专题26 解答题重点出题方向二次函数的实际应用（解析版）

专题26解答题重点出题方向二次函数的实际应用（解析版）

模块一2022中考真题集训

类型一最大利润问题

1．（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽

子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A

品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．

（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；

（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进

行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每

袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？

思路引领：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据两次进货情况，

可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据：利润＝（每台实际售价﹣每台进价）×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可

得函数的最大值；

解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，

根据题意得，，

100�+150�=7000

解得，180�+120�=8100

�=25

答：A�种=品30牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；

（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利润为w元，

根据题意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，

∵﹣5＜0，

∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980

元．

总结提升：本题主要考查二元一次方程组及二次函数的实际应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列

出方程或函数关系式是解题的关键．

2．（2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）

与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元

时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．

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（1）求y与x之间的函数关系式．

（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？

（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利

润最大？最大利润是多少元？

思路引领：（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；

（2）根据每件的销售利润×每天的销售量＝425，解一元二次方程即可；

（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数

关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．

解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，

由题意可知：，

9�+�=105

解得：1，1�+�=95

�=−5

∴y与x�之=间1的50函数关系式为：y＝﹣5x+150；

（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，

解得：x1＝13，x2＝25（舍去），

∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；

（3）w＝y（x﹣8），

＝（﹣5x+150）（x﹣8），

w＝﹣5x2+190x﹣1200，

＝﹣5（x﹣19）2+605，

∵8≤x≤15，且x为整数，

当x＜19时，w随x的增大而增大，

∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．

答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．

总结提升：本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等

量关系．

3．（2022•鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价

m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式mx+18（1≤x≤10，x为整数），又通过分析销售情况，

1

发现每天销售量y（kg）与时间第x天之间满足一=次2函数关系，下表是其中的三组对应值．

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时间第x天…259…

销售量y/kg…333026…

（1）求y与x的函数解析式；

（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？

思路引领：（1）利用待定系数法求解即可；

（2）设销售这种水果的日利润为w元，得出w＝（﹣x+35）（x+18﹣8）（x）2，再结

11153025

=−−+

合1≤x≤10，x为整数，利用二次函数的性质可得答案．2228

解：（1）设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为y＝kx+b，

根据题意，得：，

2�+�=33

解得，5�+�=30

�=−1

∴y＝�﹣=x+3355（1≤x≤10，x为整数）；

（2）设销售这种水果的日利润为w元，

则w＝（﹣x+35）（x+18﹣8）

1

x2x+3502

115

=−+

2（x2）2，

1153025

∵=−1≤2x≤−102，x为+整数8，

∴当x＝7或x＝8时，w取得最大值，最大值为378，

答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元．

总结提升：本题主要考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的

性质是解题的关键．

4．（2022•丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30

元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销

售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

销售单价x（元/件）…354045…

每天销售数量y（件）…908070…

（1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？

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（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？

思路引领：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数

法可得y＝﹣2x+160；

（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可

得销售单价应定为50元；

（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二

次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．

解：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，

把（35，90），（40，80）代入得：

，

35�+�=90

解40得�+�=80，

�=−2

∴y＝�﹣=2x1+61060；

（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，

解得x1＝50，x2＝60，

∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，

∴x＝50，

答：销售单价应定为50元；

（3）设每天获利w元，

w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，

∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，

而x≤54，

∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），

答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．

总结提升：本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关

系式和一元二次方程．

5．（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第

一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．

（1）求第二批每个挂件的进价；

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（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售

价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖

90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？

思路引领：（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，根据题意列出方

程，求解即可；

（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，则可列出w关于y的函数关系式，再根据“每周最

多能卖90个”得出y的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论．

解：（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，

根据题意可得，50，

66008000

+=

解得x＝40．1.1��

经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，

∴1.1x＝44．

∴第二批每个挂件的进价为40元．

（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，

根据题意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10（y﹣52）2+1440，

∵﹣10＜0，

∴当x≥52时，w随y的增大而减小，

∵40+10（60﹣y）≤90，

∴w≥55，

∴当y＝55时，w取最大，此时w＝﹣10（55﹣52）2+1440＝1350．

∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．

总结提升：本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．

6．（2022•荆门）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销

售量y（万个）与x之间的关系式为yx+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．

1

（1）求出商场销售这种商品的净利润=z−（1万0元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利

润最大，最大净利润是多少？

（2）若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销

售价格x应定为多少元？

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思路引领：（1）根据总利润＝单价利润×销量﹣50，可得z与x的函数解析式，再求出x

�

=−=−

60时，z最大，代入即可；2�

12

1=

2（×2(）−1当0)z＝17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出x的范围，结合y与x的

函数关系式，从而解决问题．

解：（1）z＝y（x﹣30）﹣50

＝（）（x﹣30）﹣50

1

−�+9

1012x﹣320，

12

=−�+

当x1060时，z最大，最大利润为40；

�1212

=−=−1=−×60+12×60−320=

2�2×(−10)10

（2）当z＝17.5时，17.512x﹣320，

12

=−�+

解得x1＝45，x2＝75，10

∵净利润预期不低于17.5万元，且a＜0，

∴45≤x≤75，

∵yx+9．y随x的增大而减小，

1

∴x＝=−4510时，销售量最大．

总结提升：本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确列出

z关于x的函数的解析式是解题的关键．

7．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整

箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，

批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售

价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．

（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；

（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每

天所获利润最大？最大利润是多少？

思路引领：（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元得：

y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，

（2）设李大爷每天所获利润是w元，由总利润＝每千克利润×销量得w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣0.2x+8.4）]

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×10x＝﹣3（x）2，利用二次函数性质可得李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所

411681

获利润最大，最−大6利润+14012元．

解：（1）根据题意得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4（1≤x≤10，x为整数），

答：这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式为y＝﹣0.2x+8.4（1≤x≤10，x

为整数）；

（2）设李大爷每天所获利润是w元，

由题意得：w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣0.2x+8.4）]×10x＝﹣3x2+41x＝﹣3（x）2，

411681

−+

∵﹣3＜0，x为正整数，且|6|＞|7|，612

4141

−−

∴x＝7时，w取最大值，最大值6为﹣3×6（7）2140（元），

411681

答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使−每6天所+获1利2润=最大，最大利润140元．

总结提升：本题考查一次函数及二次函数的应用，解题的根据是理解题意，列出函数关系式，能利用二

次函数性质解决问题．

8．（2022•营口）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本

共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32

元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售

量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：

售价（元/本）……22232425……

每天销售量（本）……80787674……

（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；

（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销

售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；

①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；

②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？

思路引领：（1）设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，根据购进A款纪念册

5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元得，

5�+4�=156

可解得A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元；3�+5�=130

（2）①根据两款纪念册每天销售总数不变，可得B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本；

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②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y＝kx+b'，待定系数法可得y＝﹣2x+124，

即可得B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本时，每本售价是（22+m）元，设该店每天所获利润是w

元，则w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，

根据二次函数性质可得答案．

解：（1）设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，

根据题意得：，

5�+4�=156

解得，3�+5�=130

�=20

答：A�款=纪14念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元；

（2）①根据题意，A款纪念册每本降价m元，可多售出2m本A款纪念册，

∵两款纪念册每天销售总数不变，

∴B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本；

②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y＝kx+b'，

根据表格可得：，

80=22�+�′

解得，78=23�+�′

�=−2

∴y＝�﹣′2=x+112244，

当y＝80﹣2m时，x＝22+m，

即B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本时，每本售价是（22+m）元，

设该店每天所获利润是w元，

由已知可得w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，

∵﹣4＜0，

∴m＝6时，w取最大值，最大值为1264元，

此时A款纪念册售价为32﹣m＝32﹣6＝26（元），

答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．

总结提升：本题考查二元一次方程组和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出方程组和函数关

系式．

9．（2022•辽宁）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不

高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关

系，部分数据如表：

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每千克售价x……202224……

（元）

日销售量y（千……666054……

克）

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为

多少元？

思路引领：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由表中数据即可得出结论；

（2）根据每日总利润＝每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．

解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），

由表中数据得：，

20�+�=66

解得：，22�+�=60

�=−3

∴y与x�之=间1的26函数关系式为y＝﹣3x+126；

（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，

由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，

∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，

∴18≤x≤28，

∵﹣3＜0，

∴当x＜30时，w随x的增大而增大，

∴当x＝28时，w最大，最大值为420，

∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420

元．

总结提升：本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．

10．（2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于

18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函

数关系．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

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思路引领：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；

（2）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数

最值．

解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），

由所给函数图象可知：，

14�+�=220

解得：，16�+�=180

�=−20

故y与x�的=函50数0关系式为y＝﹣20x+500；

（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，

∵y＝﹣20x+500，

∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）

＝﹣20x2+760x﹣6500

＝﹣20（x﹣19）2+720，

∵﹣20＜0，

∴当x＜19时，w随x的增大而增大，

∵13≤x≤18，

∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，

∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元．

总结提升：本题考查二次函数的应用，关键是根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式．

类型二图形面积最大问题

11．（2022•沈阳）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．

（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？

（2）矩形框架ABCD面积的最大值为150平方厘米．

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思路引领：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，根据面积公式列出一元二次方程，解之即

60−2�

可；3

（2）在（1）的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．

解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，

60−2�

∴x•144，3

60−2�

=

解得x＝312或x＝18，

∴AB＝12cm或AB＝8cm，

∴AB的长为12厘米或8厘米；

（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，

60−2�

∴S＝x•，即Sx2+20x（x﹣15）2+150，3

60−2�22

=−=−

∵＜0，333

2

∴要−3使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．

故答案为：150．

总结提升：此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关

键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．

12．（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，

木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．

思路引领：设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列函数关系式，从而利用二次函数的性质求其

最值．

解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（47﹣2x+1）m，由题意可得：

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y＝x（47﹣2x+1），

即y＝﹣2（x﹣12）2+288，

∵﹣2＜0，

∴当x＝12时，y有最大值为288，

当x＝12时，47﹣x﹣（x﹣1）＝24＜25（符合题意），

∴鸡场的最大面积为288m2．

总结提升：本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的性质是解题关键．

13．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的

长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长

度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．

（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；

（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

思路引领：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为（8﹣x）m，可得（x+2x）×（8

24−�−2�

=

﹣x）＝36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；3

（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，根据墙的长度为10，可得0＜x，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝

10

≤3

﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函数性质即得当x时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．

10140

=

解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为3（8﹣x）m，3

24−�−2�

=

∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，3

解得x＝2或x＝6，

经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，

∴x＝2，

答：此时x的值为2；

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（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，

∵墙的长度为10m，

∴0＜x，

10

根据题≤意得3：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，

∵﹣3＜0，

∴当x时，y取最大值，最大值为﹣3×（4）2+48（m2），

1010140

=−=

答：当x3时，矩形养殖场的总面积最大，最3大值为m2．3

10140

=

总结提升：本3题考查一元二次方程和二次函数的应用，解3题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．

14．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围

墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方

案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：

（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总

种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；

（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多

少？

思路引领：（1）设水池的长为am，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得

出结论；

（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，得出面积关于x的关系式，利用二次函数的性质求最值即

可．

解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），

∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），

设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），

∴36﹣a＝32，

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解得a＝4，

∴DG＝4m，

∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），

即CG的长为8m、DG的长为4m；

（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，

∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x）2，

7147

∵﹣3＜0，−2+4

∴当x时，总种植面积有最大值为m2，

7147

=

即BC应2设计为m总种植面积最大，此4时最大面积为m2．

7147

总结提升：本题2主要考查二次函数的应用，熟练根据二4次函数的性质求最值是解题的关键．

类型三物体的运动轨迹是抛物线的问题

15．（2022•宁夏）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一

条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵

轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D

的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即）．

𝐶3

=

𝐶4

求：（1）点A的坐标；

（2）该抛物线的函数表达式；

（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）

（参考数据：1.73）

思路引领：（1）3由≈抛物线的图象可直接得出结论；

（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；

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（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐标减去DE

的长可得出结论．

解：（1）∵OA＝4，且点A在y轴正半轴，

∴A（0，4）．

（2）∵抛物线最高点B的坐标为（4，12），

∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+12，

∵A（0，4），

∴a（0﹣4）2+12＝4，解得a．

1

=−

∴抛物线的解析式为：y（x﹣24）2+12．

1

=−2

（3）在Rt△CDE中，，CD＝2.5，

𝐶3

=

∴CE＝1.5，DE＝2．𝐶4

∴点D的纵坐标为﹣1.5，

令（x﹣4）2+12＝﹣1.5，

1

解得−2，x＝4+39.19或x＝4﹣31.19（不合题意，舍去），

∴D（9.19，﹣13.5≈）．3≈−

∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．

∴OC的长约为7.2米．

总结提升：本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相

关内容，得出点D的坐标是解题关键．

16．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，

铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y

＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）

作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．

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（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．

（2）当a时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．

1

（3）在试=跳9中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，

在平面直角坐标系中描点如图3．

①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．

②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：1.73，2.24）

思路引领：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），利用待定系数法可得出结3论≈；5≈

（2）当时，，联立，可得出点P的横坐标，比较

112121

即可得出�结=论9；�=−9�+2�+20−9�+2�+20=−2�+20

（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．将（100，0.250）代入表达式，求出m的值即可．将（150，0.167）

代入进行验证即可得出结论；

25

�=2

②由K在�线段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．由得v2＝

1525

�=−�+20�=�=2

320，比较即可．264�

解：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），

设CE：y＝kx+b（k≠0），

，

将C（8，16），E（40，0）代入得：，解得，

1

16=8�+��=−2

∴线段CE的函数表达式为0=（408≤�+x≤�40）．�=20.

1

�=−�+20

（2）当时，2，

112

�=�=−�+2�+20

由题意得99，

121

−�+2�+20=−�+20

解得x1＝0（9舍去），x2＝22.5．2

∴P的横坐标为22.5．

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∵22.5＜32，

∴成绩未达标．

（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．

∴设，

�

�=2(�≠0)

将（100，�0.250）代入得，解得m＝25，

�

0.25=

∴．100

25

�=2

将（15�0，0.167）代入验证：，

2525

�=2≈0.167

∴能相当精确地反映�a与v2的1关50系，即为所求的函数表达式．

25

�=2

②由K�在线段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．

15

�=−�+20�=

由得v2＝320，264

25

�=2

又∵v＞�0，

∴．

∴�当=v≈8158m≈/s1时8，运动员的成绩恰能达标．

总结提升：本题属于函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的应用及二次函数综合

应用，熟知待定系数法求函数解析式是解题关键．

17．（2022•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，

实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出

时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．

5

（1）求y关于x3的函数表达式；

（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的

水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

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图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》

思路引领：（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；

（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．

解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，

把（0，）代入解析式得：a（0﹣3）2+3，

55

=

解得：a3，3

4

=−

∴y关于x的2函7数表达式为y（x﹣3）2+3；

4

（2）该女生在此项考试中是=得−满2分7，理由：

令y＝0，则（x﹣3）2+3＝0，

4

−

解得：x1＝7.5，27x2＝﹣1.5（舍去），

∵7.5＞6.70，

∴该女生在此项考试中是得满分．

总结提升：本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为

题．

18．（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳

后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，

运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．

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某运动员进行了两次训练．

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：

水平距离02581114

x/m

竖直高度20.0021.4022.7523.2022.7521.40

y/m

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；

（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记

该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1＜d2（填

“＞”“＝”或“＜”）．

思路引领：（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将

表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值即可得出函数解析式；

（2）设着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示

出d1和d2，然后进行比较即可．

解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20），

∴h＝8，k＝23.20，

即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，

根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝20.00，代入y＝a（x﹣8）2+23.20得：

20.00＝a（0﹣8）2+23.20，

解