π×25【解析】【分析】（1）根据旋转的性质分别确定点B、C绕点O顺时针旋转90°后的对应点B1、C1，再顺次连接即可；

（2）由勾股定理求出OC，再利用弧长公式计算即可.24．【答案】解：设AC=x，则BD=10−x，S四边形ABCD∴当x=5时，S四边形ABCD∴AC=5，BD=5，最大面积为【解析】【分析】设AC=x，则BD=10−x，从而得出S四边形ABCD25．【答案】（1）解：证明：连接OC，∵AC平分∠FAB，∴∠FAC=∠CAO，∵AO=CO，∴∠ACO=∠CAO，∴∠FAC=∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，∵OC为半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点O作OE⊥AF于E，∴AE=EF=1∴四边形OEDC为矩形，∴CD=OE=3，DE=OC，设⊙O半径为r，则OA=OC=DE=r，∴AE=9−r，∵OA∴r解得：r=5，∴⊙O的半径为5．【解析】【分析】（1）连接OC，由角平分线的定义及等腰三角形的性质可推出∠FAC=∠ACO，根据平行线的判定可得AD∥OC，由CD⊥AF可得CD⊥OC，根据切线的判定定理即证结论；

（2）过点O作OE⊥AF于E，可证四边形OEDC为矩形，可得CD=OE=3，