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前面例题中所求的不定积分,都得到了原函

几种特殊类型函数的不定积分

但有相当多的初等函数虽然存在原函数,原函例如

等不定积分都“积不出来”.数的解析表达式,因而都是初等函数.数却不是初等函数.两个多项式之商表示的函数称为有理函数.即5.4.1有理函数的积分其中

m、n都是非负整数;及

下面我们介绍几类原函数一定是初等函数的不定积分.都是实数,并且假定分子与分母之间没有公因式.称为有理真分式；称为有理假分式.

利用多项式除法,假分式可以化成一个多例如,难点:将有理函数化为部分分式之和.项式与一个真分式之和.(1)分母中若有因式

则可以分解为有理函数化为部分分式之和的一般规律:特殊地：分解后为其中都是待定系数.(2)分母中若有因式，其中则可以分解为特殊地：分解后为其中都是待定系数.真分式化为部分分式之和的方法为待定系数法.任意有理真分式的不定积分都归纳为下列其中A,B,a,p,q都为常数,分别讨论上述几种类型的不定积分.并且四种典型部分分式的积分之和.k为大于1的正整数.用递推公式综上所述,所有有理函数的原函数都是初等函数.

例5.34

计算

解比较等式两端x项系数得代入特殊值来确定系数取取取并将

值代入解例5.35

计算

故整理得解例5.36

计算

故所以解作变换原式练习

计算

常见类型解决方法

作代换去掉根号.5.4.2简单无理函数的积分

某些无理函数的积分,通过适当的变量代换,分别令可以化为有理函数的积分.

解

令例5.37

计算

解

令原式=例5.38

计算

解

令例5.39

计算

三角有理式是指：

由三角函数和常数经过有限次四则运算构5.4.3三角函数有理式的积分化为的有理函数的积分.

三角函数有理式可以通过万能代换:成的函数．记为令(万能代换公式)解

设例5.40

计算

解1

设例5.41

计算

解2修改万能代换公式令解3

可以不用万能代换公式结论:

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