2025年高考一轮复习 专题09 函数的图像 函数的零点（八大题型+模拟精练）（解析版）

专题09函数的图像函数的零点（八大题型+模拟精练）目录：01画函数的变换图像02识别函数的图像03函数图像变换的应用04求函数的零点及个数05二分法求函数的零点06根据函数的零点求参数07函数零点的其他应用08补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用01画函数的变换图像1．（2024高三·全国·专题练习）作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)y＝|log2x－1|；【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】(1)去绝对值化简成分段函数，画出图象即可．(2)原式变形为y＝1＋，先作出y＝的图象，再结合图象变换，即可得出结论．(3)先作出y＝log2x的图象，结合图象变换，即可得出结论．【解析】(1)首先要化简解析式，y＝利用二次函数的图象作出其图象，如图①所示.(2)原式变形为y＝1＋，先作出y＝的图象，再将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得如图②所示.(3)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方来，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示.【点睛】本题主要考查了绝对值函数图象的画法，关键是化为分段函数或利用图象变换来画图，属于中档题．02识别函数的图像2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的图象为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解.【解析】因为，所以当时，，故排除ABC，又的图象可由函数的图象向右平移一个单位得到，则D正确.故选：D.3．（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】根据时的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.【解析】，因为当时，都为增函数，所以，在上单调递增，故B，C错误；又因为，所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.故选：A4．（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而得解.【解析】对于B，当时，，易知，，则，不满足图象，故B错误；对于C，，定义域为，又，则的图象关于轴对称，故C错误；对于D，当时，，由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；检验选项A，满足图中性质，故A正确.故选：A.03函数图像变换的应用5．（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于点对称 D．关于点对称【答案】A【分析】首先判断函数为奇函数，再根据函数平移规则判断即可.【解析】函数的定义域为，又，所以为奇函数，则函数的图象关于原点对称，又的图象是由的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，所以函数的图象关于点对称.故选：A6．（22-23高二上·河南·阶段练习）直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（

）A．9 B．8 C．6 D．5【答案】A【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心，从而得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【解析】函数的图象，可由的图象向右平移1个单位，再向上2个单位得到，又的定义域为，，所以是奇函数，则其对称中心为，故的对称中心为，所以，即，所以，当且仅当，即时,等号成立，所以的最小值为.故选：A.7．（2022高三·全国·专题练习）已知二次函数的图象的顶点坐标是，且截轴所得线段的长度是4，将函数的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线，则抛物线与轴的交点是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次函数的性质，结合待定系数法求得，再利用平移的特征求得，从而得解.【解析】因为二次函数的图象的顶点为，故的对称轴为直线，又的图象截轴所得线段的长度是4，所以的图象与轴的交点坐标为和，设，将点代入得，解得，所以，因为的图象为的图象右移2个单位得到的，所以，令，则，所以与轴交点生标为.故选：B.8．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数的定义域为且满足，，将的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象.(1)分别求与的解析式；(2)设函数，若在区间上有零点，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用换元法求得的解析式，根据图象变换的知识求得的解析式.（2）先求得的解析式，然后利用换元法，根据根据函数的零点与方程的解、分离参数法、对钩函数的性质求得的取值范围.【解析】（1）令，，则，，所以，则.由题意可得，.（2）.令，当时，，函数有零点等价于关于的方程在上有解.令，则，，所以，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，当时，该函数取得最小值，即，当时，该函数取得最大值，即，因此，实数m的取值范围为.【点睛】利用换元法求函数的解析式，要注意函数的定义域在求解过程中的变化.求解函数的零点问题，可转化为方程的根来进行研究.如果零点问题含有参数，则可以考虑分离参数法、构造函数，转化为值域问题来进行求解.04求函数的零点及个数9．（2023高三·全国·专题练习）已知指数函数为，则函数的零点为（

）A． B．0C．1 D．2【答案】C【分析】根据给定条件，解指数方程即可作答.【解析】函数，由，即，整理得，解得，所以函数的零点为1.故选：C10．（2023·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据零点的定义即可求解.【解析】令，得，则．故选：A11．（2024高三·全国·专题练习）函数f（x）＝2x＋x－2的零点个数是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】解析：f′（x）＝2xln2＋1＞0，所以f（x）在R上单调递增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函数的零点个数为1.故选B.12．（2019高三·山东·学业考试）函数零点个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】根据零点的定义计算即可.【解析】由得：或解得或．因此函数共有2个零点．故选：B.13．（2024·广东湛江·二模）已知函数，，则（

）A．当有2个零点时，只有1个零点B．当有3个零点时，有2个零点C．当有2个零点时，有2个零点D．当有2个零点时，有4个零点【答案】D【分析】作出函数，图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与的图象的公共点的个数，结合图象可得答案.【解析】两个函数的零点个数转化为图象与的图象的公共点的个数，作出，的大致图象，如图所示.由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点；当有3个零点时，只有1个零点；当有2个零点时，有4个零点.故选：D14．（2024·全国·模拟预测）函数的图像关于点中心对称，将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则函数在区间内的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】正弦函数的图像与性质、三角函数图像的平移变换【解析】函数的图像关于点中心对称，，∴,又，则．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像,令，得∴函数在区间内的零点有，共4个.故选：D．05二分法求函数的零点15．（2023高三·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过次操作后，区间长度变为，若要求精确度为时则，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.【解析】因为开区间的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，所以经过次操作后，区间长度变为，令，解得，且，故所需二分区间的次数最少为7.故选：C.16．（2019高三·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据零点的存在定理及二分法分析各选项的函数图象，即可得到答案．【解析】根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项的函数图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．故选：C.06根据函数的零点求参数17．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出的取值范围，结合必要不充分条件的意义判断即得.【解析】函数在上单调递增，由函数在内有零点，得，解得，即命题成立的充要条件是，显然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，所以命题成立的一个必要不充分条件是.故选：D18．（2023高三·全国·专题练习）函数在区间内有零点，则实数k的取值范围是.【答案】【分析】根据题意将问题转化为与，的图象有交点，再由在上递增，可求得结果.【解析】令，则，即，即与，的图象有交点，因为和在上递增，所以在上递增，所以，即，所以，即实数k的取值范围是，故答案为：19．（22-23高三·全国·课后作业）已知函数的零点，，则．【答案】2【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理判断零点的范围，即可得答案.【解析】因为函数为R上单调减函数，故函数为R上单调减函数，又，，故在上有唯一零点，结合题意可知，故答案为：220．（22-23高三·全国·对口高考）方程在区间上有解，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】根据在区间端点的正负列式求解即可.【解析】考查，因为，且开口向上，故在区间上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程在区间上有解，则，即，解得.故答案为：21．（2024·全国·模拟预测）若不等式或只有一个整数解，则称不等式为单元集不等式．已知不等式为单元集不等式，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】不等式转化为，引入函数，，分类讨论作出函数图象，利用数形结合思想求解．【解析】根据题意可转化为满足的整数x的个数为1．令，，当时，作出函数和的图象，如图所示，数形结合得，的解集中整数的个数有无数多个，不符合题意；当时，，所以，解得，只有一个整数解，所以符合题意；当时，作出函数和的图象，如图所示，要使的整数解只有一个，只需满足，即，结合可得．综上所述，实数a的取值范围是．故答案为：．【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.07函数零点的其他应用22．（23-24高三上·山东威海·期末）已知函数的图象是连续不断的，且的两个相邻的零点是，，则“，”是“，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】结合函数的单调性，由充分必要条件的判断方法求解即可.【解析】解：由题意知，，对任意，而函数的图象是连续不断的，由，，可得，，充分性成立，反之，，显然可推出，，必要性成立，故“，”是“，”的充要条件，故选：C23．（2020·江西赣州·模拟预测）设函数在区间上存在零点，则的最小值为（

）A． B． C．7 D．【答案】B【分析】设t为在上的零点，可得，转化为点在直线上，根据的几何意义，可得，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案.【解析】设t为在上的零点，则，所以，即点在直线，又表示点到原点距离的平方，则，即，令，可得，因为，所以，可得在上为单调递增函数，所以当t=0是，，所以，即的最小值为.故选：B【点睛】解题的关键是根据的几何意义，将方程问题转化为求距离问题，再构造新函数，利用导数求解，分析、计算难度大，属难题.24．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知是函数的一个零点，若，，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】利用数形结合判定函数值大小即可.【解析】令．从而有，此方程的解即为函数的零点．在同一坐标系中作出函数与的图象，如图所示．由图象易知，，从而，故，即．同理．故选：D

25．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知三个函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理得出结果.【解析】因为，在R上为增函数，在上为增函数，所以由题知函数，，在各自定义域上都为增函数，又，，∴；，，∴；，，∴，∴.故选：D.26．（20-21高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数（其中a∈R），若的四个零点从小到大依次为，则的值是（

）A．16 B．13 C．12 D．10【答案】C【分析】根据零点的定义，通过转化法、数形结合思想进行求解即可.【解析】令，设，图象如下图所示：所以有，且，因此可得，所以，故选：C08补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用27．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：L）与速度（单位：km/h）（）的下列数据：04060801200.0006.6678.12510.00020.000为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解.【解析】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点.A选项：函数在定义域内单调递减，故A错误；B选项：函数的单位增长率恒定不变，故B错误；C选项：满足上述三点，故C正确；D选项：函数在处无意义，D错误.故选：C28．（23-24高三上·福建泉州·期末）函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（

）-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A．B．C．D．【答案】A【分析】由函数的数据即可得出答案.【解析】由函数的数据可知，函数，偶函数满足此性质，可排除B，D；当时，由函数的数据可知，函数增长越来越快，可排除C.故选：A.29．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：月份23456…元1.402.565.311121.30…请从模型，模型中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300元的月份为（

）（参考数据：，）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】利用给出函数的表格法确定自变量与函数值之间的关系，选择出好的模型之后利用解不等式求出自变量的范围.【解析】根据表格提供的数据，画出散点图，并画出函数及的图象．如图：

观察发现，这些点基本上是落在函数图象上或附近，因此用这一函数模型．当时，，则有.由且，最小值为10.故选：C.30．（2024·北京朝阳·二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力满足公式，其中是空气密度，是该飞行器的迎风面积，是该飞行器相对于空气的速度，是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率.当不变，比原来提高时，下列说法正确的是（

）A．若不变，则比原来提高不超过B．若不变，则比原来提高超过C．为使不变，则比原来降低不超过D．为使不变，则比原来降低超过【答案】C【分析】由题意可得，，结合选项，依次判断即可.【解析】由题意，，所以，，A：当，不变，比原来提高时，则，所以比原来提高超过，故A错误；B：由选项A的分析知，，所以比原来提高不超过，故B错误；C：当，不变，比原来提高时，，所以比原来降低不超过，故C正确；D：由选项C的分析知，比原来降低不超过，故D错误.故选：C31．（2024·全国·模拟预测）2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：，）（

）A．1.587 B．1.442C．0.587 D．0.442（

）【答案】C【分析】利用指数和对数的运算求解即可.【解析】空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，设，当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为，则，两式相比得：，即，故，故圆轨道半径增加的倍数大约是.故选：C.32．（23-24高三下·陕西·阶段练习）某种生物群的数量Q与时间t的关系近似的符合：（其中e为自然对…），给出下列四个结论，根据上述关系，其中错误的结论是（

）A．该生物群的数量不超过10B．该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小C．该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比D．该生物群的数量的增长速度最大的时间【答案】C【分析】对解析式上下同时除以，结合反比例函数模型可判断A正确；对，求导，即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断C错，BD正确【解析】因为，，故该生物种群的数量不会超过10，故A正确；由，求导得，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，故C错误；因为为对勾函数模型，故，当且仅当，即时取到等号，当时生物群的数量的增长速度随时间的增加而增加，当时生物群的数量的增长速度随时间的增加减小，即该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；且当时，最大，故BD正确.故选：C.33．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发生里氏6.2级地震，震源深度10公里．面对突发灾情，社会各界和爱心人士发扬“一方有难、八方支援”的中华民族团结互助、无私奉献的大爱精神，帮助灾区群众渡过难关．震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级．能量E与里氏震级M的对应关系为，试估计里氏震级每上升两级，能量是原来的（

）A．100倍 B．512倍 C．1000倍 D．1012倍【答案】C【分析】借助能量E与里氏震级M的对应关系计算即可得.【解析】由，设，则，即，.故选：C.34．（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（

）A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍【答案】B【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.【解析】设火星的公转周期为，长半轴长为，火星的公转周期为，长半轴长为，则，，且得：，所以，，即：.故选：B．35．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）“开车不喝酒，喝酒不开车．”，饮酒驾驶和醉酒驾驶都是根据驾驶人员血液、呼气酒精含量来确定，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值随着时间x（小时）的变化规律，可以用函数模型来拟合，则该人喝一瓶啤酒至少经过多少小时后才可以驾车？（

）（参考数据：，）驾驶行为类别酒精含量值（mg/100mL）饮酒驾驶醉酒驾驶A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】可结合分段函数建立不等式，利用指数不等式的求解即可.【解析】对于由，则，函数先增后减，当时，，所以，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其血液酒精含量可能大于20，则驾车只能在2个小时之后，令，即，解得，，的最小值为6，故至少经过6小时才可以驾车.故选：B.36．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方的初始兵力，为战斗时间；，分别为红、蓝两方时刻的兵力；正实数，分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定：当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为．则下列结论不正确的是（

）A．若且，则B．若且，则C．若，则红方获得战斗演习胜利D．若，则红方获得战斗演习胜利【答案】C【分析】对于A根据已知条件利用作差法比较大小即可得出，对于B，利用A中结论可得蓝方兵力先为0，即解得；对于C和D，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间、，比较大小即可.【解析】对于A，若且，则，即，所以，由可得，即A正确；对于B，当时根据A中的结论可知，所以蓝方兵力先为，即，化简可得，即，两边同时取对数可得，即，所以战斗持续时长为，所以B正确；对于C，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，设红方兵力为时所用时间为，蓝方兵力为时所用时间为，即，可得同理可得，即，解得，又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利；所以可得C错误，D正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题给的信息比较多，关键是理解题意，然后利用相应的知识（作差法、指数函数的性质）进行判断.一、单选题1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（

）A．2 B． C．-2 D．2或-1【答案】A【分析】由题意令可得关于的方程，进而求解.【解析】由题意令，因为，所以，即.故选：A.2．（2023·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据零点的定义即可求解.【解析】令，得，则．故选：A3．（2024·湖南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.【解析】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；由图可知，当时，，而对于D选项，当时，，故排除D.故选：A.4．（2024·山西长治·一模）研究人员用Gompertz数学模型表示治疗时长（月）与肿瘤细胞含量的关系，其函数解析式为，其中为参数．经过测算，发现（为自然对数的底数）．记表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定信息，列出方程并求解即得.【解析】依题意，，而，则，即，又，解得，所以.故选：D5．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数与方程的思想将函数有两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，求导并画出函数的图象求得切线方程，再由数形结合即可求得的取值范围.【解析】由可得，则函数与函数的图象有两个交点；设，则，令，解得；令，解得；所以在上单调递增，在上单调递减；令，解得，可求得的图象在处的切线方程为；令，解得，可求得的图象在处的切线方程为；函数与函数的图象如图所示：切线与在轴上的截距分别为,当时，与函数的图象有一个交点，故实数的取值范围为.故选：A6．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设，函数的零点分别为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意分别为函数与函数图象交点的横坐标，作出函数的图象，结合函数图象即可得解.【解析】分别令，则，则分别为函数与函数图象交点的横坐标，分别作出函数的图象，如图所示，

由图可知，.故选：A.7．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，利用导数求过原点的切线，结合图象分析求解.【解析】作出的图象，如图所示令，可得，由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，若，则，可得，设切点坐标为，切线斜率为，则切线方程为，代入点，可得，解得，此时切线斜率为；若，则，可得，设切点坐标为，切线斜率为，则切线方程为，代入点，可得，解得，此时切线斜率为；结合图象可知的取值范围为.故选：D.【点睛】易错点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．8．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点，则的值可以是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】令，，根据对称性，问题可以转化为与的图象在内有个不同的交点，画出函数图象，数形结合即可判断.【解析】令，，因为与的图象关于轴对称，因为函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点，所以问题转化为与的图象在内有个不同的交点，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示：因为，当时，，结合图象及选项可得的值可以是，其他值均不符合要求,.故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为与的图象在内有个不同的交点.二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为，继续排气4分钟后又测得浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度（单位：）与排气时间（单位：分钟）之间满足函数关系（为常数，是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（

）A．B．C．排气12分钟后浓度为D．排气32分钟后，人可以安全进入车库【答案】ACD【分析】由题意列式，求出，即可判断A，B；可得函数解析式，将代入，即可判断C；结合解析式列出不等关系，求出人可以安全进入车库的排气时间，判断D.【解析】设，代入，得,解得，A正确，B错误．此时，所以，C正确．当时，即，得，所以，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确．故选:ACD．10．（2024·黑龙江·二模）定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于直线对称B．的图象在处的切线方程为C．D．的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10【答案】ACD【分析】对于A，根据奇偶性和对称性可得图象关于对称；对于B，根据周期性和对称性可求函数在给定范围范围上的解析式，故可求切线方程；对于C，根据周期性可求目标代数式的值；对于D，数形结合后可求交点的横坐标的和.【解析】对于A，因为为偶函数，故，故，所以，故的图象关于直线对称，故A正确.对于B，由A中分析可得是周期函数且周期为，故当时，，故，故当时，，故，故切线方程为：，故B错误.对于C，由是周期函数且周期为可得：，故C正确.对于D，因为，故的图象关于对称，而，且时，此时在上为增函数，故图象如图所示：由图可得的图象与的图象共有10个交点，所有交点的横坐标之和为10.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：分段函数的性质讨论，一般需利用变换的思想探究该函数的周期性、对称性，如果已知确定范围上的解析式，那么可利用周期性和对称性求出其他范围上的解析式；对于不同函数的交点情况的讨论，可结合它们的图象来分析.11．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数，，则（

）A．若有2个不同的零点，则B．当时，有5个不同的零点C．若有4个不同的零点，则的取值范围是D．若有4个不同的零点，则的取值范围是【答案】BCD【分析】作出的图象，由有2个不同的零点，结合图象，可判定A错误；由，令，得到，求得，结合图象，可判定B正确；由对数的运算性质，求得，结合二次函数的对称性得到，进而判定C正确；由，结合对勾函数的性质，可判定D正确．【解析】由函数，可得，作出的图象，如图所示．对于A中，由，可得，若有2个不同的零点，结合图象知或，所以A错误；对于B中，当时，由，可得，令，则有，可得，结合图像知，有3个不等实根，有2个不等实根，没有实根，所以有5个不同的零点，所以B正确；对于C中，若有4个不同的零点，则，且，则，由二次函数的对称性得，则，结合B知，所以，所以的取值范围为，所以C正确；对于D中，由，其中，由对勾函数的性质，可得在上为单调递减函数，可得，所以的取值范围为，所以D正确．故选：BCD．【点睛】方法点睛：求解复合函数的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略：1、先换元解“套”，令，则，再作出和的图象；2、由函数的图象观察有几个的值满足条件，结合的值观察的图象，求出每一个被对应，将的个数汇总后，即为的根的个数，即“从外到内”.3、由零点的个数结合与的图象特点，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围，即“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）.三、填空题12．（2023·辽宁葫