2025年高考一轮复习 专题20 空间向量与立体几何（八大题型+模拟精练）（原卷版）

专题20空间向量与立体几何（八大题型+模拟精练）目录：01空间向量的线性运算02空间向量的数量积03空间向量的基本定理04空间向量的坐标表示05利用空间向量判断位置关系06利用空间向量求角度07利用空间向量求距离08空间向量与立体几何解答题01空间向量的线性运算1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（）A． B． C． D．2．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（

）A． B．1 C． D．3．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（

）A．若是空间任意四点，则有B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面4．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（

）A． B． C． D．102空间向量的数量积5．（23-24高二下·湖北·期末）空间向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·福建龙岩·期中）如图，在斜三棱柱中，，，，则（

）A．48 B．32 C． D．7．（23-24高二下·福建漳州·期末）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2024·河南新乡·二模）已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．03空间向量的基本定理9．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（

）A． B． C． D．10．（22-23高二上·江西南昌·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．211．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）以等腰直角三角形斜边上高为折痕，把和折成的二面角.若，，则最小值为（

）A． B． C． D．04空间向量的坐标表示12．（2023·河南·模拟预测）已知空间向量，若共面，则实数（

）A．1 B．2 C．3 D．413．（23-24高二下·福建莆田·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（

）A．2 B．4 C． D．14．（23-24高二下·福建·期中）在棱长为2的正方体中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足的点P的个数为（

）A．8 B．12 C．18 D．2405利用空间向量判断位置关系15．（23-24高二下·甘肃·期中）已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（

）A．l与斜交 B． C． D．16．（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）空间四边形中分别为的点（不含端点）.四边形为平面四边形且其法向量为.下列论述错误项为（

）A．，则//平面B．，则平面C．，则四边形为矩形.D．，则四边形为矩形.17．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（

）A． B． C． D．18．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，现有如下说法①不存在点，使得平面②存在点，使得平面③当点不是的中点时，都有平面④当点不是的中点时，都有平面其中正确的说法有（

）A．①③ B．③④ C．②③ D．①④06利用空间向量求角度19．（23-24高二下·福建厦门·期末）在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．20．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体中，已知，，则下列选项中错误的一项是（

）A．直线与BD所成的角为90°B．线段的长度为C．直线与所成的角为90°D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为21．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（

）A． B． C． D．07利用空间向量求距离22．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）平行六面体中，，点为的中点，则点到直线的距离为．23．（23-24高二下·安徽·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为正方形和正方形的中心，则点到平面的距离为.24．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为．25．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在直三棱柱中，，，，点为的中点，则与平面的位置是．26．（19-20高二·全国·课后作业）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为.08空间向量与立体几何解答题27．（24-25高三上·湖南·开学考试）如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，.(1)证明：平面平面；(2)求锐二面角的余弦值.28．（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.

(1)证明：；(2)当为线段的中点时，求点到面的距离.29．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，，点为棱上的动点．(1)证明：平面；(2)当二面角的大小为时，求线段的长度．30．（2024·吉林·模拟预测）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.(1)求证：；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到直线距离的最大值.一、单选题1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（

）A． B．0 C．3 D．3．（2024·山西·三模）正方体的棱长为2，分别为的中点，为底面的中心，则三棱锥的体积是（

）A． B． C． D．4．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（

）A． B． C． D．5．（2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．（2024·河南·三模）在四面体中，是边长为2的等边三角形，是内一点，四面体的体积为，则对，的最小值是（

）A． B． C． D．68．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·河北承德·二模）如图，在正四棱柱中，是棱的中点，为线段上的点（异于端点），且，则下列说法正确的是（

）

A．是平面的一个法向量B．C．点到平面的距离为D．二面角的正弦值为10．（2024·山东滨州·二模）图，在边长为4的正方形中，为的中点，为的中点．若分别沿，把这个正方形折成一个四面体，使、两点重合，重合后的点记为，则在四面体中，下列结论正确的是（

）

A．B．到直线的距离为C．三棱锥外接球的半径为D．直线与所成角的余弦值为11．（2024·江西宜春·三模）如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（

）

A．存在满足条件的点M，使B．当点Q在线段上移动时，必存在点M，使C．三棱锥的体积存在最大值和最小值D．直线与平面所成角的余弦值的取值范围是三、填空题12．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为.13．（2024·河南·一模）三棱锥中，，，，，点M，N分别在线段，上运动.若二面角的大小为，则的最小值为.14．（2024·山东青岛·一模）已知球O的表面积为，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O为的外心，棱AB与球面交于点P．若平面，平面，平面，平面，且与之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与交于点Q，R，则的周长为.四、解答题15．（2024·广东·模拟预测）如图，在直四棱柱中，.

(1)证明：平面；(2)求与平面所成的角的正弦值.16．（2024·青海·模拟预测）如图，在斜三棱柱中，，M为AC的中点，．(1)证明：．(2)若，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.17．（2024·山东烟台·三模）如图，在直三棱柱中，，M，N分别为，中点，且．(1)证明：；(2)若D为棱上的动点，当与平面所成角最大时，求二面角的余弦值.18．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥，且.(1)求翻折后线段的长；(2)点满足，求与平面所成角的正弦值.19．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，，，为的中点，点为线段上一动点，且，，.(1)若点为线段的中点，证明：平面；(2)若平面平面，且，在线段上是否存在