第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题（原卷版）

一．解答题（共25小题）1．椭圆E:的焦点到直线x—3y=0的距离为，离心率为物线G:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线l过G的焦点与E交于（1）求椭圆E及抛物线G的方程；（2）是否存在常数λ,使得为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 2．椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点F到直线x—3y=0的距离为，抛物线G:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点F重合，过F作与x轴垂直的直线交椭圆于S，T两点，交抛物线于C，D两点，且.（1）求椭圆E及抛物线G的方程；（2）过点F且斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，交抛物线于M，N两点，请问是否存在实常数为常数．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为10.（1）求椭圆C的标准方程；（2）给出定点Q(，0)，对于椭圆C的任意一条过Q的弦AB，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.≤|AF|.|BF|≤求直线l的斜率k的取值范围. 5．已知F1，F2为椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点，点P(1,)在椭圆上，且过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4.(Ⅱ)我们知道抛物线有性质：“过抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F的弦AB满足|=λ|AF2|.|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由.6．已知椭圆C:+=1(a>b>0)，椭圆（1）求椭圆C的方程；（2）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|.|F2B|的取值范围.存在且不为零的直线l交C于A，B两点，且△F1AB的周长为8.（1）求椭圆C的方程；（2）已知弦AB的垂直平分线m交x轴于点P，求证：为定值.1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的点，且3(Ⅱ)过椭圆C的上顶点B作斜率为k(k>0)的直线l交椭圆C于另一点M，点N在椭圆C上，且BM丄BN，求证：存在k∈[,]，使得|BN|=2|BM|.为k的直线l交C于M，N两点．当k=0时，点M，N，F1，F2恰在以MF1为直径且面积为9的圆上. ,F2分别为左、右焦点，椭圆C上一点M满足MF1丄MF2，且△MF1F2的面积为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点T(1,0)作斜率为k(k>0)的直线l交椭圆C于A，B两点．过点O且平行于l的直线交椭圆于点P，Q，证明：为定值.11．平面直角坐标系xOy中，F(—1,0)是椭圆的左焦点，过点F且方向向量为的光线，经直线y=—b反射后通过左(I)求椭圆Γ的方程；(II)过点F作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆Γ于A，B两点，M为AB的中点，直线OM(O为原点）与直线x=m(m<0)交于点P，若满足|FP+FM|=|MP|，求m的值.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.13．已知椭圆的离心率为过点M(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|=λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|=·.（1）求椭圆C的方程；求弦长|AB|的取值范围. 14．椭圆C:的左，右焦点应分别是F1，F2，离垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l1:x+2y2与椭圆C切于点T(、i2，直线圆C交于不同的两点A、B，且与直线l1交于点M．证明：存在常数λ,使得=λ|MA|.|MB|，并求λ的值；（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设上F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围.短轴为直径的圆截得的弦长为3.（1）求椭圆C的方程；（2）过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=的取值范围. 短轴为直径的圆截得的弦长为3.（1）求椭圆C的方程；（2）过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=|MA|.|MB|，求λ的取值范围.17．已知抛物线C的方程为x2=2y，A，B为抛物线上两点，且MA丄MB，其中M(2,2)，(Ⅱ)O为坐标原点，设抛物线C的焦点为的取值范围.（1）试判断曲线C1与C2的交点个数；（2）若过点M(1,0)直线l与曲线C2交于两个不同的点A，B，求的取值范围.19．如图，设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过准线l上一点M(—1,0)且斜率为k的直线l1交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P，直线PF交抛物线C于D，E两点.λ|FD|.|FE|，试写出λ关于k的函数解析式，并求实数λ的取值范围.20．椭圆C:过点P(，左焦点为F，PF与y轴交于点Q，且满足2=1，直线l:y=kx+m与圆O相切且与椭圆C交于不同两点A，B，21．椭圆C:过点P(，左焦点为F，PF与y轴交于点Q，且满足2=1，直线l:y=kx+m与圆O相切且与椭圆C交于不同两点A，B，当时，求弦长|AB|的范围，并求当弦长|AB|最大时，直线l的方程.22．设椭圆为坐标原点，(c,0)，M为椭圆上一动点，且满足求椭圆离心率的范围.（3）在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA丄OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|23．在平面直角坐标系xOy中，已知F(2,0)，M(—2,3)，动点P满足2|OF.MP|=|PF|.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点D(1,0)作直线AB交C于A，B两点，若ΔAFD的面积是ΔBFD的面积的2倍，24．过抛物线y2=2px(p>2)的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，已知点M(1,2)，O为坐标原点．若|AM|+|AF|的最小值为3.（2）过点F作直线l丄AB，交抛物线于C、D两点，求|AF||BF|+|CF||DF|的取值范围.25．在①离心率，②椭圆C过点③