专题15 图形的相似综合（6大考点）（解析版）

第四部分三角形

专题15图形的相似综合（6大考点）

核心考点一比例线段

核心考点二相似三角形的判定

核心考点三相似三角形的性质

核心考点

核心考点四相似三角形中的动点问题

核心考点五位似图形

核心考点六相似三角形的实际应用

新题速递

核心考点一比例线段

例1（2022·湖南衡阳·统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）

的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，

那么该雕像的下部设计高度约是（）（结果精确到0.01m．参考数据：21.414，31.732，52.236）

A．0.73mB．1.24mC．1.37mD．1.42m

【答案】B

x5-1

【分析】设雕像的下部高为xm，由黄金分割的定义得=,求解即可．

22

【详解】解：设雕像的下部高为xm，则上部长为（2-x）m，

∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，

雷锋雕像为2m，

x5-1

∴=,

22

第1页共99页.

∴x=5-1»1.24，

即该雕像的下部设计高度约是1.24m，

故选：B．

【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．

51

例2（2021·四川德阳·统考中考真题）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们

2

以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已

知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为51，则该矩形的周长为__________________．

【答案】252或4

【分析】分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为35，求出矩形的周长即可；

②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为2，求出矩形的周长即可．

【详解】解：分两种情况：

51

①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为(51)35，

2

矩形的周长为：2(5135)4；

51

②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为：(51)2，

2

矩形的周长为2(512)252；

综上所述，该矩形的周长为252或4，

故答案为：252或4．

【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键．

例3（2022·湖南常德·统考中考真题）在四边形ABCD中，BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E

使BEFC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．

第2页共99页.

(1)当四边形ABCD是矩形时，如图，求证：①GEGD；②BOGDGOFC．

(2)当四边形ABCD是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．

【答案】(1)证明见详解

(2)证明见详解

【分析】（1）①证明△ADG≌AEG即可；②连接BG，CG，证明△ADG≌BCG，△BOE∽△GOC即

可证明；

（2）①的结论和（1）中证明一样，证明△ADG≌AEG即可；②的结论，作DMBC，连接GM，证明

△BOE∽△GOM即可．

【详解】（1）证明：①证明过程：

四边形ABCD为矩形，

ABCBAD90

AF平分BAD

BAFDAF45

ABF为等腰直角三角形

ABBF

BEFC

ABBEBFCF，即AEBCAD

AGAG

△ADG≌AEG

GEGD

②证明：连接BG，CG，

第3页共99页.

G为AF的中点，四边形ABCD为矩形，

ABCBAD90，ADBC

BGAGFG

AF平分BAD，ABF为等腰直角三角形，

BAFDAF45ABGCBG

△ADG≌BCG

ADGBCG

△ADG≌AEG

EADG

EBCG

BOEGOC

△BOE∽△GOC

BOGOGOBO

BEGCGDCF

BOGDGOFC

（2）作DMBC交BC于M，连接GM，作GNDM交DM于点N，如图所示

DMB90GNMGNDDMC

由（1）同理可证：△ADG≌AEG

第4页共99页.

EADG

四边形ABCD为平行四边形

AD∥BC

ADMDMC90

BC∥GN∥AD

G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得DNMN

DGMG，

\ÐGDM=ÐGMD,

\ÐADG=ÐBMG=ÐE

BOEGOM

△BOE∽△GOM

BOGOGOBO

BEGMGDCF

BOGDGOFC

【点睛】本题考查了以矩形与平行四边形为桥梁，涉及全等三角形的证明，相似三角形的证明，正确作出

辅助线并由此得到相应的全等三角形和相似三角形是解题的关键．

知识点、线段的比与成比例线段

线段的比两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．

ac

四条线段a、b、c、d中，如果，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例

成比例线段bd

线段，简称比例线段．

知识点、比例的性质

ac

基本性质adbc

bd

合比的性质acabcd

bdbd

等比性质acmacm

kbdn0k

bdnbdn

第5页共99页.

知识点、黄金分割

ACBC

若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这

ABAC

黄金分割

51

时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为0.618．

2

知识点、平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

图形：

几何语言：

定理

∵l1∥l2∥l3，

ABDEABDEBCEF

∴，，

BCEFACDFACDF

平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

图形：几何语言：

推论ADAE

∵DE∥BC，∴，

DBEC

ADAEBDCE

，

ABACABAC

【变式1】（2022·河北邯郸·统考三模）如图，已知P、Q是边AB的三等分点，△ABC的面积为27，现从

AB边一点D，沿平行BC的方向剪下一个面积为7的三角形，则点D在（）

A．线段AP上B．线段PQ上，且靠近P点

C．线段PQ上，且靠近Q点D．线段BQ上

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【答案】C

AP1AE1AQ2

【分析】如图，取AB的中点E，则，，，根据平行线分线段成比例定理的推论可

AB3AB2AB3

知APF，AEG，AQH均与ABC相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出APF，AEG，

AQH的面积，与剪下三角形的面积比较即可判断．

【详解】解：如图，取AB的中点E，作PF//BC交AC于点F，EG//BC交AC于点G，QH//BC交AC于

点H，

∵P、Q是边AB的三等分点，E是AB的中点，

AP1AE1AQ2

∴E是PQ的中点，，，，

AB3AB2AB3

∵PF//BC，

APAFPF1

∴，

ABACBC3

∴APFABC，

SAP11

∴APF()2()2，

SABCAB39

11

∴SS273，

APF9ABC9

112744

同理可得SS27，SS2712，

AEG4ABC44AQH9ABC9

27

∵3712，

4

∴点D在线段EQ上，即在线段PQ上，且靠近Q点．

故选：C．

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的面积比与相似比的关系，掌握相似三角形面积

比等于相似比的平方是解题的关键．

【变式2】（2022·浙江宁波·统考模拟预测）ABCD被分别平行于两边的四条线段EJ、FI、LG、KH分割

成9个小平行四边形，面积分别为S1-9，已知ALME∽PICH∽ABCD．若知道S1-9中的n个，就一定能

算出平行四边形ABCD的面积，则n的最小值是（）．

第7页共99页.

A．2B．3C．4D．6

【答案】B

【分析】由题述相似关系得AL：AE=KB：FD，设AE=x，AL=kx；FD=z，KB=kz；EF=y．

又AB：AD=AL：AE=KB：FD可得（kx+LK+kz）：（x+y+z）=kx：x=ky：y=k，LK=ky．

222

只需知道S1，S3，S5，便可由x：y：z=S1：S3：S5得到x：y：z=S1：S3：S5，于是

x+y+z22

SABCD=S1（·）=（S+S+S）．

x135

【详解】解：如图，

由题述相似关系得AL：AE=KB：FD，

设AE=x，AL=kx；FD=z，KB=kz；EF=y．

∵AB：AD=AL：AE=KB：FD

∴（kx+LK+kz）：（x+y+z）=kx：x=ky：y=k，

∴LK=ky．

只需知道S1，S3，S5，便可由

222

x：y：z=S1：S3：S5

得到x：y：z=S1：S3：S5，

x+y+z22

于是SABCD=S1（·）=（S+S+S），

x135

故答案选：B．

第8页共99页.

【点睛】本题考查了相似四边形的性质，关键在于设出未知数，用正确的表达式表示面积．

【变式3】（2022·统考一模）已知线段a51，b51，则a，b的比例中项线段等于______．

【答案】2

【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之

积求解即可得出答案．

【详解】解：设线段x是线段a，b的比例中项，

∵a51，b51，

ax

∴，

xb

∴x2=ab=(5+1)(5-1)=5-1=4，

∴x2．

∵x0，

∴x2舍去，

故答案为：2．

ax

【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若，则x是a,b的比例中项”是解本题的关键．

xb

51

【变式4】（2022·福建莆田·校考一模）我们把宽与长的比为黄金比（）的矩形称为黄金矩形，如图，

2

在黄金矩形ABCD中，AB＜BC，BC＝4，∠ABC的平分线交AD边于点E，则DE的长为_____．

【答案】2(35)

51

【分析】根据黄金矩形ABCD，得出宽与长的比为黄金比（），AD//BC，ADBC4，可求

2

51

ABBC2(51)，根据BE为∠ABC的平分线，证出AEAB，再利用DEADAE计算即可．

2

【详解】解：∵四边形ABCD为黄金矩形，

AB51

∴其宽与长的比，AD//BC，ADBC4，

BC2

5151

∴ABBC42(51)，

22

∵BE为∠ABC的平分线，

第9页共99页.

∴ABECBE，

∵AD//BC，

∴AEBCBEABE，

∴AEAB2(51)，

∴DEADAE42(51)2(35)．

故答案为：2(35)．

【点睛】本题主要考查了黄金矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，解题关键是熟

练掌握黄金矩形的性质、等腰三角形判定与性质等知识并利用线段和差求解．

【变式5】（2020·福建南平·统考一模）在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，

ADAE

EC＝4，．

DBEC

（1）求AD的长；

DBEC

（2）试问能成立吗？请说明理由．

ABAC

36

【答案】(1)AD=；(2)能，理由见解析.

5

【分析】（1）设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，根据比例式列出方程求得x的值，即可得AD的长；

（2）根据所求得的数据计算即可得结论.

【详解】解：（1）)设AD=x,则BD=AB-AD=（12-x）cm，

ADAE

∵，AE＝6，EC＝4，

DBEC

∴x：（12-x）=6：4，

36

解得x=，

5

36

∴AD=；

5

（2）能，理由如下：

36

∵AB＝12，AD＝，

5

24

∴DB＝.

5

DB2

∴，

AB5

∵AE＝6，EC＝4，

∴AC=10

第10页共99页.

EC42

∴，

AC105

DBEC

∴.

ABAC

核心考点二相似三角形的判定

k

例1（2020·贵州遵义·统考中考真题）如图，ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝

x

90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平△行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k

的值为（）

A．9B．12C．15D．18

【答案】D

【分析】由ANNMOM,NQ//PM//OB得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到三角形之间的面

积关系，利用反比例函数系数的几何意义可得答案．

【详解】解：ANNMOM,NQ//PM//OB,

ANQ∽AMP,AMP∽AOB,

2

SANQAN1

,

SAMPAM4

四边形MNQP的面积为3，

SANQ1

,

SANQ34

SANQ1,

SAMP4,

第11页共99页.

AMP∽AOB,

2

SAM4

AMP,

SAOBAO9

SAOB9,

k2SAOB18.

故选D．

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，掌握以上知识是解题的关

键．

例2（2021·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一

个条件：_____，使得VADE与ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）

ADAE

【答案】

ABAC

【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．

ADAE

【详解】解：根据题意，添加条件，

ABAC

A=A

VADE~ABC

ADAE

故答案为：．

ABAC

【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

例3（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在RtABC中，ABC90，E是边AC上一点，且BEBC，

过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．

【答案】见解析

第12页共99页.

【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，

即可得出结论．

【详解】证明：∵BEBC

∴∠C=∠BEC，

∵∠BEC=∠AED，

∴∠AED=∠C，

∵AD⊥BD，

∴∠D=90°，

∵ABC90，

∴∠D=∠ABC，

∴△ADE∽△ABC．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判

定定理是解题的关键．

知识点、相似三角形的判定

平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原

预备定理

三角形相似．

有两个角对应相等的两个三角形相似．

判定1

判定2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．

第13页共99页.

三边对应成比例的两个三角形相似

判定3

若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比

例，那么这两个直角三角形相似．

直角三角形

的特殊判定

【变式1】（2023·上海杨浦·统考一模）如图，在ABC中，AG平分BAC，点D在边AB上，线段CD与

AG交于点E，且ACDB，下列结论中，错误的是（）

第14页共99页.

A．△ACD∽△ABCB．ADE∽ACG

C．△ACE∽△ABGD．△ADE∽△CGE

【答案】D

【分析】由ACDB，DACCAB，可直接证明△ACD∽△ABC，即可判断A；由角平分线的定义

得出DAECAG，再结合三角形外角的性质即可得出AEDAGC，从而可证ADE∽ACG，即可

判断B；由CAEBAG，ACDB，可直接证明△ACE∽△ABG，即可判断C；没有条件证明

△ADE∽△CGE，即可判断D．

【详解】∵ACDB，DACCAB，

∴△ACD∽△ABC，故A正确，不符合题意；

∵AG平分BAC，

∴DAECAG．

∵AEDCAGACD，AGCDAEB，

∴AEDAGC，

∴ADE∽ACG，故B正确，不符合题意；

∵CAEBAG，ACDB，

∴△ACE∽△ABG，故C正确，不符合题意；

在VADE和CGE中只有AEDCEG，不能证明△ADE∽△CGE，故D错误，符合题意．

故选D．

【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理

是解题关键．

【变式2】（2022·广西梧州·统考一模）如图，在ABC中，C45，将ABC绕着点B逆时针方向旋转，

使点C的对应点C落在CA的延长线上，得到ABC，连接AA，交BC于点O．下列结论：①ACA90；

②AABC；③ABCAAC；④△AOC∽△BOA．其中正确结论的个数是（）

第15页共99页.

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】利用旋转的性质和等腰三角形的性质推出∠ACA90，即可判断①的正确性；通过点A、B、A、

C四点共圆可以判断出②③④的正确性．

【详解】解：由题意可得：BCBC，∠C∠ACB

∵C45

∴∠BCA45

∵∠ACA∠ACB∠BCA

∴∠ACA90，故①正确；

∵∠BCA∠C45

∴∠CBC90

∵ABCABC

∴ABA90

∴∠ABA∠ACA180，∠CAB∠CAB180

∴点A、B、A、C四点共圆

∵∠ACA90，∠BAC90

∴AA是直径，BC不是直径

∴AABC，故②错误；

∵点A、B、A、C四点共圆

∴∠ABC∠AAC，故③正确；

∵点A、B、A、C四点共圆

∴∠AAC∠ABC，∠ACB∠AAB

∴△AOC∽△BOA，故④正确；

∴正确结论的个数是3个

故选C．

第16页共99页.

【点睛】本题考查了图形的旋转、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理的推论以及相似的判定等知

识点，灵活运用这些知识点是解题的关键．

【变式3】（2021·上海崇明·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一

个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．

5

【答案】

3

ABBP

【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得，即可求解．

CPCQ

【详解】解：如图，

∵BP＝5，BC＝4，

∴CP＝1，

∵PQ⊥AP，

∴∠APQ＝90°＝∠ABC，

∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，

∴∠BAP＝∠BPQ，

又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，

∴△ABP∽△PCQ，

ABBP

∴，

CPCQ

第17页共99页.

35

∴

1CQ

5

∴CQ＝，

3

5

故答案为：．

3

【点睛】本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相似比计算线段的长度

是常用的方法．

【变式4】（2021·河南·统考模拟预测）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC

上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，

连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于____．

20

【答案】

3

【分析】根据折叠可得四边形ABNM是正方形，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，可求出三角形FNC

的三边为3，4，5，在RtMEF中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证FNC∽PGF，

可得△PFG三边的比为3：4：5，设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，通过PG=HN，列方程解方程，进而求

出PF的长，从而可求PE的长．

【详解】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，

由折叠得：

四边形ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，

∴NC=MD=8-5=3，

第18页共99页.

在RtFNC中，FN52324，

∴MF=5-4=1，

在RtMEF中，设EF=x，则ME=3-x，

2

由勾股定理得，123xx2，

5

解得：x，

3

∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，

∴∠CFN=∠FPG，

又∵∠FGP=∠CNF=90°

∴FNC∽PGF，

∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，

设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，

四边形ABNM是正方形，

MBN45BPH，

∴GN=PH=BH=4-3m，HN=5-（4-3m）=1+3m=PG=4m，

解得：m=1，

∴PF=5m=5，

520

∴PE=PF+FE=5=，

33

20

故答案为：．

3

【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形，正方形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定与性质，

掌握以上知识是解题的关键．

【变式5】（2022·四川南充·统考三模）如图，在ABC中，ACB90，CD是边AB上的中线，EF垂直

平分CD，分别交AC，BC于E，F，连接DE，DF．

(1)求证：△OCE∽△OFD．

第19页共99页.

(2)当AE7，BF24时，求线段EF的长．

【答案】(1)见解析

(2)EF25

【分析】（1）如图（见解析），先根据线段垂直平分线的性质可得EOCDOF90，EDEC，FDFC，

再根据三角形全等的判定定理证出EDFECF，根据全等三角形的性质可得12，从而可得

421，然后根据相似三角形的判定即可得证；

（2）如图（见解析），延长FD至G，使DGDF，连接AG，EG，先根据线段垂直平分线的判定与性

质可得EGEF，再根据三角形全等的判定定理证出△ADG△BDF，根据全等三角形的性质可得

AGBF24，7B，然后根据平行线的判定与性质可得EAG90，最后在Rt△AEG中，利用勾

股定理即可得．

【详解】（1）证明：∵EF垂直平分CD，

∴EOCDOF90，EDEC，FDFC，

EDEC

在EDF和△ECF中，FDFC，

EFEF

∴EDFECFSSS，

∴12，

∵ACB90，EOC90，

∴233490，

∴421，

EOCDOF90

在△OCE和△OFD中，，

14

∴OCEOFD．

第20页共99页.

（2）解：如图，延长FD至G，使DGDF，连接AG，EG．

则ED垂直平分FG，

EGEF，

CD是边AB上的中线，

∴ADBD，

DGDF

在△ADG和VBDF中，65，

ADBD

∴△ADG△BDFSAS，

∴AGBF24，7B，

∴AGBC，

∴EAG180ACB90，

∴EGAE2AG27224225，

∴EF25．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等

知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．

核心考点三相似三角形的性质

例1（2022·山东威海·统考中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB

＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为()

第21页共99页.

4443

A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6

3334

【答案】C

【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为

6

△，利用锐角三角函数找出相应规律得出23，再由相似三角形的性质求解即可．

GOHOG=x

3

【详解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°

∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，

∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，

∴与△AOB位似的三角形为△GOH，

设OA=x，

1

则OA23x23，

OB=x

cos3033

2

∴OB4x23，

OC=x

cos3033

3

∴OC83x23，

OD=x

cos3093

…

6

∴23，

OG=x

3

6

∴OG23，

OA3

126

S234

∴GOH，

SAOB33

第22页共99页.

∵SAOB1，

6

∴4，

SGOH

3

故选：C．

【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出

相应边的比值规律是解题关键．

例2（2022·湖南常德·统考中考真题）如图，已知F是ABC内的一点，FD∥BC，FE∥AB，若BDFE

11

的面积为2，BDBA，BEBC，则ABC的面积是________．

34

【答案】12

【分析】延长EF、DF分布交AC于点M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分别求出AM、MN、

CN之间的关系，从而得到三角形的面积关系即可求解．

【详解】解：如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N，

11

FD∥BC，FE∥AB，BDBA，BEBC，

34

CE3BE，AD2BD，

CMCEANAD

3，2，

AMBECNBD

第23页共99页.

令AMx，则CM3x，

AC4x，

2814

ANACx，CNACx，

3333

5

MNx，

3

NM5NM5

，，

AN8MC9

：，：

S△NMFS△NAD25:64S△NMFS△MEC25:81，

，，

设S△NMF25aS△NAD64aS△MEC81a，

S四边形FECN56a，

S△ABC2120a，

2

S64aAD4

ADN，

SABC2120aAB9

1

求出a,

12

S△ABC2120a12，

故答案为：12．

【点睛】本题考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行线分线段成比例知识，具有一定的难度，不断

的利用相似三角形的性质：对应线段成比例进行求解线段的长度；利用相似三角形的面积之比等于相似比

的平方是解题的关键．

例315．（2020·山东济南·中考真题）在等腰ABC中，AC＝BC，VADE是直角三角形，∠DAE＝90°，

1

∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD△的中点，连接CF．

2

（1）当∠CAB＝45°时．

①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是．线段BE与线段CF

的数量关系是；

②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予

证明，若不成立，请说明理由；

学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：

思路一：作等腰ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；

△

第24页共99页.

思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全

等或相似有关知识来解快问题．

（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理

由．

1

【答案】（1）①EABABC，CFBE；②仍然成立，证明见解析；（2）BE23CF，理由见解

2

析．

【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明ADAE,BDBE,再利用直角三角形斜

边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．证

明CMF≌BMN（SAS），可得结论．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把CAG

绕点C逆时针旋转90°得到CBT，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT

是平行四边形，可得结论．

（2）结论：BE＝23CF．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明BAE∽CTF，可得结论．

【详解】解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．

∵CA＝CB，∠CAB＝45°，

∴∠CAB＝∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝90°，

1

∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，

2

第25页共99页.

∴∠ADE＝∠AED＝45°，

∴AD＝AE，

DAE90,

EABDATABC45,

∴AT⊥DE，DT＝ET，

∴AB垂直平分DE，

∴BD＝BE，

∵∠BCD＝90°，DF＝FB，

1

∴CF＝BD，

2

1

∴CF＝BE．

2

1

故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．

2

②结论不变．

解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．

∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，

∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，

由①得：ADAE,

设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，

点F是BD的中点，

则DF＝FB＝a+x，

∵AM＝BM，

∴y+a＝a+2x，

∴y＝2x，即AD＝2FM，

∵AM＝BM，EN＝BN，

第26页共99页.

∴AE＝2MN，MN∥AE，

∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，

∴∠CMF＝∠BMN＝90°，

∴CMF≌BMN（SAS），

∴CF＝BN，

∵BE＝2BN，

1

∴CF＝BE．

2

解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把CAG绕点C逆时针旋转90°得到CBT，

连接DT，GT，BG．△

∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，

∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，

∵∠CAB＝45°，

∴∠CAG＝90°，

∴AC⊥AG，

∴AC∥DE，

∵∠ACB＝∠CBT＝90°，

AC//BT,

∴AC∥BT∥DE，

∵AG＝BT，

∴DG＝BT＝EG，

∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，

∴BD与GT互相平分，BEGT,

∵点F是BD的中点，

第27页共99页.

∴BD与GT交于点F，

∴GF＝FT，

由旋转可得；CGCT,GCT90,

GCT是等腰直角三角形，

∴CF＝FG＝FT，

1

∴CF＝BE．

2

（2）结论：BE＝23CF．

理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．

∵CA＝CB，

∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，

∵AT＝TB，

∴CT⊥AB，

CT3

tan30,

AT3

∴AT＝3CT，

∴AB＝23CT，

∵DF＝FB，AT＝TB，

∴TF∥AD，AD＝2FT，

∴∠FTB＝∠CAB＝30°，

∵∠CTB＝∠DAE＝90°，

∴∠CTF＝∠BAE＝60°，

1

∵∠ADE＝∠ACB＝60°，

2

第28页共99页.

AE

tan603,

AD

∴AE＝3AD＝23FT，

ABAE

∴23，

CTFT

∴BAE∽CTF，

BEBA

∴23，

CFCT

∴BE23CF．

【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判

定和性质，相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等

三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

知识点、相似三角形的性质

性质1相似三角形的对应边成比例，对应角相等。

相似三角形的周长比等于相似比。

∽，则

由比例性质可得：

性质2

类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。

相似三角形的面积比等于相似比的平方。

∽，则分别作出与的高

性质3

11

BCADkBCkAD

S

和，则△ABC22=k2

S11

△ABCBCADBCAD

22

第29页共99页.

要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。

如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到：

相似多边形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。

性质4

要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。

【变式1】（2022·广东佛山·佛山市南海区石门实验学校校考三模）如图，在ABC中，AB4，AC3，

BC5.将ABC沿着点A到点C的方向平移到DEF的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为（）

A．36B．6C．36D．26

【答案】A

【分析】根据勾股定理的逆定理求出ABC是直角三角形，求出ABC的面积，根据平移的性质得出

ACDF3，DEF的面积ABC的面积6，再根据面积比等于相似比的平方得出即可．

【详解】解：AB4，AC3，BC5，

AB2AC2BC2，

ABC是直角三角形，A90，

将ABC沿着点