专题40 中考最值难点突破费马点问题（原卷版）

专题40中考最值难点突破费马点问题（原卷版）

模块一典例剖析+针对训练

费马点问题解题技巧：旋转变换．

类型一费马点模型

典例1（2020秋•仓山区校级期中）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝

120°，则点P叫做△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的和最小，称为△ABC的费马距离．

（1）若点P是等边三角形三条高的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点．

（2）如图（2），分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．求证：P点

为△ABC的费马点．

（3）若图（2）中，AB＝5，AC＝4，BC＝a，BD＝b，则△ABC的费马距离＝．

针对训练

1．（2021春•滨海县期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B

点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）当M点在何处时，2AM的值最小，并说明理由；

（3）当M点在何处时，2AM+BM的值最小，并说明理由．

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2．（2021春•历下区期末）【操作发现】

（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．

①请按要求画图：将ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B'，点C的对应点为C′；

②连接BB′，此时∠ABB′＝°；

【问题解决】

在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：

（2）如图2，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．

经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋

转60°，得到△ABP′，连接PP′，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，

完成该问题的解答过程；

【学以致用】

（3）如图3，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内一点，且PA＝5，PC＝2，∠BPC

＝135°，求PB；2

【思维拓展】

（4）注意：从以下①②中，你任意选择一道题解答即可．

①等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内部一点，若BC＝4，则AP+BP+CP的最小值

＝；

②如图4，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB，PC，求∠APB的度数．

=3=15

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3．（2019春•金水区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点．

（1）如图1，连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为

点D，A，E，连接CE．如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，则CE＝．

（2）如图2，连接PA，PB，PC，当AC＝BC＝8时，求PA+PB+PC的最小值．

类型二费马点模型变式

典例2（2021春•碑林区校级期中）[问题发现]如图①，在△OAB中，OB＝3，若将△OAB绕点O逆时针

旋转120°得△OA′B′，连接BB'．则BB'＝．

[问题探究]如图②，已知△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC

内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，3P的对应点为Q．求PA+PB+PC的最小值．

[实际应用]如图③，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800，点P是长方形内一动点，且S△PAD

＝2S△PBC，点Q为△ADP内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存

在，请求出这个最小值，并求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由．

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针对训练

1．（2021•雁塔区校级模拟）【问题情境】

如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，则△ABC的外接圆的半径值为．

【问题解决】3

如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．

【问题解决】

如图3，正方形ABCD是一个边长为3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CEcm，

点P是正方形ABCD内设立的一个活动3岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点=A、3D为

另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和

最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到1cm，参考数据1.7，10.52＝110.25）．

3≈

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模块二2023中考押题预测

一．选择题

1．（2017秋•义乌市月考）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫

△ABC的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝

∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则

PD+PE+PF＝（）2

A．2B．1C．6D．3

2．（2022春3•山亭区期中）如图+，在3△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平3面内绕点A旋转到△AB′C′

的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）

A．40°B．30°C．50°D．65°

二．填空题

3．（2019秋•开福区校级月考）法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之

和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费

马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，

∠ABC＝60°，则费马距离为．

4．（2019秋•梁溪区期末）如图，已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为1，

则这个正方形的边长为．+3

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5．（2021•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或

直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°．（例如：等边三

角形的费马点是其三条高的交点）．若AB＝AC，BC＝2，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC

＝；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P为=△AB7C的费马点3，则PA+PB+PC＝．

6．（2022秋•洪山区校级期3中）如图，以等边△ABC的一边BC为底边作等腰△BCD，已知AB＝3，

，且∠BDC＝120°，在△BCD内有一动点P，则PB+PC+PD的最小值为𝐶=�．�=

3

7．（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，

则当线段AD的长度最小时，

①∠BDC＝；②AD的最小值是．

三．解答题

8．（2009•湖州）自选题：若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做

△ABC的费马点．

（1）若点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，则PB的值为；

（2）如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′

＝PA+PB+PC．

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9．问题探究：

（1）如图1，已知，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，则对角线AC、BD的位置关系是．

（2）如图2，已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．△ABC内一动点E到A、B、C三点的距离

之和的最小值为2，求AC的长．

问题解决：

（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B（6，0），C（0，

4），延长AC至点D，使CDAC，过点D作DE⊥y轴于点E．设G为y轴上一点，点P从点E出

1

发，3先沿y轴到达G点，再沿G=A2到达A点．若点P在直线GA上运动速度为定值v，在y轴上运动速

度为2v，试确定点G的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短，并求此时点G的坐标．

10．（2017•利辛县一模）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则

点P叫做△ABC的费马点．

（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点．

（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：△ABP∽△BCP；

（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD交于P点．如图（2）

①求∠CPD的度数；②求证：P点为