期末复习之与轴对称图形有关的热考几何模型（原卷版）

与轴对称图形有关的热考几何模型（考题猜想，热考+压轴必刷40题10种题型）折叠模型双垂直平分线导角见等腰，构造三线合一平行平分出等腰等腰三角形双腰上的高求定值等边三角形类弦图模型手拉手模型将军饮马问题三动点问题逆等线问题一．折叠模型（共4小题）1．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，∠AOB=α，点M是射线OA上的一个定点，点N是射线OB上的一个动点，连结MN，把∠AOB沿MN折叠，点O落在∠AOB所在平面内的点(1)如图1，点C在∠AOB的内部，若∠CMA=20°，∠CNB=60°，则α=___°．(2)如图2，若α=45°，ON=2，折叠后点C在直线OB上方，CM与OB交于点E，且MN=ME，求∠OMN的度数及折痕MN(3)如图3，若折叠后，直线MC⊥OB，垂足为点E，且OM=5，ME=3，直接写出此时ON的长．2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）八上数学课本69页，数学活动《折纸与证明》中告诉我们：折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法，请用所学知识解决下列问题．（1）如图1，一个三角形的纸片中，MC>MB，证明：∠MBC>∠MCB．小龙同学通过折叠纸片，将MB折叠到MC上，点B与点D重合，展开后得到折痕ME，如图2，折痕ME交BC于点E，连接DE．帮助小龙同学写出证明过程．（2）如图3，在平面直角坐标系中，点B-107,237，点C2,5①求点E坐标；②直线l过点C，交y轴于点M，且∠ECM=45°，直线l沿y轴翻折恰好经过点B，只用圆规在直线BM上求作点G，使EG与直线BM所夹的锐角等于∠ECM．（不写作法，保留作图痕迹）③直接写出（2）中点G的坐标．3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC:BC:AB=3:4:5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S1

(1)若AC=3，求S1(2)若AE=2，求S24．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．点E为AD上的动点，点M为AB上的动点，连接ME，将△AME沿ME翻折．(1)图1沿ME折叠，点A与点C重合，连接MD，若MD=CD，①求证CM⊥AB；②∠B的度数为_________度；(2)如图2，若点M和点B重合，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△PBE，且BE=BC，设PB与AC相交于点F．求∠BFC度数．二．双垂直平分线导角（共3小题）5．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．(1)若AB=3cm，求△CMN(2)若∠MFN=80°，求∠MCN的度数．6．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=110°，则7．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB,AC的垂直平分线交于点P，两垂直平分线交△ABC的边于点G，D，E，H，连接AD,AE,AP．

(1)求∠DAE的度数；(2)求证：AP平分∠DAE．三．见等腰，构造三线合一（共3小题）8．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC的外部，∠ABD=∠C,∠D=90°．求证BC=2BD．9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC,AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．(1)求证：BE=AC；(2)若∠B=35°，求∠BAC的度数．10．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．(1)求证：DE=DF；(2)若∠BDE=55°，求∠BAC的度数．11．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE=DF．(1)求证：△ABC是等边三角形．(2)延长ED交BC的延长线于点G，求证：BE=FG．四．平行平分出等腰（共2小题）12．如图，在△ABC中∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．若过点O作直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F，则线段EF和EB，FC之间有怎样的数量关系并证明？13．（23-24八年级上·山东济南·期末）用尺规作平行线的方法：已知：直线AB及直线AB外一点P．求作：经过点P的直线CD，使得CD∥AB．尺规作图步骤：如图，①过点P作直线AB的相交线，与直线AB交于点H；②以点H为圆心，任意长为半径画弧，交直线HP于点E，交直线AB于点F；③以点P为圆心，以线段HF长为半径画弧，交射线HP于点M；④以点M为圆心，线段长为EF半径画弧交前弧于点N；④过点P，N作直线CD．(1)在上述作图步骤中通过______（填写合适的选项）可判定△PMN≌△HEF，从而可得到∠MPN=∠EHF．A．“SSS”B．“SAS”C．“ASA”D．“AAS”(2)在上述作图步骤中用到的判定CD∥AB的依据是________________．(3)如图3，在△ABC中，AB=AC，小明通过刚才的方法，作出了∠EAD=∠B，可以得到AD是△ABC底边BC的平行线，那么AD是△ABC外角∠EAC的平分线吗？请说明理由．五．等腰三角形双腰上的高求定值（共小题）14．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在△ABC中，AB=AC，且∠B=60°，过A作AP⊥BC于点P，点M是直线BC上一动点，设点M到△ABC两边AB、AC的距离分别为m，n，△ABC的高为

(1)当点M运动到什么位置时，m=n，并说明理由．(2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论．(3)如图（3），当点M运动到BC的延长线上时，求证：m15．（23-24七年级下·全国·期末）在△ABC中，AB=AC=a，AB边上的高CD=h，点P是直线BC上任意一点，过P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，且(1)如图①，若点P在边BC上时，h，(2)如图②，③，若点P在BC或CB的延长线上时，h，(3)若点P是直线BC上的点，h1=5，16．（21-22八年级上·山东临沂·期中）阅读下列材料：阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中AB=AC，BD是△ABC的高，P是BC边上一点，PM、PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M、求证：BD=PM+PN．阳阳发现，连接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP他又画出了当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时BD、PM、PN之间的数量关系是：BD=PN-PM．请回答：(1)请补全阳阳同学证明猜想的过程：证明：连接AP，∵S△ABC=∴12AC⋅BD=12∵AB=AC，∴BD=PN-PM．(2)参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM、PN、PQ分别与直线AB、AC、BC垂直，垂足分别为点M、①如图3，若点P在△ABC的内部，猜想BD、PM、PN、PQ之间的数量关系并写出推理过程．②若点P在如图4所示的位置，利用图4探究得此时BD、PM、PN、PQ之间的数量关系并写出推理过程．17．（21-22八年级上·河南南阳·期末）阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ARP+S(1)类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h(2)理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？若存在，求出这个距离r的值；若不存在，请说明理由．18．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC,P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=(1)深入探究将“在△ABC中，AB=AC,P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC,PM-⊥BC,BG⊥AC，垂足分别为E、F(2)理解与应用当点P在△ABC外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、六．等边三角形类弦图模型（共3小题）19．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）【课本巩固】如图①，在等边△ABC中，D为边AB上一点，E为BC上一点，且AD=BE，连接AE与CD相交于点F．（1）AE与CD的数量关系为______，AE与CD构成的锐角夹角∠CFE的度数是______；【探究发现】（2）在（1）的基础上，延长AE至点G，使FG=FC，连接BG，CG，如图②所示，求证：GA平分∠BGC．【拓展延伸】（3）如图③，在等边△ABC中，D为边AB上一点，E为BC上一点，且AD=BE，CF=3AF，CE=3BE，求AFEF20．（23-24八年级上·广东汕头·期末）在等边△ABC的顶点A，C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D，E处，请问：

(1)如图1，爬行过程中，CD和BE的数量关系是________；(2)如图2，当蜗牛们分别爬行到线段AB，CA的延长线上的D，E处时，若EB的延长线与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小将会保持不变，请你证明：∠CQE=60°；(3)如图3，如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着线段BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，求证：DF=EF．21．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．

【材料理解】（1）如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有△ABD≌；线段BD和CE的数量关系是．【深入研究】（2）如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；【深化模型】（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求证：AD+CD=BD七．手拉手模型（共6小题）22．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图1，已知△ABC，△CDE均为等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接AE，(1)判断线段AE，BD的数量关系，并说明理由．(2)求线段AE与线段BD的夹角∠AFB的度数．(3)如图2，若点B，C，E不在同一条直线上，则（1）（2）中的结论_____________（填“成立”或“不成立”）．23．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）【问题情境】如图1，△ABD与△AEC都是等边三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN，MN．

【猜想证明】请证明：（1）求证：BE=CD；（2）求证：△AMN是等边三角形．【类比探究】如图2，△ABD与△AEC都是等腰直角三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN.请探究：（3）若点N恰好也是AE的中点，且AE=2，求△ABE的面积．24．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知△ABC是等边三角形．(1)如图1，点D、E分别为AB，AC边上的点，CE=AD，连接BE，CD相交于点F．求∠BFD的度数；(2)如图2，AE∥BC，点D在AB边上，点F在射线AE上，AC与DF相交于点Q，且①求证：DC=DF；②作FH⊥AC于点H，当点D在AB边上移动时，请同学们探究线段AD，AC，CH之间的数量关系，并对结论加以证明．25．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．

(1)如图①，在△ABC与△ADE中，AB=AC，当∠BAC、∠BAD、∠BAE、满足条件____时，△ABC与△ADE互为(2)如图②，在△ABC与△ADE互为“兄弟三角形”，AB=AC，BE、CD相交于点M，连AM，求证：MA(3)如图③，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AD=AB，AC=BC+DC，求∠BAD的度数．26．（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，已知△ABC中，AB≠AC≠BC．分别以AB、AC为腰在AB左侧、AC右侧作等腰三角形ABD．等腰三角形ACE，连接CD、BE．

(1)如图1，当∠BAD=∠CAE=60°时，①△ABD、△ACE的形状是____________；②求证：BE=DC．(2)若∠BAD=∠CAE≠60°，①如图2，当AB=AD，AC=AE时，②如图3，当AB=DB，AC=EC时，八．将军饮马问题（共6小题）27．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】【问题背景】如图1，A，B表示两个村庄，要在A，B一侧的河岸边建造一个抽水站P，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站P应该修建在什么位置？【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：如图2，A，B是直线l同侧的两个点，点P在直线l上．P在何处时，PA+PB的值最小．画图：如图3，作B关于直线l的对称点B'，连结AB'与直线l交于点P证明：∵B和B'关于直线l∴直线l垂直平分B∴PB=________，∴PA+PB=PA+P根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得PA+PB'最小值为________（填线段名称），此时P点是线段AB【问题拓展】如图4，村庄B的某物流公司在河的对岸有一个仓库C（河流两侧河岸平行，即GD∥EF），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥MN（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥MN修建在何处才能使得B到C的路线最短？请你画出此时桥MN的位置（保留画图痕迹，否则不给分）．【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形AEDC为花海景区，∠CDE=∠E=90°，AE=80米，DE=50米，长方形CFGH为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线AM-MN-BN），A为起点，终点B在ED上，BD=30米，MN为湖边观景台，长度固定不变(MN=40米），且需要修建在湖边所在直线CF上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度．28．（23-24七年级下·河南焦作·期末）唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题．(1)如图2，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C理由：如图3，在直线l上另取不同于点C的任一点C'，连接因为点B、B'关于直线l对称，点C、C'在直线所以CB=，C'B=所以AC+CB=AC+CB'在△AC'B可得A所以AC+CB<A即AC+CB最小．(2)迁移应用：如图4，△ABC是等边三角形，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，AD=6，M是AD上的一个动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是．29．（22-23八年级上·吉林长春·期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：△ABC(1)如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，(2)如图③，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E、P分别是30．（22-23八年级上·陕西渭南·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，△ABC的面积为12，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，求△BDM周长的最小值．31．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在∠MON内．

(1)如图①，点P关于射线OM、ON的对称点分别是G、H，连接①若∠MON=30°，则△OGH是什么特殊三角形？为什么？②若∠MON=90°，试判断GH与OP的数量关系，并说明理由；(2)如图②，若∠MON=30°，A、B分别是射线OM、ON上的点，AB⊥ON于点B，点P、Q分别为OA、AB上的两个定点，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一动点32．（21-22八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上A、B两站相距8km，C、D为两个村庄，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AC=2km，BD=4km，现在要在铁路AB上修建一个中转站P，使得P到C、D两村的距离和最短．请在图中画出P九．三动点问题（共3小题）33．（21-22八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，锐角△ABC中，∠A=30°，BC=72，△ABC的面积是6，D，E，F分别是三边上的动点，则△DEF34．（21-22七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AD上，连接BE，CE，CF，延长CF交BE于点G．(1)若AE：ED＝2：3，S△ABC＝20，则S△ABE＝；(2)若GE＝GF，∠BAE+∠ECF＝∠GEF．求证：AE＝EF；(3)如图2，在（2）条件下，点P、M、N分别是△GEF三边上的动点，且∠BAF＝60°，∠GBC+∠GCB＝2∠ABE，当△PMN的周长最小时，直接写出FPAP35．动手操作：请按要求作图．（规范作图，保留作图痕迹即可，不要求尺规作图）（1）如图（1），P是∠ABC内一定点，F为射线BC边上一定点，请在射线BA上找一点E，使得PE+EF最小．（2）如图（2），P是∠ABC内一定点，点E、F分别为射线BA、BC边上两个动点，请作出使得PE+EF最小的E点和F点．（3）如图（3），P是∠ABC内一定点，点E、F分别为射线BA、BC边上两个动点，请作出使得PE+PF+EF最小的E点和F点．拓展应用：（4）如图（4），△ABC为锐角三角形，∠ABC=30°，AC=6，△