立体几何压轴题10题型 -2024年高考数学压轴题专项训练（解析版）

压轴题04立体几何压轴题十大题型汇总

压轴题解读

本专题考查类型主要涉及点立体几何的内容，主要涉及了立体几何中的动点问题，外接球

命题预测内切球问题，以及不规则图形的夹角问题，新定义问题等。

预计2024年后命题会继续在以上几个方面进行。

题型01几何图形内次球、外接球问题题型06几何中的旋转问题

题型02立体几何中的计数原理排列组合问题题型07立体几何中的折叠问题

高频考法题型03立体几何动点最值问题题型08不规则图形表面积、体积问题

题型04不规则图形中的面面夹角问题题型09立体几何新定义问题

题型05不规则图形中的线面夹角问题题型10立体几何新考点

高分必抢

♦逡型01几何图形内切球、外接球问题

解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维

流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相

等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些

元素的关系），这到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

1.（多选）（23-24高三下•浙江•开学考试）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点4B,C,。在

同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则（）

A.异面直线力E与即所成角大小为三

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B.二面角力-EB-C的平面角的余弦值为?

C.此八面体一定存在外接球

D.此八面体的内切球表面积为日

【答案】ACD

【分析】建立空间直角坐标系，运月坐标法计算异面直线所成角及二面角可判断A项、B项，由|0E|=\0F\=

|0*=\0B\=|0C|=|0D|可判断C项，运用等体积法求得内切球的半径，进而可求得内切球的表面积即

可判断D项.

【详解】连接AC、BD交于点。，连接OE、OF,

因为四边形力BCD为正方形，则AC1BD,

又因为八面体的每个面都是正三角形，所以E、0、F三点共线，且EF，

所以以。为原点，分别以。8、0C.。后为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系0-xyz,如图所示，

则0(000)，4(0,一应,0),5(V2,0,0),C(0,\/2,0),D(-V2,0,0),E(0,0,烟,F(0,0,-V2),

对于A项，AE=(0,\[2,>/2),DP=(>/2,0,V2),

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设异面直线4E与。尸所成角为e,

则cos"\cos（AE,DF）\=搭黑=&=J

所以。=I,即异面直线4E与防所成角大小为］,故A项正确；

对于B项，诟=（-隹0,或），丽=（-&，-四,0）,正=（一但企,0）,

设面A8E的一个法向量为五=（%i，yi，zi）,

贝.郎=0=(-V2%I+&Zi=0

取巧=1,则%=-1,Zi=1,则元=(1,-1,1),

(nBA=01-V2%1-V2yx=0

设面BEC的一个法向量为沆=（x2,y2fZ2），

—V2X+A/2Z=0

22I取%2=11则丫2=1,Z?=1,则m—(1,1,1),

,-V2X2+V2y2=0

1-1+1_1

所以cos优沆）=丽6乂6-3

又因为面力8£•与8EC所成的二面角的平面角为钝角，

所以二面角力-EB-C的平面角的余弦值为-］故B项错误；

对于C项,因为|。团=\0F\=\0A\=\0B\=\0C\=\0D\=0,

所以。为此八面体外接球的球心，

即此八面体一定存在外接球，故C项正确；

对于D项，设内切球的半径为r,

则八面体的体积为V=2VE_ABCD=2X^SABCD•EO=2x：x2x2x/二苧，

又八面体的体积为V=SV_==8xr=8x；x；x22xsin^xr=^r.

EAB08V0_ABE3EAB

所以塔厂=竽，解得r=9

所以内切球的表面积为411"=4nx（彳产=?，故D项正确.

故选：ACD.

2.（2024浙江宁波•二模）在正四棱台MCD-4B1GD］中，/8=4,4丛=2MAi=遮，若球。与上底面

48道1。］以及棱力8,8。（。,。4均相切，则球。的表面积为（）

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A.9TlB.16nC.25nD.36TT

【答案】C

【分析】根据勾股定理求解棱台的高MN=L进而根据相切,由勾股定理求解球半径R=1，即可由表面积

公式求解.

【详解】设棱台上下底面的中心为N,M,连接。止1，。8,

则=2&,。8=4企，

所以棱台的高MN={BiB2TMB-NBI）2=J（何2一（2企一可=

设球半径为R,根据正四棱台的结构特征可知：球。与上底面&BRiJ相切于N,与棱48,80,0）,04均相切于

各边中点处，

设BC中点为E,连接。

所以0E?=0M2+ME2=R2=伊一i）2+22,解得R=1,

所以球。的表面积为4TTR2=25Tlr

故选：C

3.（2024•河北石家庄•二模）已知正方体的棱长为2/，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正

方体的中心。为球心作一个半径为竽的球，则该球。的球面与八面体各面的交线的总长为（）

A.2>/6nB.手ITC.竽nD.4>/6TI

【答案】B

【分析】画出图形，求解正方体的中心与正八面体面的距离，然后求解求与正八面体的截面圆半径，求解

各个平面与球面的交线、推出结果.

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【详解】如图所示，M为Er的中点，。为正方体的中心,过。作PM的垂线交于点N,正八面体的棱长为2,

即EF=2,故0M=1rOP=V2,PM=V3,贝!JON=y,

由于MN=ZN=*NJ=NI=,,所以〃=竽，则ZJN/=T,平面P"与球。的交线所对应的圆心角恰

为2,则该球。的球面与八面体各面的交线的总长为8XGX2TIx亨）=竽口

故选：B

4.（多选）（2022•山东聊城•二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形

状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱.这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离

称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高.椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的兀倍，已知某

圆柱的底面半径为2,用与母线成45。角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个

斜圆柱，下列选项正确的是（）

A.底面椭圆的离心率为日

B.侧面积为24夜九

C.在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为367r

D.底面积为4\反7T

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【答案】ABD

【分析】不妨过斜圆柱的最高点，和最低点B作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，作出过

斜圆柱底面椭圆长轴的截面，截斜圆柱得平行四边形，截圆柱得矩形，如图，由此截面可得椭圆面与圆柱

底面间所成的二面角的平面角，从而求得椭圆长短轴之间的关系，得离心率，并求得椭圆的长短轴长，得

椭圆面积，利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积，由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大，可知斜圆

柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等，从而得其表面积，从而可关键各选项.

【详解】不妨过斜圆柱的最高点。和最低点B作平行于圆柱底面的截面圆,夹在它们之间的是圆柱，如图,

矩月为8。。是圆柱的轴截面，平行四边形B/DE是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，

由圆柱的性质知=45。，

则=,设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,则2a=&・2b,a=V2b,c=Va2-b2=

Ja2-(ya)2=ya,

所以离心率为e=34，A正确；

a2

EGLBF,垂足为G,则EG=6,

易知々EBG=45°,BE=6>/2,又CE=AF=AB=4,

所以斜圆柱侧面积为S=24x2x(4+6V2)-271x2x4=24夜zr,B正确；

2b=4,b=2,2a=4A/2,a=272,

椭圆面积为mib=4V2zr,D正确；

由于斜圆锥的两个底面的距离为6,而圆柱的底面直径为4,所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2,球表

面积为47rx22=167r,C错.

故选：ABD.

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5.（21-22高三上湖北襄阳•期中）在正方体4BCD-&BiGd中，球01同时与以A为公共顶点的三个面

相切，球。2同时与以G为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点凡若以F为焦点，AB1为准线的抛物线经

过0】，。2，设球。1,。2的半径分别为q,r2，则1=.

【答案】2-V3/-V3+2

【分析】首先根据抛物线的定义结合已知条件得到球。2内切于正方体，设厂2=1，得到厂1=2-6，即可得

到答案.

【详解】如图所示：

根据抛物线的定义，点。2到点F的距离与到直线力当的距离相等,

其中点。2到点F的距离即半径七，也即点。2到面CDDiG的距离,

点。2到直线4名的距离即点。2到面力88遇1的距离,

因此球。2内切于正方体.

不妨设r2=1，两个球心。1,。2和两球的切点F均在体对角线/Ci上，

两个球在平面处的截面如图所示,

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则。2r=r2=1,AO2=容="+j-=收,所以AF=A02-02F=V3—1.

因为念=肩,所以力。1=V3ri,所以力尸=401+。/=，5rl+口，

因此（遮+1）心二8一1,得q=2-6，所以立=2-V3.

r2

故答案为：2-痘

♦题型02立体几何中的计数原理排列组合问题

6.（2024•浙江台州•二模）房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长

方体的规格为24cmx11cmx5cm,现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面,截取1次后共可

以得到12cmx11cmx5cm,24cmxycmx5cm,24cmx11cmxgem三种不同规格的长方体.按照上

述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得

到体积为165cm3的不同规格长方体的个数为（）

A.8B.10C.12D.16

【答案】B

【分析】根据原长方体体积与得到的体积为165cm3长方体的关系，分别对长宽高进行减半，利用分类加法

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计数原理求解即可.

【详解】由题意，匕u六优=24x11x5=8x165,为得到体积为165cm3的长方体，

区万体

需将原来长方体体积缩小为原来的5,

O

可分三类完成：第一类，长减半3次,宽减半3次、高减半3次，共3种；

第二类，长宽高各减半1次，共1种；

第三类,长宽高减半(0,1,2)次的全排列用=6种，

根据分类加法计数原理，共3+1+6=10种.

故选：B

7.(2023•江苏南通模拟预测)在空间直角坐标系。-无yz中，410,0,0),8(0,10,0),0(0,0,10)，则三棱锥。-

内部整点(所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点)的个数为()

A.Ci0B.C；C.C；oD.C；

【答案】B

【分析】先利用空间向量法求得面/WC的一个法向量为元=(1,1,1),从而求得面力8c上的点P(a,b,c)满足a4-

b+c=10,进而得到棱锥。-4SC内部整点为Q(s,t,r)满足3<s+t+r<9,再利用隔板法与组合数的性

质即可得解.

【详解】根据题意，作出图形如下，

因为4(10,0,0),8(0,10,0),C(0,0,10),所以而=(-10,10,0),近=(-10,0,10),

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贝-n=-10x4-10y=0

设面ABC的一个法向量为亢=(x,y,z),

l斤-n=-10%+lOz=0

令x=1,则y=Lz=1,故元=(1,1,1),

设P(Q,b,c)是面/IBC上的点，则而=(a-10,瓦c),

故4P-n=a-10+b+c=O,则a+b+c=10,

不妨设三棱锥0-ABC内部整点为Q(s,t,r),则s,t,\WN*,故sN1,tN1,rN1，则s+t+rN3,

易知若s+t+r=10,贝IJQ在面ABC上，若s+£+r>10,贝!JQ在三腌。-ABC夕卜部，

所以3<s+t+r<9,

当s+t+r=n,neN•且3<n<9时，

将林写成几个1排成一列，利用隔板法将其隔成三部分，则结果的个数为s,t,r的取值的方法个数，显然有C，i

个方法，

所有整点Q(s,t,r)的个数为第+《+♦••+《,

raniLz-r,x-r-1_n!_______n________(n+l-r)n!+rn!_(n+1)!_「r

n+1

囚刀Ln+In=r!(n_r)!+(r-i)!(n+i-r)!=r!(n+l-r)!=r!(n+l-r)!=^'

所以C；+C：+.••+C；=C+C+…+盘=C：+C：+•••+Cj=•••=《+《=ct

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得面ABC上的点P(a,b,c)满足Q+b+c=10,从而确定三棱锥。-

ABC内部整点为Q(s,t,r)满足3<s+t+r<9,由此得解.

8.(2024•重庆♦模拟预测)从长方体的8个顶点中任选4个，则这4个点能构成三棱锥的顶点的概率为()

A噎B嗦7D嚏

【答案】B

【分析】首先求出基本事件总数，再计算出这4个点在同一个平面的概率，最后利用对立事件的概率公式计

算可得.

【详解】根据题意，从长方体的8个顶点中任选4个，有端=70种取法，

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"这4个点构成三棱锥的顶点"的反面为"这4个点在同一个平面"，

而长方体有2个底面和4个侧面、6个对角面，一共有12种情况,

则这4个点在同一个平面的概率P=蒋=5

所以这4个点构成三棱推的概率为1-卷=黑

故选：B.

9.（多选）（2024•重庆模拟预测）如图，16枚钉子钉成4x4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下

列说法正确的有（不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同）（）

A.可以围成20个不同的正方形

B.可以围成24个不同的长方形（邻边不相等）

C.可以围成516个不同的三角形

D.可以围成16个不同的等边三角形

【答案】ABC

【分析】利用分类计算原理及组合，结合图形，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.

【详解】不妨设两个钉子间的距离为1,

对于选项A,由图知,边长为1的正方形有3x3=9个，边长为2的正方形有2x2=4个，

边长为3的正方形有1个,边长为旧的正方形有2x2=4个，边长为画的有2个，共有20个，所以选项

A正确，

对于选项B,由图知，宽为1的长方形有3x3=9个，宽为2的长方形有4x2=8个，

宽为3的长方形有5个，宽为鱼的有2个，共有24个，所以选项B正确，

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对于选项c,由图知，可以围成C；6-10C：-4a=516个不同的三角形，所以选项C正确，

对于选项D,由图可知，不存在等边三角形，所以选项D错误，

故选：ABC.

10.（2024•上海浦东新•模拟预测）i^ABCDEF-AeLDNF为正六棱柱，若从该正六棱住的6个侧面

的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是.

F9E9

【答案】n

【分析】

根据题意，相交时分为：在侧面内相交，两个相邻面相交于一个点，相隔一个面中相交于对角线延长线上，

分别分析几种情况下对角线共面的个数，再利用古典概型的概率计算公式，计算结果即可.

【详解】

由题意知，若两个对角线在同一个侧面，因为有6个侧面，所以共有6组，

若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有12个顶点，所以共有12组，

若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，连接力。，CD,E'D,AB',AFr.

H（

先考虑下底面，根据正六边形性质可知Er〃AD〃8C,所以E午,

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且B'C'=EF工AD,故AOC'B'共面，且4DE'尸共面,

故"'，0E'相交,且LD,4夕相交,故共面有2组，

则正六边形对角线所对应的有2组共面的面对角线,

同理可知正六边形对角线BE,CF所对的分别有两组，共6组，

故对于上底面对角线,B'E1,UF'同样各对两组，共6组，

若对面平行，一组对面中有2组对角线平行，三组对面共有6组，

所以共面的概率是6+1当2+6=A.

LX211

故答案为：亮.

♦逡型03立体几何动点最值问题

空间几何体中线段和差最值以及几何体中的轨迹问题，以及线线角和线面角的求解，综合性较强，难度较

大，解答时要发挥空间想象，明确空间的位置关系，结合空间距离，确定动点的轨迹形状;结合等体积法

求得点到平面的距离，结合线面角的定义求解.

11.（多选）（2024•浙江台州•二模）已知止方体4BCD-的棱长为1,P为平面4BCD内一动点,

且直线5户与平面43。。所成角为;，E为正方形为力。5的中心，则下列结论正确的是（）

A.点尸的轨迹为抛物线

B.正方体48CD-4&GD1的内切球被平面为BG所截得的截面面积为三

C.直线CP与平面co2G所成角的正弦值的最大值为日

D.点M为直线D/上一动点，则MP+ME的最小值为

【答案】BCD

【分析】对于A,根据到。点长度为定值，确定动点轨迹为圆；

对于B,理解内切球的特点，计算出球心到平面的距离，再计算出截面半径求面积；

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对于C,找到线面所成角的位置,再根据动点的运动特点（相切时）找到正弦的最大值；

对于D,需要先找到P点位置，再将立体问题平面化，根据三点共线距离最短求解.

【详解】

对于A,因为直线5P与平面ABCD所成角为:，所以DP=f=g.P点在以。为圆心，手为半径的圆周上运

动,因此运动轨迹为圆.故A错误.

对于B,在面8当劣。内研究，如图所示。为内切球球心，0】为上底面中心，”为下底面中心，G为内切球

与面&BO】的切点.已知0G10、B,0G为球心到面力sG的距离.在正方体中,0$=当,02B=告,0,02=1.

利用相似三角形的性质有券=貌即卷=1,0G=*因此可求切面圆的厂2=J©-第=）面积

T~

为故B正确.

对于C直线CP与平面CDQG所成角即为/PCD，当CP与P点的轨迹圆相切时SnNPCD最大.此时sinzPCD=

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专誉.故C正确.

对于D,分析可知，P点为8。和圆周的交点时，MP最小.此时可将面D/B沿着翻折到面BB15D所在平

面.根据长度关系，翻折后的图形如图所示.

Di________E'(OJ-'(0

、

、、1

、、%

X\

X\

X\

、、\

X、

、、M

、、、

~1\、、、、、

D02PB

当/M,P三点共线时，MP+ME最小.因为。2尸=?一日，。1。2=1,所以最小值为1/+(1—*)2=

下手，故D正确.

故选：BCD

12.(多选)(2024•江苏扬州・模拟预测)如图，在棱长为1的正方体A8C0-451G。］中，M为平面43。。

A.若M在线段上,则0iM+MC的最小值为J4+2/

B.平面4被正方体内切球所截，则截面面积为*

C.若GM与48所成的角为?，则点M的轨迹为椭圆

D.对于给定的点M,过M有且仅有3条直线与直线，4。4所成角为60。

【答案】ABD

【分析】合理构造图形，利用三角形的性质判断A,利用球的截面性质判断B,利用线线角的几何求法求出

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轨迹方程判断C,合理转化后判断D即可.

【详解】对于A,延长04到E使得4E=V2,

则Z\M+MC=EM+MC>EC=〃+2企,

等号在瓦M,C共线时取到；故A正确,

对于B,由于球的半径为3,球心到平面AC。1的距离为',

故被截得的圆的半径为J（D=£,故面积为砍半）2=,故B正确，

对于c,C]M与所成的角即为GM和G2所成角，记CM=XCD+yCB,

则/+y2+i=2（/+i）,即/一y2=i,所以M的轨迹是双曲线；故C错误，

对于D,显然过M的满足条件的直线数目等于过久的满足条件的直线/的数目，

在直线/上任取一点P,使得5P=。遇=0也，

不妨设NPDiA=三，若4PD】C=T,则4D1CP是正四面体,

所以P有两种可能，直线1也有两种可能,若乙PD1C=g,则1只有一种可能，

就是与乙AQC的角平分线垂直的直线,所以直线1有三种可能.

故选：ABD

13.（多选）（2023•安徽芜湖・模拟预测）已知正方体力BCD-4/CM1的棱长为2,棱力B的中点为M,过

点M作正方体的截面a,且a01a,若点N在截面a内运动（包含边界），则（）

A.当|MN|最大时,MN与BC所成的角为T

B.三棱锥4-RNG的体积为定值；

C.若|DN|=2,则点N的轨迹长度为2TI

D.若N€平面,则|8N|+|NC1|的最小值为J6+2V5

【答案】BCD

【分析】记BC,CG，GD,Di&,/l"的中点分别为F,H,G,居E,构建空间直角坐标系，证明M,r,",G,匕E共

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面,且1平面MEFG”/,由此确定平面a,找到|MN|最大时N的位置，确定MN与BC所成角的平面角

即可判断A,证明&8Q与平面a平行，应用向量法求M到面&BC1的距离，结合体积公式，求三棱锥&-

BNCi的体积，判断B；根据球的截面性质确定N的轨迹，进而求周长判断C,由N€平面&BCD1确定N的

位置，通过翻折为平面图形，利用平面几何结论求解判断D.

【详解】记8。(。1，6。,。141，41%的中点分别为广,分6,尸田,

连接EF,FG,GH,HI」M,ME,连接GM,F/,

因为FG||||AC,AC||MI,又|FG|=：|力。|=\MI\

所以FGIIMI,\FG\=\MI\,所以四边形”/M为平行四边形，

连接丹,MG,记其交点为S,

根据正方体性质，可构建如下图示的空间直角坐标系，则42。，。)，4(2,02),8(2,2,0),G(0,2,2),

Bi(2,2,2),M(2,l,0),E(2,0』)，F(l,0,2),G(0,l,2),W(0,2,l),/(1,2,0),S(l,l,l),

因为西=(2,2,2),SM=(1,0,-1),Si=(0,1,-1),SH=(-1,1,0),

SG=(-1,0,1),SF=(0,-l,l),SE=(1,-1,0),

所以西•加=0,西•可=0,西•南=0,

DX-SS=0,西•矛=0,西♦宽=0

所以M,E,EG,4/六点共面，

因为西=(2,2,2),M/=(-1,1,0)rME=(0,-1,1),

所以西Ml=-2+2+0=0,西ME=0-2+2=0,

第”页共103页

所以西1Ml,西1ME,

所以OB11MI,DBi1ME,又M/,MEu平面ME尸G，/,

所以0当_L平面MEFGH/,故平面MEFGH/即为平面a,

对于A,N与G重合时,|MN|最大,且MN〃g,

所以MN与BC所成的角的平面角为4G8C,

又|BC|=ICGI/BCG=90°,

所以匕GBC=，故MN与BC所成的角为三,所以A错误；

44

对于B,因为所以西=(2,2,2),砧；=(-2,2,0),西=(-2,0,2),

所以西,砧7=-4+4+0=0,西•西=-4+0+4=0,

所以西1宿，西上西,

所以0当，力传1，0々1BG,又u平面&BQ,

所以。仇，平面力道6,又叫_L平面M"G/〃,

所以平面4BGII平面ME/GH/,

所以点N到平面41BG的距离与点M到平面力18G的距离相等，

所以匕1.8NC1=VN-AIBS=，

向量西=(2,2,2)为平面4/C1的一个法向量，又丽=(0,1,0),

所以M到面4BG的距离d=嚅^=今，

又公48G为等边三角形，贝必少述心=：X(2e)2X[=26，

所以三棱锥&-8NG的体积为定值:xdx=|,B正确；

对于C：若|DN|=2，点N在截面M*GH/内，

所以点N的轨迹是以。为球心，半径为2的球体被面ME/GH/所截的圆(或其一部分)，

因为旃=(1,1,1),西=(2,2,2),所以西IIDS,

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所以DS1平面MEFG，/,所以截面圆的圆心为S,

因为西=(2,2,2)是面ME尸G，/的法向量，而而=(1,0,2),

所以D至I」面MEFGy/的距离为d'=塔普=V3,

故轨迹圆的半径r=卜一(8)2=1,又|SM|=V2,

故点N的轨迹长度为2irr=2TI,C正确.

对于D,NW平面,NE平面MEFGH/,

又平面&BCDi与平面ME/G，/的交线为口,

所以点N的轨迹为线段感,

翻折△C.FI，使得其与矩形&B/F共面，如图，

所以当8,N，G三点共线时，|8N|+|NG|取最小值，最小值为IBC/,

由已知©/|=陷用=V5,\BI\=1,\FI\=2V2,

过G作G71BI,垂足为7,则|C"|=V2,

所以|厅|=VKI/P-KIT,I2=V3

所以IBC/=J|BT|2+|GT|2=J(百++2=J6+2百,

所以|8N|+INC/的最小值为J6+2V5,D正确；

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据截面的性质确定满足条件的过点M的截面位置，再结合异面

直线夹角定义，锥体体积公式，球的截面性质，空间图形的翻折判断各选项.

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14.(多选)(2024•福建厦门•一模)如图所示，在五面体4BCOE尸中，四边形是矩形，△ABFf^DCE

均是等边三角形，且48=2a，EF=x(x>0),则()

Eq-----------?F

CB

A.EH//平面48C0

B.二面角4-EF-8随着x的减小而减小

C.当BC=2时，五面体ABCDEF的体积V(x)最大值为孑

D.当BC=弓时，存在M吏得半径为巨的球能内含于五面体4BCDEF

【答案】ACD

【分析】

A由线面平行的判定证明；B设二面角4-EF-8的大小为2a,点尸到面4BCD的距离为八,则tana=£,

分析取最小值的对应情况即可判断；C把五面体48C0EF补成直三棱柱FG/—EK/,取力SG/的中点,

设iFMH=3(0<6<^),则M”=3cos0,FH=3sin6,结合，Q)=VPGl_FK)-24-卬。并应用导数研究最

值；D先分析特殊情况：△ABF^OCE所在平面均垂直于面/8CD时构成正三棱柱力-DCE,再借助左

视图、正视图研究内切圆半径分析一般情况判断.

【详解】A：由题设8C/A4D,ADa^ADEF,BC仁面4DEF,则BC//面4DEF,

由面BCE尸C^ADEF=EF,BCu面8CEF,贝!J8C//E尸，

BCu面力BCD,EF仁面力BCD,则EF//平面力BCD,无t；

B:设二面角4-EF-8的大小为2a,点尸到面48CD的距离为九,则tana=中,

点F到面48CD的距离，仅在面F4B_L面/18CD时取得最大值，

当EF=x=8C时tana取最小值，即a取最小值，即二面角力-EF-8取最小值，

所以=xe(0,+oo),二面角先变小后变大，错；

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C：当BC=2,如图，把五面体4BCDEF补成直三棱柱FG/-EK],

分别取4B,G/的中点，易得FH1面/BCD,FM=3,

设=0(0<0<^),则MH=3cos®JH=3sin0,

x

K(x)=VABCDEF=^FGI-EKJ~^F-ABIG=1273x3sin6x(24-6cos0)—2x；x3sin/9x2遮x3cos6=

6V5sin。4-6百sinOcosJ,

令/(。)=6V3sin0+6>/3sin0cos6,则f<6)=675cose+675cos2。,

令『(6)=0=2cos2。+cos。—1=0,可得cos。="或cos。二一1(舍),即9=,

0Ve,广(。)>0,f(e)递增，2V8，/(。)<0，f(。)递减，

显然e=提f⑻的极大值点，故f(8)max=6V3X^+6V3X^x1=y.

所以五面体ABC。"的体积V(x)最大值为:，C对；

D:当BC=|时,△力8尸和^DCE所在平面均垂直于面48cz)0^1勾三棱柱4B/7—DCE,

此时正三棱柱内最大的求半径r=：<v，故半径为胃的球不能内含于五面体4BCDEF，

422

对于一般情形，如下图示，左图为左视图，右图为正视图，

由C分析结果，当五面体48C0EF体积最大时，其可内含的球的半径较大，

易知,当乙FMH=物,FH=^,IH=®IF=与,

设么产/G的内切圆半径为厂1,则gxx2>/3=兑x(28+2x苧),可得q>苧,

另外,设等腰梯形/?"MN中圆的半径为。，则生==tan?=乎>6=襦，

q«5*r/十v，，

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所以,存在x使半径为日的球都能内含于五面体4BCDEF,对.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：对于C通过补全几何体为棱柱，设“MH=0（0<0<，导到五面体48CDE9的体积

关于。的函数；对于D从特殊到一般，结合几何体视图研究内切圆判断最大半径是否大于9为关键.

15.（多选）（2024•广西南宁•一模）在边长为2的正方体力BCD-力出的为中，动点M满足询=xAB+

yAD+zAAx,（xfy,zeR且x>0,y>0,z>0）,下列说法正确的是（）

A.当x=；,z=0,yG[0,1]时，+MO的最小值为g

B.当“y=l,z皂时，异面直线与CD1所成角的余弦值为日

C.当x+y+z=1,且力M=竽时，则M的轨迹长度为殍

D.当无+y=l,z=0时，与平面旗也所成角的正弦值的最大值为日

【答案】AD

【分析】对于A,确定M的位置，利用侧面展开的方法，求线段的长，即可判断；对于B,利用平移法，

作出异面直线所成角，解三角形，即可判断；对于C,结合线面垂直以及距离确定点M的轨迹形状，即可

确定轨迹长度；对于D,利用等体积法求得M点到平面AB1D]的距离，结合线面角的定义求得AM与平面

4a必所成角的正弦值，即可判断.

【详解】对于A，在A8上取点H,使通=海，在。。上取点K,使而=海，

因为“=；,z=0,y£[0,1],即而/=+y而，故M点在”K上，

将平面与平面4月KQ沿着月犬展开到同一平面内，如图：

连接为。交〃K于P,此时以匕。三点共线，B]M+取到最小直即为。的长，

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由于而=、而=>•.8〃=!则B]H=J22+住)2=|,

故<81=3+：=3,,B[D=J(8M)2+/。2=V32+22=V13,

即此时81M+MO的最小值为,A正确；

对于B,由于x=y=l,z=[时,则词=A§+AD+「F上；=AC+1ct\,

此时M为CG的中点，取G5的中点为N,连接BM,MN,BN,

则MNIIC/故上8MN即为异面直线BM与CQ所成角或其补角,

又MN=-CD=y[i,BM=V22+l2=>/S,BN=y/CBC^2+(CpV)2=yfsTl=3,

2r

8M2+MN2-8A2（内，（、寸32V10

故cos/BMN=

2BMMN2V5-V210

而异面直线所成角的范围为（0,5，

故异面直线BM与CQ所成角的余弦值为*,B错误；

对于C,当％+y+z=1时，可得点M的轨迹在4&BD内（包括边界），

由于CGJL平面zWCO,BDu平面A8C0,故1BD,

又BOLAC.ACOCC[=C,AC,CCiu平面ACC1，故8D1平面ACG,

AC}u平面4CG,故8。1ACi,同理可证481ACV

AXBC\BD=BAB,BDu平面&BD,故4cl1平面,

设4cl与平面A1.B。交于点P,由于%=匕1-ABD=[AX]4X2X2X2=>J

△48D为边长为2a的正三角形，则点A到平面&BD的距离为力P=1心：I=竽

"（2⑸3

若AM=—,则MP=VAM2-AP2=—,

33

即M点落在以P为圆心，警为半径的圆上,

«5

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小

P点到△&80三遍的距离为g乂枭2&=当〈言，

即M点轨迹是以P为圆心，手为半径的圆的一部分，其轨迹长度小于圆的周长等，C错误;

*5*5

对于D,因为C平面/当。1,Bnu平面力劣为，故8011平面4%。1，

AHB

因为当x+y=l,z=0时，前二通+而，即M在8。上，

点M到平面481。1的距离等于点B到平面48山]的距离，设点B到平面力仇劣的距离为d,

则%-48必=%1-4啊=：SAA88I♦力也=：X]X2X2X2=，

△/6也为边长为2加的正三角形，即2伤。，d=：x，x(2&Pxd=^,

解得d=竽，

又M在BD上，当M为80的中点时，AM取最小值加，

设直线4M与平面4B]D]所成角为e[0,^],

2V32V3r_

贝！JsinO=弓=务工系=?，即与平面人劣劣所成角的正弦值的最大值为半，D正确，

AM/IMVZ33

故选：AD

【点睛】难点点睛：本题考查了空间几何体中线段和差最值以及几何体中的轨迹问题，以及线线角和线面

角的求解，综合性较强，难度较大，解答时要发挥空间想象，明确空间的位置关系，难点在于C,D选项

的判断，对于C,要结合空间距离，确定动点的轨迹形状；对于D,要结合等体积法求得点到平面的距离，

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结合线面角的定义求解.

♦逡型04不规则图形中的面面夹角问题

利用向量法解决立体几何中的空间角问题，关键在于依托图形建立合适的空间直角坐标系，将相关向量用

坐标表示，通过向量的坐标运算求空间角，其中建系的关键在于找到两两垂直的三条直线.

16J：2024浙江台州•二模加图，已知四棱台A8CD-48心。］中AB=3ABiABWCDAD1.ABAB=6.

CD=9,AD=6,且力4=咽=4,Q为线段CG中点，

⑴求证：8QII平面力。54；

(2)若四棱锥Q-的体积为胃，求平面4与平面CODiG夹角的余弦值.

【答案】Q)证明见解析

⑵亨

【分析】(1)分别延长线段441,BB/CG,0久交于点P,将四棱台补成四棱锥P-ABCD,取0劣的中

点E,连接QE,AE,由四边形力8QE为平行四边形，得到8QIME,然后利用线面平行的判定定理证明；

(2)先证明力。_L平面48%久,再以A为坐标原点，以直线为X轴，以直线4。为y轴，建立空间直角

坐标系，求得平面。DD1G的法向量为沅=(%,y,z),易得平面力88181的一个法向量为亢=(0,1,0),然后由

cos(m,n)=需强求解.

【详解】(1)证明：如图所示：