人教版八年级数学下册教案

人教版八年级数学下册教案打印版

第十六章二次根式

16.1二次根式

第1课时二次根式的概念

教师备课素材示例

一、新课导入建议与示例

•归纳导入如图是天安门广场前的大型音乐喷泉的图片，非常美丽壮观.仔细观察图

片可以发现：水域部分是正方形，外围是圆.

(1)若该正方形的面积为30则该正方形的边长是_A/30m：

(2)若该正方形的面积为Sm2,则该正方形的边长是_让@_；

(3)若该圆的面积为Sm2,则用含S的式子表示圆的半径是一

观察式子，而，邪,1有什么共同特点？

【归纳】这些式子都含有“厂”(根号)，都表示正数的算术平方根.

【教学与建议】教学：从学生熟悉的情景入手，引导学生理解所给的式子的实际意义，

归纳出二次根式的概念.建议：让学生相互讨论，培养学生合作交流的学习习惯.

•复习导入

1.填空：

(1)9的平方根是±3；0的平方根是。；一4没有平方根:

(2)6的平方根是上也;6的算术平方根是_通_.

2.想一想：

用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：

(1)面积为5的正方形的边长为_足；

(2)一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为150m2,则它的宽为回_m；

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间，(单位：s)与开始落下时离地面的

高度h(单位：m)满足关系h=5".如果用含有h的式子表示上那么上为

学生思考后回答，教师补充得出答案.

【教学与建议】教学：以回顾旧知的形式引导学生，巩固所学知识，并导入新课.建议：

及时回顾算术平方根的概念，再由算术平方根迁移到二次根式.

二、命题热点分析与示例!

◎命题角度1识别二次根式

判定一个式子为二次根式，需满足两个条件：第一，形式上为“正”的形式；第二，被

开方数必须是非负数.

【例1】下列式子不是二次根式的是(而

A.yf5B.73一1C.«0.5D.

3

【例2】在式子/，3,\3+2,1,?y>0),-^—3A(KO),,一f和才一1

中，是二次根式的有(⑤

43个6.4个C.5个〃6个

◎命题角度2确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围

根据二次根式、瓜有意义的条件要从两个方面来思考，一是求字母所在的式子有意义时字

母必须满足的条件,二是求字母所在的实际问题有意义时字母必须满足的条件.

【例3】式子山一2023有意义时,x应满足的条件为(而

A.导2023B.X22023C.x<2023D.xW2023

【例4】要使二次根式/京有意义，则x的最大值是

◎命题角度3利用二次根式有意义的条件求值

若两个二次根式的被开方数互为相反数，则只有它们同时为0时，这两个式子才能都有

意义.__________

【例5】若叵=T+*VT'+1在实数范围内有意义，则X满足的条件是(。

A.B.xW：C.D.xW：

【例6】若尸立三产L,则(叶)=_匕

•LU<7

◎命题角度4二次根式非负性的应用

二次根式、「具有双重非负性：①被开方数a20;②它的值此外，常见的非负数

还有|a|,3(或a的偶次幕).________

【例7】若|1001一川+山一1002=a,则日-10012=1002.

【例8】若挤6满足实数1-6々+2426—4=一9,则，7的值为_3_.

高效课堂教学设计

一、教学目标►

1.理解二次根式的概念，弄清被开方数是非负数这一要求.

2.理解二次根式的非负性，会求使二次根式有意义的条件.

3.能初步运用二次根式的概念和基本性质解决简单实际问题.

二、教学重难点!

▲重点

二次根式的概念.

▲难点

利用“F(a20)”解决具体问题.

三、教学设计，

♦活动1新课导入

1.回顾平方根和算术平方根的概念.

2.若步=9,则*=±3:若4=3,则三土33.

3.若正方形的面积为S,则正方形的边长为__4.

♦活动2探究新知

1.教材P2第1个思考.

提出问题：

(1)你能完成思考中的填空吗？

(2)所填的式子分别表示什么意义？

(3)这些式子有什么特点？

(4)什么叫二次根式？，成立的条件是什么？

学生完成并交流展示.

2.教材P2第2个思考.

提出问题：

(1)/20成立吗？为什么？

(2)式子一定成立吗？

(3)举例说明是否一定成立？

(4)若有意义，则》的取值范围是什么？

学生完成并交流展示.

♦活动3知识归纳

1.一般地，我们把形如Q20)的式子叫做二次根式,“、厂”称为二次根号.

2.既是一个二次根式，又表示非负数a的算术平方根，所以而具有“双

重非负性”，即：a亨Q,>0..

3.判断一个式子是否为二次根式，应该从两个方面进行考虑：①是否带有“厂”；②

被开方数是否为非负数.

♦活动4例题与练习

例1教材P2例1.

例2下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？______

(1)A/TT；(2).—5；(3)，3—x(x:3)；(4)：—x(x>0)；⑸，(a—1)；

ft?：(1)(3)(5)是二次根式，［2)(4)不是二次根式.

例3求使下列式子有意义的才的取值范围.

⑴g7⑵x—2'⑶一

解：(1)由题意，得4—3才>0,解得••当水|时，，-有意义;

3344-3万

3一X20，、/3—x

(2)由题意，得°口八解得xW3且xW2.・•・当尽3且杼2时，幺方有意义；

lx-2K0,x—2

(3)由题意，得《一八解得5且万云0.,,•当才2—5且xWO时，"-----有意

［不卢0,x

例4先观察下列等式，再回答问题.

(1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子；

(2)你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律.

解：⑴\^=5/'、用(2)也鼻=、门.

练习

1.教材P3练习第1,2题.

2.下列式子：(D^4；(3>\j3—n；⑥\/加。+3/6,其

中是二次根式的有(B)

41个8.3个C.4个〃5个

3.要使式子［2>—4+七有意义,则一应该满足/22且汗3一.

Xo

4.△4比的三边长为a,b,c,其中a和。满足一―46+4+，右=0，求。的取值范

围.

解：依题意，得(b—2)2+da-5=0,:.b=2,a=5.

又・・•&b,c为三角形的三边长，・・・3<c<7.

♦活动5完成附赠手册

♦活动6课堂小结

1.二次根式的概念.

2.二次根式的非负性及运用.

四、作业布置与教学反思

1.作业布置

⑴教材P5习题16.1第1,3,5,7题;

(2)学生用书对应课时练习.

2.教学反思

第2课时二次根式的性质

教师备课素材示例

一、新课导入建议与示例!

•情景导入如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为9,则它的边长为二,若

面积为&则它的边长为正方形的边长是正，则面积为生.你发现了什么？

【教学与建议】教学：从正方形的边长引出W的例子，让学生初步理解《的实际意义.建

议：让学生谈谈对于，和(—)2的理解.

♦置疑导入你能指出下列运算过程中的错误吗？

(1)2=(-1)2,可以写为笛-5)2=(5弋)2,

两边开平方，得、I吟-5)2=、1(5—曙2,

…26261

所以三-一5=5_7_，即£=一£•

0000

学了本节课我们就知道以上运算为什么错了.

【教学与建议】教学：设计纠错问题激发学生学习的主动性与积极性.建议：鼓励学生

积极地投入到观察、分析、计算、讨论中.

二、命题热点分析与示例I

◎命题角度1利用二次根式的性质(、「)2=a(a20)解题

将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，因此有(、1)2=川420).

【例1】计算(镜产的结果是㈤

4mB.2C.372D.4

【例2】(<3)2+1的结果是［.

◎命题角度2逆用二次根式的性质(口)2=4匕20)解题

(、-)2=a(a20)又可以写成：a=(、6)2Q2o)

【例3】在实数范围内分解因式：

(1)3；(2)X—16；(3)4/Z+4/?.

解：⑴原式=(*+，5)(X一、&；

(2)原式=(V+4)(x+2)(x—2)：

(3)原式=〃(〃+/)2(〃一位)2.

【例4】化简求值：一2,其中a=3.

aa5

◎命题角度3利用二次根式的性质夜=|印解题

在利用函=闾进行化简时，弄清被开方数的底数是正还是负.

【例5】已知二次根式J?的值为3,那么x的值是(功

A.3B.9C.-3D.3或一3

【例6】计算*万的结果是2.

【例7】若夜=3,5=2,且助V0,则a—6=-1.

高效课堂教学设计

一、教学目标»

1.理解、6(a20)是一个非负数和(、6)2=a(a2o),并利用它们进行计算和化简.

2.理解QC=a(a20)和技=-a(aWO),并利用它们进行计算和化简.

3.用&=(、「)2(820)解决具体问题.

二、教学重难点

▲重点

(力)2=a(a20)及校=|H的运用.

▲难点

y[2=|&]的运用.

三、教学设计

♦活动1新课导入

1.回顾二次根式的概念.

2.当x是怎样的实数时,F列各式在实数范围内有意义？

(iRl—x；(2)y/2x—3；⑶.+/(4)-^1—/.

3.填空：(啊=9,布=3.

♦活动2探究新知

1.教材P3探究.

提出问题：

(D你能完成探究中的计算吗？

(2)通过计算，你能猜出(//(a)。)的结果吗？说说你的理由.

学生完成并交流展示.

2.教材£探究.

提出问题：

(1)请完成探究中的填空；

(2)通过计算，你能猜出校(420)的结果吗？说说你的理由；

⑶当水0时，G的结果是多少？你是怎样想的？

(4)二次根式有哪些性质？你能归纳出来吗？

(5)什么样的式子叫做代数式？

学生完成并交流展示.

♦活动3知识归纳

1.(.\[a)2=a

a(a20),

2.y[7=\a\=

-a(水0).

3.用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数

的字母连接起来的式子,叫做代数式.

♦活动4例题与练习

例1教材P3例2.

例2教材P」例3.

例3计算与化简：

(1)2(^6)2；(2)(2季尸；(3)”才+2)2；(4)弧；(5)-^/(-2)2；(6)^4X10\

解：(1)原式=12；

(2)原式=24；

(3)原式=才+2：

(4)原式=9；

(5)原式=-2；

(6)原式=().2.

例4已知实数ab在数轴上的位置如图所示，化简：后"+24口干一上一引.

।(।i",।ibi।।।

-5-4-3-2-1012345

解：从数轴上a,力的位置关系可知一2〈水一1,1<从2,且力&故a+l〈O,b—1>0»a

一从0.

.,•原式=Ia+11+2|b—11—\a~b\=—(a+1)+2(b—1)+(a—D)=Z?—3.

练习

1.教材P,练习第1,2题.

2.下列各式中,正确的是(B)

A.y](—4)2=—4B.--^7=—4

C.](±4)2=±4D.0=±4

3.下列式子：①君+6=c；②5乖；③a>0；④其中属于代数式的是(B)

A.①@B.@@C.©@©D.①②③④

4.计算：

,、(的21(5丫

5

解：原式=]+§=2；

2

⑵一x(―

9711

解：原式=—/炉£=一飞

5.已知一个圆柱体的体积为匕高为h,求它的底面半径N用含有『和h的代数式表示);

求当勺80n,h=5时，底面半径r的值.

把K=80n,h=5代入上式，得r=4.

♦活动5完成附赠手册

♦活动6课堂小结

1.理解二次根式的性质，利用二次根式的性质进行化简和计算.

2.利用代数式的概念判断哪些式子是代数式.

四、作业布置与教学反思

作业布置

⑴教材Ps习题16.1第2,4,8,9题;

(2)学生用书对应课时练习.

2.教学反思

16.2二次根式的乘除

第1课时二次根式的乘法

教师备课素材示例

一、新课导入建议与示例

・置疑导入问题情境：你能解决下面的问题吗？

如图，设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b,已知a=2b=木,求S

【教学与建议】教学：利用实际问题导入新课，激发学生学习的积极性.建议：学生相

互讨论使学生主动参与到学习活动中来.

•归纳导入请同学们完成下列各题.

1.填空：

(1)A/4XA/25=JO,A/4X25=JO：

(2)V9XA/16=12,.9X16=12:

(3)VT00XA/49=70,A/100X49=70.

参考上面的结果，用“>”或“="填空：

74XA/25=A/4X25；木X屏=19X16：

V100XA/49=A/100X49.

2.提出问题：你能说出发现的规律吗？

【归纳】两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变,用字母表示：

y[a•y[b=\[ab(0,620).

【教学与建正教学：引导学生在计算、观察的基础上，发现规律.建议：教师的点拨

引导，学生积极开展小组合作学习二交流探索新知.

二、命题热点分析与示例，

◎命题角度1二次根式的乘法

二次根式相乘，先把根号前面的系数相乘，再将被开方数相乘，根指数不变.

【例1】计算/X4的结果是(〃)

A.773B.3sC.mD.匹

【例2】下列二次根式中，与血的积为无理数的是(0

A.B.y[12C.V18D.^32

◎命题角度2逆用二次根式乘法法则进行二次根式的化简

利用/晶=5•5Q20,。20)及，孑=&(a20)进行化简.

【例3】下列各式化简后的结果是3肥的是(4)

A.乖B.限C.标D.相

【例4】化简A/(-2)2X8X3的结果是(X

A.2弧B.-2mC.-4^6D.4^6

◎命题角度3二次根式的大小比较

比较两个二次根式大小的方法：(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号

内，被开方数大的二次根式大；(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，再比较大小；(3)

计算器求近似值法.

【例5】比较下列各组二次根式的大小：

(1)3m和4^3；⑵一也和一8巾.

解：(1)3m=参，叭回=我.

・・,*〈如，：.3y[5<4y[3；

⑵一以=一的5-8^7=~^/448.

V-7243>-^/448,・・・一州3〉-8巾.

高效课堂教学设计

一、教学目标:

1.理解/•铜=迎(々20,620),并运用它进行计算.

2.利用逆向思维，得也强=立•市(a20,620),并运用它进行解题和化简.

二、教学重难点)

▲重点

­y[b=y[ab(a^0tb20)；y[ab=y[a•y[b(a^0t。20),及它们的运用.

▲难点_

发现规律，导出｛/币=y/7i(a20,520).

三、教学设计

♦活动1新课导入

1.回顾二次根式的性质和算术平方根的概念.

2.下列运算正确的是(A)

A."5)2=2B.(fy=一2

C.(-V-2)2=2D.7(-2)2=2

3.计算：⑴5)<m=K，.4X25=1Q:

(2)*X4=12,J16K9=12.

思考：—义南与/4X36的结果相同吗?你发现了什么？

♦活动2探究新知

教材R探究.

提出问题：

(1)你能完成探究中的计算吗？

(2)通过计算，你能得出二次根式的乘法法则吗？

(3)二次根式的乘法法则反过来还成立吗？

学生完成并交流展示.

♦活动3知识归纳

1.二次根式的乘法法则：,\[b=\[ab心0).

2.积的算术平方根的性质：4益=—也二41-(。2°，62°).

注意：根据二次根式的乘法法则，类似可得F•、仁•、?•、俳巡荻(仑0,62

0,。20,心0).

♦活动4例题与练习

教材

快

d1p例

u61.

教材

例

伤d2p

u72.

例

仞

教

d3材P

*u7

仞

计3.

ud4算:

⑴季乂(一29)

5X10x|

解：原式=—2

=T琲;

(2)5-\/45X

解：原式=地范

=a\/2b.

例5比较34与4甫的大小.____

解：方法一：3^/5=«x/32X5=^45,4V5=/2x3=晒

•・,木〈砺，/.3^5<4^3；

方法二：V(3A/5)2=45,(44/=48,45<48,

，3乖<4小.

练习

1.教材P7练习第1,2,3题.

2.计算：小又\1^=2.

3.计算：2mX(-3季)=一36.

4.计算：

⑴屏X^20X^12；__________

解：原式=、25><3X4X5X3><4

=6酢；

(2)^/(-14)X(-112).

解：原式=-14X112

=-72x7x7

=28^2.

5.一个底面为30anX30的的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面

为正方形、高为10金的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20项，铁

桶的底面边长是多少厘米？

解：设铁桶的底面边长是xon.

由题意，得fX10=30X30X20,/=30X30X2,^=^30X30X2=3072.

答：铁桶的底面边长是30巾cm.

♦活动5完成附赠手册

♦活动6课堂小结

1.理解二次根式的乘法法则加积的算术平方根的性质.

2.二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的应用.

四、作业布置与教学反思

1.作业布置

(1)教材匕OF习题16.2第.，5,6题；

(2)学生用书对应课时练习.

2.教学反思

第2课时二次根式的除法

教师备课素材示例

一、新课导入建议与示例

•归纳导入1.计算：

(1)V5XA/7=A/35；⑵*义/=_应_；

(3)^9X727=?^3：(4)5/义4m=gQ/.

2.填空：

3.问题：你能说出你发现的规律吗？

【归纳】两个二次根式相除，根指数—不变被开方数一相除「•用字母表示

7今(a20,Z?>0).

【教学与建议】教学：利用具体数据，通过学生的练习活动，发现规律，归纳出二次根

式的除法法则.建议：教学中教师要注意引导学生自己去发现、探索、理解.

・类比导入师：我们是怎样得到二次根式的乘法法则的？

生：从特殊的几个算式中归纳出来的.

师：接下来，我们用类似的方法来研究二次根式的除法.

问题1计算下列各式，观察计算结果，你能发现其中的规律吗？

2

—3—

问题2用你发现的规律填空，并用计算器进行验算:

⑴

【教学与建议】教学：类比前面二次根式乘法的研究方法来研究二次根式的除法，感受

二次根式除法运算法则.建议：教学时，让学生交流讨论学习二次根式乘法的经验，类比学

习二次根式除法法则.

二、命题热点分析与示例

◎命题角度1a20,6>0）的计算

两个二次根式相除，用根号前面的系数与系数相除，根号内被开方数相除.要注意将结

果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.

【例1】计7；的结果是(0

23

A.1B.-C.-D.以上答案都不对

【例2】下列运算正确的是⑵

A.^504-^5=10B.y[lC^2y[5=2y[2

C.，:+42=3+4=7D.亚・羽=3

◎命题角度2分母有理化

分母有理化常有两种方法：一是分子、分母都乘适当的二次根式；二是根据题目的特点,

把分母或分子适当地分解因式，再约分.

【例3】把下列式子中的分母的根号化去：

⑴I；a—4

⑶熊+2.

33X/3^2

解：⑴

木一小义木一2，

⑵9=4/=44义m=12；

a—4（//一之。（爪+2）（4一2）广

⑶升=正+2=«+2=+-2.

◎命题角度3最简二次根式

符合以下两个条件的根式是最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含

能开得尽方的因数或因式.

【例4】下列各式是最简二次根式的是（⑷

A.y[15B..0.7C.y[a2D.A/-

【例5】把下列各个二次根式化为最简二次根式.

（1）^54=3-\/§；（2）第续

◎命题角度4二次根式的乘除法楠A运算

二次根式混合运算的技巧与注意点：（1）可先对每一个二次根式化简，再计算；（2）根号

外的系数与根号内的被开方数要分步计算；（3）二次根式乘除法混合运算仍是按从左到右的顺

序进行,如果有括号.就先算括号里的.

白的结果正确的是（冷

【例6】计算

乎

4B*C.卓D.芈

【例7】计算：

⑴而+匹X（一标）=-2\[2；

高效课堂教学设计

一、教学目标

i.心0,力0）,并能利用它们进行计算和化简.

2.利用具体数据，发现规律，归纳出二次根式的除法法则，并用逆向思维写出逆向等式,

能利用它们进行计算和化简.

二、教学重难点

▲重点

二次根式除法公式的理解、运用和逆运用.

▲难点

发现规律，探索二次根式的除法法则.

三、教学设计

♦活动1新课导入

1.回顾二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.

2.计算：

（1）V8X^|：（2）VWX^8；（3）^6X8X24.

3.计算下列各题，观察有什么规律？

3

4

♦活动2探究新知

1.教材P8探究.

提出问题：

(1)你能完成探究中的计算吗？

(2)通过计算，你能得出二次根式的除法法则吗？

(3)二次根式的除法法则反过来成立吗？

学生完成并交流展示.

2.教材Pg例6.

提出问题：

(D观察例6中的计算结果，你能发现什么特点？

(2)由此你能得出什么样的二次根式叫做最简二次根式?

(3)如何把二次根式化为最简二次根式？

学生完成并交流展示.

♦活动3知识归纳

1.二次根式的除法法则：；£=

(a20,b>Q),即两个二次根式相除，把被开方

数相除，根指数不变.

_*_(a20,力0),即商的算术平方根等于被

2.二次根式的除法法则的逆用:

除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

3.最简二次根式必须满足下列两个条件：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

♦活动4例题与练习

例1教材PH例4.

例2教材R例5.

例3把下列二次根式化成最简二次根式：

(1)^/T5；

解：原式=

=叵

=岖

例4教材P9例7.

例5长方形的长为3，元，面积为30季，要在这个长方形中分割出一个面积最大的正

方形，求该正方形的面积.

解：730^64-3710=2^15,而3迎》2匹，

・・・正方形的边长是2代，

:,正方形的面积是(2标)2=60.

练习

1.教材%练习第I,2,3题.

2.若1白，则a的取值范围是(C)

A.水2B.aW2C.0Wa<2D.a20

3.若，产和"x/k都是最简二次根式，则m=—2,n=一4

解：Va+/>=—3,ab=2,

・••水0,80,

・14一(a+/?)F^—3^23^2

-a+i=ab=~2=2'

♦活动5完成附赠手册

♦活动6课堂小结

1.理解二次根式的除法法则前商的算术平方根的性质.

2.二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质的应用.

四、作业布置与教学反思

1.作业布置

⑴教材Pgi习题16.2第2,3,4,7,8题；

(2)学生用书对应课时练习.

2.教学反思

16.3二次根式的加减

第1课时二次根式的加减

教师备课素材示例

一、新课导入建议与示例

上7.5dm-

5djfr^^g

•情景导入现有一•块长为7.5疝、意为一丁曲的木板，能否采用如图所示的方式，在

这块木板上截出两个面积分别是8加2和18加之的正方形木板？

根据题意，得m+4瓦.怎样计算这个算式呢？今天我们用二次根式的加减来解决这个

问题.

【教学与建议】教学：通过实际情景，激发学生的学习兴趣和求知欲望.建议：教学中

采用分组讨论、自主探究的方式来解决问题，提高学生自主学习的能力.

・复习导入1.合并同类项：

(l)3a+4a；(2)4，-3才+2才.

解：(1)原式=7却(2)原式=3」.

这几道题你是运用什么知识做的？加减法则.

2.化简：

(D-^yi；⑵倔(3)772^.

解：(1)原式=华；(2)原式=4乖；(3)原式=6叫每.

O

3.二次根式的乘除法，是通过几个被开方数相乘或者相除，然后化简得出结果.那么，

二次根式的加减法能通过几个被开方数相加或相减得出结果吗？

提问：小一部=小正确吗?

在我们学习了本节课之后你就会明白上面的计算是否正确.

【教学与建议】教学：复习合并同类项，化简二次根式为二次根式加减打下基础.建议：

将课堂留给学生，让学生自主学习，自主发现问题，自主解决问题.

二、命题热点分析与示例!

◎命题角度1二次根式可以合并的条件

只有被开方数相同的二次根式才能合并；结合最简二次根式的概念列出方程组，即可求

出未知字母的值.

【例1】下列各组二次根式中，化简后能合并的是(。

A.4正与非B.梅与4C.、口与*D.4届与如

【例2】若最简二次根式向质与匹二5能合并，则x的值是(向

A.3B.2C.-2D.

乙

◎命题角度2二次根式的加减运算

二次根式加减运算的步骤：(D化简：将二次根式化成最简二次板式；(2)判别：找出被

开方数相同的二次根式；(3)合并：将被开方数相同的二次根式合并.

【例3】下列计算正确的是(用

A.炳一小二2小B,而+小=#

C.4/-3/=1D.3+2镜=5啦

【例4】计算3/一胸的结果是—也_.

◎命题角度3二次根式加减运算的应用

根据题意列出二次根式，再利用二次根式的加减运算解决问题.

【例5】三角形的三边长分别为q丽cm,^40的,，布ai,则这个三角形的周长为

+2,\y10)cm.

【例6］已知等腰三角形的两边长分别为2#和5小，则此等腰三角形的周长为，出士

10\/5.

高效课堂教学设计

一、教学目标

1.能够熟练地将二次根式化为最简二次根式，并进行合并.

2.会进行二次根式的加减运算.

二、教学重难点

▲重点

二次根式的加减运算.

▲难点

将二次根式化简为最简二次根式，并会进行二次根式的加减运算.

三、教学设计!

♦活动1新课导入

1.把下列二次根式化为最简二次根式.

(1)乖；(2)-\/18；(3)^y|；(4)-727：(5)-^|；(6)*^^.

2.计算：

(l)2x+3x=5^；(2)2/—3x2+5「=4?:

(3)x+2x+3y=3x+3y；(4)3/一2一+才=才+J.

3.类比计算：

⑴/+2/=3^/2；⑵3乖一2m+4m=5x/8=10x/2.

今天我们一起学习二次根式的加减.

♦活动2探究新知

教材人内容.

提出问题：

(1)能否截得两个正方形，需要我们算出什么？或者是比较哪两个量之间的大小？

(2)面积是8而2和18加2的正方形的边长分别是多少？

(3)在横线上填上每一步计算的依据；

小十限

=2隹+3也化成最简二次根式

=(2+3)/分配

=5yf2.

(4)由此你能得出二次根式的加减运算法则吗？

(5)在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内成立吗？

学生完成并交流展示.

♦活动3知识归纳

二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次

根式进行合并.

强调：

1.二次根式的加减与整式的加减之间的联系与区别：二次根式的加减是被开方数相同的

最简二次根式进行合并，不能合并的保留到结果；整式的加减是合并同类项，不能合并的保

留到结果.

2.、「与小不能合并，因为被开方数不同.

♦活动4例题与练习

例1教材％例L

例2教材％例2.

例3计算：(1)41+2，55—41^|一雪；

解:原式邛+地一挛邛=喑;

(2)y/18—(A/3—2)°+y/(l—y/2)2.

解：原式=3m一挛一1一名+1+镜-1=平一1.

例4已知『2+小，求弓一遍酉亘的值.

▼m-1m-m

解：原式=(2H~D(7_D_I：1・.・m_i=2+m—1=1+L〉0,，原式=m+l+L

1

将m=2+，5代入，得原式=2+15+1—2+9一氏

练习

1.教材%练习第1,2,3题.

2.小明同学在作业本上做了以下4道题：①小一小=小：②3小一小=3；③2+3小

=5^/1；④\厮一.其中做对的题目的个数是(A)

A.0B.1C.2D.3

3.下列二次根式中，化简后不能与第合并的是(填序号)

解：原式=3正+2镉-2镉-3#+4

=*;

⑵驾-2标-4匹+率

解：原式=4—芈一2隹+里•

□0

=木;

♦活动5完成附赠手册

♦活动6课堂小结

1.二次根式的合并.

2.二次根式的加减运算.

四、作业布置与教学反思

1.作业布置

⑴教材入习题16.3第2,3,5题；

(2)学生用书对应课时练习.

2.教学反思

第2课时二次根式的混合运算

教师备课素材示例

一、新课导入建议与示例!

•情景导入母亲节快到了，小勋做了两张大小不同的正方形壁画准备送给妈妈.其中

一张面积为600an2,另一张面积为4200国亡他想如果再用金彩带镶上边会更漂亮.他现

在有一条长L2m的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？若不够用，还需要购买

多长的金彩带？

引导学生计算所需金彩带的总长，列式为4啊+4g而，思考计算方法.

如何计算呢？通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题.

【教学与建议】教学：创设实际问题的问题情境，让学生感受数学来源于生活.建议：

引导学生独立写出算式，然后讨论算式的计算方法.

・类比导入

计算：

(1)(x+0•xy=xy+xy；

(2)(2xy+3xy)+xy=2x+3y；

(3)(x+力(x-y)=x-y；

(4)(*+y)2=四+2灯+1:

（5）（2x+3y）（2>—3y）—4^—97.

思考：如果上述各式中的x,『分别代表着一个二次根式，我们会有哪些新的收获呢？今

天我们来学习二次根式的混合运算.（同时展示本节课学习目标）

【教学与建议】教学：用类比的方法探索二次根式混合运算的特点，使学生弄清楚新旧

知识之间的区别与联系.建议：引导学生自主发现结论：在进行二次根式的混合运算时，学

过的整式的乘法法则和乘法公式仍然适用.

二、命题热点分析与示例!

◎命题角度1二次根式的混合运算

二次根式的混合运算：一般先将每个二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进

行二次根式的乘除运算，最后进行加减运算.

［例1］计算（标一4）的结果是⑵

A.-1B.-^3C,小D.1

【例2】下列计算正确的是㈤

A.3VB.="［

C.诉-眄+小=2#D.零一3邸=/

◎命题角度2乘法公式在二次根式混合运算中的应用

整式的运算律、乘法法则与乘法公式在二次根式的运算中同样适用.

【例3】计算：（3—枷产侬（3+诉）2侬的结果为（功

A.0B.1C.一3-mD.3+V10

【例4】计算（镉+1）（水一1）的结果等于二

◎命题角度3与二次根式有关的化简求值

与二次根式有关的化简求值叵题的常用解题技巧：（1）运用乘法公式；（2）运用因式分解；

（3）运用整体思想；（4）求含字母的代数式的值时，应先化简，后代入.

【例5】已知a=2+，5,则-+1=4.

【例6】先化简，再求值：2（a+J5）（a—4）—a（a—6）+6,其中—1.

解：原式=2（3—3）—，+6a+6

=2才一6——+6a+6

=a+6a.

当&=十一1时，原式=（铺-1）2+6（镜一1）

=2-2啦+1+6蛆-6

=4*^2—3.

高效课堂教学设计

一、教学目标:

1.掌握二次根式的加减乘除混合运算法则.

2.正确地运用二次根式加减乘除运算法则及运算律进行运算，并把结果化简.

二、教学重难点!

▲重点

熟练翼握二次根式的乘除、乘方等运算法则.

▲难点

由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.

三、教学设计

♦活动1新课导入

1.回顾二次根式的加减、乘除运算法则、整式混合运算的法则和相关公式.

2.计算：⑴乖十版一四;⑵邓X#；（3）扬+小.

3.计算：（1）（3/+2X+2）-4X=12f+8/+8x；

(2)(2ly+3/)2x+3〉.

4.简便计算：(1)(2才+3。(2>-30=”―9炉；

(2)(2X+1)2+(2X-1)2=8?+2_.

♦活动2探究新知

1.你能类比单项式与多项式乘除法法则计算下列各式吗？

⑴4X(2木一木);(2)(标一标)4■十.

2.你能根据多项式乘多项式的法则计算下列式子吗？

⑴(小一2乖)(2小一爪)；⑵(2■+2小)(小一m).

3.你能说出整式的乘法公式吗？你能根据乘法公式计算下列式子吗？

(1)(小一2小)(木+2木)；⑵(小-2收

4.有理数的混合运算法则是什么？类似地，你能归纳出二次根式的混合运算法则吗？

学生完成并交流展示.

♦活动3知识归纳

1.二次根式的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号

的，先算括号内的.

2.常见的乘法公式或法则：

(l)m(a+Z?+c)=ma+mb+mc:

⑵(x+a)(x+b)=f+(a+b)x+ab；

(3)(a+Z?)[a—Lf)=a2Z?2；

(4)(a±b)2='±2a6+Z/.

♦活动4例.与练习

例1教材Pi.例3.

例2教材几例4.

例3计算：

解：原式=2*\^3+2；

(2)^2—(m+2).小.

解：原式=/一