中考数学一轮考点复习精讲精练专题14 直角三角形、等腰三角形、等边三角形【考点精讲】（原卷版）

专题14直角三角形、等腰三角形、等边三角形等腰三角形（1）定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）性质:①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形的两底角相等,即“等边对等角”;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”;④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴,对称轴是底边的.

（3）判定:①有两条边相等的三角形是等腰三角形;②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.等边三角形（1）定义:三边相等的三角形是等边三角形.（2）性质:①等边三角形的三边相等，三角相等,且都等于60°;②“三线合一”;③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.

（3）判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等的三角形是等边三角形;③有一个角是的等腰三角形是等边三角形.

直角三角形（1）性质:①直角三角形的两锐角互余;②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的;③直角三角形中,斜边上的长等于斜边长的一半.（2）判定:有一个角是的三角形是直角三角形.

（3）勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方;②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形.考点1：等腰三角形的性质与判定【例1】（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【例2】（2022·浙江台州·中考真题）如图，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在射线SKIPIF1<0上（不与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．下列命题中，假命题是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【例3】（2021·江苏扬州市）如图，在SKIPIF1<0的正方形网格中有两个格点A、B，连接SKIPIF1<0，在网格中再找一个格点C，使得SKIPIF1<0是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．51．（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．32．（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是．3．如图，点P是射线ON上一动点，∠AON＝30°，当△AOP为等腰三角形时，∠A的度数一定不可能是（）A．120° B．75° C．60° D．30°4．（2022·云南·中考真题）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____．5．（2022·山东滨州·中考真题）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中SKIPIF1<0，立柱SKIPIF1<0，且顶角SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小为_______．6．如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有个．7．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．考点2：等边三角形的性质与判定【例4】如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【例5】（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．（1）等边三角形与全等三角形的结合运用;（2）等边三角形与含30°角的直角三角形的结合运用.1．如图，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0是中线，延长SKIPIF1<0至E，使SKIPIF1<0，则下列结论错误的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点在同一直线上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是等边三角形，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：下列结论中正确的是（）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④3．下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是SKIPIF1<0的三角形 B．有一个角是SKIPIF1<0的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形 D．有两个角相等的等腰三角形4．（2021·广东）如图，在四边形ABCD中，SKIPIF1<0，点E是AC的中点，且SKIPIF1<0（1）尺规作图：作SKIPIF1<0的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0为等边三角形．5．（2021·江苏连云港市）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，E是边SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，小亮以SKIPIF1<0为边作等边三角形SKIPIF1<0，如图1，求SKIPIF1<0的长；（2）SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，E是边SKIPIF1<0上的一个动点，小亮以SKIPIF1<0为边作等边三角形SKIPIF1<0，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，M是高SKIPIF1<0上的一个动点，小亮以SKIPIF1<0为边作等边三角形SKIPIF1<0，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形SKIPIF1<0的边长为3，E是边SKIPIF1<0上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形SKIPIF1<0，其中点F、G都在直线SKIPIF1<0上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．考点3：直角三角形的性质【例6】（2022·广西贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例7】（2022·湖南永州）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．41．（2022·广西）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如己知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为SKIPIF1<0，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<02．如图，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点P是SKIPIF1<0内一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直角边，点C为直角顶点，作等腰SKIPIF1<0，下列结论：①点A与点D的距离为SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0，其中正确结论有是（）A．①②③ B．②④ C．①② D．②③④3．（2021·河南商丘市·八年级期末）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点F，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0之间的数量关系是_____________．4．（2020·南通市通州区平潮初级中学初二期中）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=．5．（2022·贵州遵义）如图，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0的值最小时，SKIPIF1<0的长为__________．考点4：勾股定理及其逆定理【例8】（2022·湖北武汉·中考真题）如图，沿SKIPIF1<0方向架桥修路，为加快施工进度，在直线SKIPIF1<0上湖的另一边的SKIPIF1<0处同时施工．取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的距离是_________SKIPIF1<0．【例9】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）．A．100 B．200 C．300 D．400（1）已知直角三角形的两边长，求第三边长.（2）已知直角三角形的一边长，求另两边长的关系.（3）用于证明平方关系的问题.1．（2022·贵州遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2