专题16 锐角三角函数及其应用（5大考点）（解析版）

第四部分三角形

专题16锐角三角函数及其应用（5大考点）

核心考点一特殊角的三角函数值及其计算

核心考点二由三角函数值求锐角

核心考点核心考点三锐角三角函数的增减性

核心考点四解直角三角形及其应用

核心考点五三角函数的综合

新题速递

核心考点一特殊角的三角函数值及其运算

例1（2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋

转60，使点B落在点B的位置，连接BB，过点D作DE⊥BB，交BB'的延长线于点E，则BE的长为

（）

24

A．31B．232C．3D．3

33

【答案】A

【分析】利用已知条件求得CBFEDF30,设EFx，将DF,FC,BF都表示出含有x的代数式，利用

tanFBC的函数值求得x，继而求得BE的值

【详解】

第1页共77页.

设BE,CD交于点F,

由题意：ABAB,BAB60

ABB是等边三角形

ABB60

四边形ABCD为正方形

ABCC90

∴∠CBF=90°-60°=30°，

DE⊥BB

E90

又DFECFB

EDFCBF30

设EFx

EFEF

DF2EF2x

则sinEDF1

2

FCDCDF22x

FC

BF=2FC44x

sinCBF

BEBFEF43x

BEBEBB43x223x

FC3

tanCBF

BC3

22x3

23

3

解得：x1

3

3

BE23(1)31

3

故选A

【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，特殊角的锐角三角函

数值，灵活运用锐角三角函数的定义及特殊三角函数值是解题的关键．

例2．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；sin()sincoscossin，

sin()sincoscossin．例如：当45，30时，

第2页共77页.

232162

sin4530，则sin15的值为_______．

22224

【答案】62

4

【分析】根据sin()sincoscossin代入进行计算即可．

【详解】解：sin15sin(4530)

=sin45cos30cos45sin30

2321

=

2222

62

=

44

62

=．

4

故答案为：62．

4

【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．

22(1)10|6|33

例3（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：

3tan30364(2)2(2)0

22(1)10|6|33

解：

3tan30364(2)2(2)0

4(1)627

334220

41627

316

2

小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，

并依次标注序号：

10

①224；②(1)1；③66；

____________________________________________________________________________．

请写出正确的计算过程．

21x23x

（2）先化简，再求值：，其中x是方程x22x30的根．

x3xx26x9

3111

【答案】（1）④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1；28；（2），．

34x32

【分析】（1）根据乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂的法则计算即

可；

第3页共77页.

12

（2）先把括号内通分，接着约分得到原式=，然后利用因式分解法解方程x-2x-3=0得到x1=3，x2=-1，

x3

则利用分式有意义的条件把x=-1代入计算即可．

31

【详解】（1）其他错误，有：④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1，

34

正确的计算过程：

22(1)10|6|33

解：

3tan30364(2)2(2)0

41627

31

341

34

41627

111

=28；

21x23x

（2）

x3xx26x9

2xx3x(x3)

x(x3)(x3)2

x3x(x3)

x(x3)(x3)2

1

=，

x3

∵x2-2x-3=0，

∴（x-3）（x+1）=0，

x-3=0或x+1=0，

∴x1=3，x2=-1，

∵x=3分式没有意义，

∴x的值为-1，

11

当x=-1时，原式==．

132

【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程---因式分解法，分式的化简求值．也考查了特殊角的三

角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂．

知识点：特殊角的三角函数值

第4页共77页.

1.图表记忆

三角函数图形记忆

30°45°60°

123

sin

222

1

cos32

222

3

tan13

3

2.规律记忆

30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，2，3；

30°，45°，60°角的余弦值分别是60°，45°，30°角的正弦值。

【变式1】（2022·湖南邵阳·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AB＞BC，以点A为圆心、AB

长为半径的弧BE与DC相交于点E，点E为DC的中点，则由BC、CE和弧BE围成的阴影部分图形的面

积是（）

88

A．63B．83C．633D．833

33

【答案】A

【分析】根据矩形的性质得出AB=CD=AE=4，∠ADC=90°，结合中点及特殊角的三角函数值与勾股定理得

22

出∠DAE=30°，AD=AEDE23，∠BAE=60°，结合图形得出S阴影S矩形ABCDSADES扇形ABE，代入

求解即可．

第5页共77页.

【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴AB=CD=AE=4，∠ADC=90°

∵E为CD中点，

∴CE=DE=2，

在Rt∆ADE中，

DE1

sinDAE，

AE2

∴∠DAE=30°，AD=AE2DE223，

∴∠BAE=60°，

S阴影S矩形ABCDSADES扇形ABE

16042

AB·ADAD·DE

2360

18

423232

23

8

63，

3

故选：A．

【点睛】题目主要考查矩形的性质，特殊角的三角形函数值，勾股定理，求不规则图形的面积等，理解题

意，综合运用这些知识点是解题关键．

【变式2】（2022·河南洛阳·统考二模）如图1，在ABC中，ABC60，点D是BC边上的中点，点P

从ABC的顶点A出发，沿ABD的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．线段DP的长度

y随时间x变化的关系图象如图2所示，点N是曲线部分的最低点，则ABC的面积为（）

163

A．4B．43C．8D．

3

【答案】D

第6页共77页.

【分析】由函数图象可知AD=4，当DP⊥AB时，AP=23,此时有DP长的最小值，由勾股定理可以求出

DP的长度，进而结合∠B=60°求得BP，即可求出△ABD的面积，然后利用点D是BC边上的中点，得到

S△ABC2S△ABD．

【详解】解：过D作DP⊥AB于P

由函数图像可得，AD=4，当DP⊥AB时，AP=23,此时有DP长的最小值，

∴DPAD2AP242(23)22

∵ABC60

DP223

∴BP

tan6033

83

∴ABAPBP

3

118383

∴SDPAB2

ABD2233

∵点D是BC边上的中点，

163

∴S2S

ABCABD3

故选：D

【点睛】本题考查了垂线段最短、勾股定理、特殊角度的三角函数值，解题的关键是通过函数图象得到当

DP⊥AB时，AP=23．

2

31

【变式3】（2020·四川自贡·校考一模）在ABC中，若sinAcosB0，A，B都是锐角，

22

则ABC是______三角形．

【答案】等边

【分析】根据非负数的性质分别求出∠A和∠B，继而可判断ABC的形状．

2

31

【详解】解：∵sinAcosB0，

22

第7页共77页.

2

31

∴sinA0，cosB0，

22

31

∴sinA，cosB，

22

∴∠A=60°，∠B=60°，

∴ABC是等边三角形．

故答案为：等边．

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三

角函数值．

【变式4】（2022·贵州铜仁·统考二模）如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，

0)，点B(23，2)．D是边BC上一点(不与点B重合)，过点D作DE∥OB交OC于点E．将该纸片沿DE

折叠，得点C的对应点C′．当点C′落在OB上时，点C′的坐标为________．

31

【答案】(,)

22

1

【分析】根据B点坐标可求出AB、OB，得到ABOB，所以AOB30，BOC60，再利用折叠与

2

1

平行的性质，证明△OEC′是等边三角形，OE=CD=AB，然后可利用三角函数求出点C′的坐标．

2

【详解】∵点B坐标为(23，2)，

∴AB=2，OA=23，

2

∴OB22234

1

∴ABOB

2

∴AOB30，BOC60

∵C′是C关于DE的对称点

∴CEDCED，EC=EC′

∵DE∥OB

∴CEDEOC=60°

第8页共77页.

∴∠OEC′=180°-2×60°=60°

∴△OEC′是等边三角形

11

∴OE=EC=EC′=AB=11

22

31

∴C′横坐标=1sin60，纵坐标=1sin30

22

31

∴C′坐标为,

22

【点睛】本题考查了三角形，熟练运用特殊三角形的性质是解题的关键．

1

【变式5】．（2021·新疆乌鲁木齐·校考三模）计算：()2tan452cos30|13|(20212021)0.

2

【答案】6

【分析】利用有理数的乘方法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义化简计算即可．

13

【详解】解：原式=()22311

22

=43311

=6

【点睛】本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数

幂的意义，正确使用上述法则进行运算是解题的关键．

核心考点二由三角函数值求锐角

例1（2021·山东泰安·统考中考真题）如图，在ABC中，AB6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC

相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，CDE18，则GFE的度数是

（）

A．50°B．48°C．45°D．36°

【答案】B

第9页共77页.

【分析】连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，

易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数．

【详解】解：连接AD，则AD=AG=3，

∵BC与圆A相切于点D，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

AD1

在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==，

AB2

∴∠BAD=60°，

∵∠CDE=18°，

∴∠ADE=90°﹣18°=72°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=72°，

∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，

∴∠GAC=36°+60°=96°，

1

∴∠GFE=∠GAC=48°，

2

故选：B．

【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，

熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键．

例2．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB1，BC2，以B为圆心，BC的长为

半径画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留π）

第10页共77页.

π

【答案】

3

【分析】先根据特殊角的锐角三角函数值，求出ABE，进而求出EBC，再根据扇形的面积公式求解即

可．

【详解】解：∵矩形ABCD，

AABC90，

以B为圆心，BC的长为半轻画弧，交AD于点E，BC2，

BEBC2，

在RtABE中，AB1，

AB1

cosABE，

BE2

ABE60，

EBC906030，

30π22π

S阴影．

3603

π

故答案为：．

3

【点睛】本题考查了由特殊角的三角函数值求角度数，矩形的性质，扇形的面积的计算，综合掌握以上知

识点并熟练运用是解题的关键．

例3（2021·山东菏泽·统考中考真题）在矩形ABCD中，BC3CD，点E，F分别是边AD、BC上的

动点，且AECF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．

（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PEPF；

（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；

（3）当AB5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．

10

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．

3

【分析】（1）分别根据平行线的性质及折叠的性质即可证得∠DEF＝∠EFB，∠DEF＝∠HEF，由此等量

第11页共77页.

代换可得∠HEF＝∠EFB，进而可得PE＝PF；

（2）连接PM，ME，MF，先证RtPHM≌RtPBM（HL），可得∠EPM＝∠FPM，再证EPM≌FPM

（SAS），由此即可得证；

1

（3）连接AC，交EF于点O，连接OG，先证明EAO≌FCO（AAS），由此可得OC＝AC＝5，进而

2

根据折叠可得OG＝OC＝5，由此得到点G的运动轨迹为圆弧，再分别找到点G的起始点和终点便能求得

答案．

【详解】（1）证明：∵在矩形ABCD中，

∴AD//BC，AB＝CD；

∴∠DEF＝∠EFB，

∵折叠，

∴∠DEF＝∠HEF，

∴∠HEF＝∠EFB，

∴PE＝PF；

（2）证明：连接PM，ME，MF，

∵在矩形ABCD中，

∴AD＝BC，∠D＝∠ABC＝∠PBA＝90°，

又∵AE＝CF，

∴AD－AE＝BC－CF，

即：DE＝BF，

∵折叠，

∴DE＝HE，∠D＝∠EHM＝∠PHM＝90°，

∴BF＝HE，∠PBA＝∠PHM＝90°，

第12页共77页.

又∵由（1）得：PE＝PF，

∴PE－HE＝PF－BF，

即：PH＝PB，

在RtPHM与RtPBM中，

PHPB

，

PMPM

∴RtPHM≌RtPBM（HL），

∴∠EPM＝∠FPM，

在EPM与FPM中，

PEPF

EPMFPM，

PMPM

∴EPM≌FPM（SAS），

∴ME＝MF，

∴点M在线段EF的垂直平分线上；

（3）解：如图，连接AC，交EF于点O，连接OG，

∵AB＝CD＝5，BC3CD，

∴BC＝53，

∴在RtABC中，AC＝AB2BC2＝10，

∵AD//BC，

∴∠EAO＝∠FCO，

在EAO与FCO中，

第13页共77页.

AECF

EAOFCO，

AOECOF

∴EAO≌FCO（AAS），

1

∴OA＝OC＝AC＝5，

2

又∵折叠，

∴OG＝OC＝5，

当点E与点A重合时，如图所示，此时点F，点G均与点C重合，

当点E与AD的中点重合时，如图所示，此时点G与点B重合，

∵O为定点，OG＝5为定值，

∴点G的运动路线为以点O为圆心，5为半径的圆弧，且圆心角为∠BOC，

BC

在RtABC中，tan∠BAC＝＝3，

AB

∴∠BAC＝60°，

∵OA＝OB＝OC＝OG，

∴点A、B、C、G在以点O为圆心，5为半径的圆上，

∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，

120510

∴BC的长为＝，

1803

第14页共77页.

10

∴点G运动的路线长为．

3

【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定及性质、圆的相关概念及性质，弧长公

式的应用，第（3）问能够发现OG＝5是解决本题的关键．

【变式1】（2022·山东滨州·统考一模）如图，在半径为6的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC

1

上一点，sinD=,则BC的长为（）

2

79

A．63B．43C．3D．3

32

【答案】A

【分析】设BC与OA交于E点，根据点A是劣弧BC的中点，得到AC=AB，继而得到∠COA=∠AOB，

1

根据sinD，得出锐角∠D=30°，再同一段弧其所对圆心角是其所对应圆周角的两倍，得到∠COA=2∠D，

2

∠COA=60°=∠AOB，再得到∠OCB=∠OBC=30°，因为∠OEC=180°-∠OCB-∠COA=90°，可知△OEC是直

角三角形，利用特殊角即可求出CE，再同理求出BE，即可求出BC．

【详解】设BC与OA交于E点，

∵点A是劣弧BC的中点，

∴AC=AB，

∴圆心角∠COA=∠AOB，

第15页共77页.

1

∵sinD，

2

∴锐角∠D=30°，

∵同一段弧其所对圆心角是其所对应圆周角的两倍，即∠COA=2∠D，

∴∠COA=60°=∠AOB，

又∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC=30°，

∴∠OEC=180°-∠OCB-∠COA=90°，即△OEC是直角三角形，

∵OC=6，∠OCB=∠OBC=30°，

3

∴CE=OC=33，

2

同理可求出BE=33，

∴BC=CE+EB=63，

故选：A．

1

【点睛】本题考查了锐角三角函数、圆心角与圆周角的关系、解直角三角形等知识．依据sinD得到

2

∠D=30°再得到∠COA=2∠D，∠COA=60°=∠AOB是解答本题的关键．

【变式2】（2022·山东·统考二模）如图，已知在矩形ABCD中，AB1,BC3，点P是AD边上的一个

动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到

点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（）

3333

A．B．C．D．2

42

【答案】B

【分析】先判断出点Q在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上

运动，找到当点P与点A重合时，点P与点D重合时，点C1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形

的面积公式求解即可．

【详解】解：设BP与CC1相交于Q，则∠BQC=90°，

第16页共77页.

∴当点P在线段AD运动时，点Q在以BC为直径的圆弧上运动，

延长CB到E，使BE=BC，连接EC，

∵C、C1关于PB对称，

∴∠EC1C=∠BQC=90°，

∴点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，

当点P与点A重合时，点C1与点E重合，

当点P与点D重合时，点C1与点F重合，

PCAB13

此时，tanPBC，

BCBC33

∴∠PBC=30°，

133

∴∠FBP=∠PBC=30°，CQ=BC，BQ=3CQ，

222

13333

∴∠FBE=180°-30°-30°=120°，SCCBQ，

BCF21224

2

线段扫过的区域的面积是120333．

CC1S

360BCF4

故选：B．

【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等

知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键．

第17页共77页.

【变式3】（2021·贵州遵义·统考一模）在综合实践课上，某学习小组要测量塔的高度，在测量过程中，结

合图形进行了操作（如图所示）．在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30°，从C点向塔底

B走80m到达D点，测出塔顶的仰角为45°，那么塔AB的高为____________m（计算结果精确到0.1m，参

考数据：21.41，31.73）．

【答案】109.2

ABAB

【分析】在Rt△ABD中，BD，在Rt△ABC中，BC，再根据CD=BC-BD=80即可

tanADBtanACB

求解．

【详解】根据题意可知AB⊥BC，

AB

∴在Rt△ABD中，BD，

tanADB

AB

在Rt△ABC中，BC，

tanACB

∵∠ADB=45°，∠ACB=30°，

ABABABAB

∴BDAB，BC3AB，

tan∠ADBtan∠45otan∠ACBtan∠30o

∵CD=80，

∴CD=BC-BD=3ABAB80，

80

∴AB40340401.7340109.2（m），

31

故塔高109.2米，

故答案为：109.2．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解仰角的含义并熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．

【变式4】．（2022·吉林长春·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连结AO，过点A

作ABx轴于点B，AB3，OB1，把ABO绕点O逆时针旋转120后，得到A1B1O，则点A1的坐标

为______．

第18页共77页.

【答案】(2,0)

【分析】根据勾股定理可得OA，根据特殊三角比求出∠AOB=60°，可知△ABO绕点O逆时针旋转120后

OA的对应边OA1位于x轴上，继而可得答案．

【详解】解：∵ABx轴于点B，AB3，OB1，

AB2

∴tanAOB3，OAOB2AB21232

OB

∴AOB60，

∴把ABO绕点O逆时针旋转120后，得到如下图A1B1O，

∵OA2，

∴OA1OA2，

∴点A1的坐标为(2,0)，

故答案为：（-2，0）

【点睛】本题主要考查旋转变换下坐标与图形的变化，解直角三角形得出OA的长是解题的根本，根据△ABO

绕点O逆时针旋转120°后OA的对应边OA1位于x轴上是解题的关键．

【变式5】（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30方向，距离小岛20

千米的点A处，它沿着点A的南偏东15的方向航行．

第19页共77页.

(1)渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？

(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行106千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛

B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少．（结

果精确到1千米，参考数据21.41,31.73,62.45）

【答案】(1)102km；

(2)从B处沿南偏东45出发，最短行程202km．

【分析】（1）过B点作AC的垂线BD交AC于点D，则AD为所求，根据已知条件得到BAD45即可解

答；

（2）根据特殊角的锐角三角函数值得到C30，DBC60，从而求出BC的长度，再求出DBE的度

数，即可得到EBC的度数．

【详解】（1）解：过B点作AC的垂线BD交AC于点D，

∵垂线段最短，AC上的D点距离B点最近，AD即为所求，

由题意可知：BAF30，CAF15，

2

∴BAD45,ADBDABsin4520102km，

2

∴渔船航行102km时，距离小岛B最近．

第20页共77页.

BD1023

（2）解：在RtBDC中，tanC，

DC1063

C30，DBC60，

BD

BC202km，

sin30

∵ABD45，ABE903060，

DBE15，

EBCDBCDBE45o．

答：从B处沿南偏东45出发，最短行程202km．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相

关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

核心考点三锐角三角函数的增减性

例1（2020·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1Lcos，阻力臂L2lcos，

如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）

A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定

第21页共77页.

【答案】A

【分析】根据杠杆原理及cos的值随着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．

【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，

∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，

∴动力随着动力臂的增大而减小，

∵杠杆向下运动时的度数越来越小，此时cos的值越来越大，

又∵动力臂L1Lcos，

∴此时动力臂也越来越大，

∴此时的动力越来越小，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本

题的关键．

例2（2022·陕西西安·交大附中分校校考三模）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，E为AD

上一点，若AC45，OE2，则AB的最大值为__________．

【答案】4

ABABOF

【分析】设ACB，则OAE，根据sin，sin，根据正弦的增减性可得，当OF

AC45AO

最大值，AB取得最大值，进而即可求解．

【详解】设ACB，则OAE，

ABAB

则sin

AC45

OF

过点OFAD，则sin

AO

OE2，当E点与F点重合时，OF取得最大值，此时最大，则sin最大，即AB取得最大值，

2AB

此时，AB4

2545

第22页共77页.

AB的最大值为4

故答案为：4

【点睛】本题考查了矩形的性质，正弦的增减性，掌握三角函数的关系，矩形的性质是解题的关键．

例3（2021·浙江宁波·统考一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC4m．

（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，

求滑梯的高AC；

（2）若规定滑梯的倾斜角（ABC）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符

合安全要求？

【答案】（1）2米；（2）符合

【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可；

（2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可．

AC1.8

【详解】解：（1），

10.9

AC2m，

答：滑梯高AC为2米；

（2）∵AC=2m,BC=4m，

AC213

∴tanABCtan30，

BC423

∵正切值随着角的增大函数值增大，

ABC30，

这架滑梯的倾斜角符合安全要求．

【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比

例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键．

第23页共77页.

1.三角函数值的变化规律

①当角度A在0°—90°间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

②当角度A在0°—90°间变化时，余弦值和余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

【变式1】（2020·甘肃张掖·统考模拟预测）若090，则下列说法不正确的是（）

A．sin随的增大而增大B．cos随的减小而减小C．tan随的增大而增大

D．0<sin<1

【答案】B

【分析】如图，作半径为1的O,CDEF，CD,EF均为直径，BHOC,AGOC,A,B都在O上，利

用锐角三角函数的定义分析可得答案．

【详解】解：如图，作半径为1的O,CDEF，CD,EF均为直径，BHOC,AGOC,

A,B都在O上，

OAOB1,

BHAG

由sinBOHBH,sinAOGAG,

OBOA

显然，BOH＜AOG，而BH＜AG，

所以当090时，sin随的增大而增大，故A正确；

同理可得：

第24页共77页.

当090时，cos随的减小而增大，故B错误；

当090时，tan随的增大而增大，故C正确；

当AOG，当点A逐渐向F移动，边AG逐渐接近OA，

AG

sinsinAOG逐渐接近1.

OA

当090时，0<sin<1，故D正确；

故选B．

【点睛】本题考查的是锐角的正弦，余弦，正切的增减性，掌握利用辅助圆理解锐角三角函数的增减性是

解题的关键．

【变式2】．（2022·上海·校考模拟预测）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（）

13

A．0sinAB．0cosA

22

3

C．tanA1D．1cotA3

3

【答案】A

【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答即可．

【详解】解：∵0°＜25°＜30°

1

∴0sin25

2

1

∴0sinA．

2

故选A．

【点睛】本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°~90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或

减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的

增大（或减小）而增大（或减小）．

【变式3】（2020·内蒙古·统考二模）在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为_____，

写出sin70º、cos40º、cos50º的大小关系__________．

AC

【答案】cosA=sin70º＞cos40º＞cos50º

AB

【分析】根据余弦的定义即可确定答案；根据sin70°=cos20°且正弦随角度的增大而增大，余弦随角度的增

大而减小即可确定大小关系．

【详解】解：∵直角三角形ABC中，角C为直角

∴BC为斜边，AC为直角边且为∠A的一边

第25页共77页.

AC

∴余弦的定义为cosA=；

AB

∵sin70°=cos20°且正弦在锐角范围内随角度的增大而增大，余弦在锐角范围内随角度的增大而减小

∴sin70º==cos20º＞cos40º，cos40º＞cos50º

∴sin70º＞cos40º＞cos50º．

AC

故答案为cosA=，sin70º＞cos40º＞cos50º．

AB

【点睛】本题考查了余弦函数的定义和正弦、余弦函数的增减性，掌握正弦在锐角范围内为增函数

、余弦在锐角范围内为减函数是解答本题的关键．

【变式4】（2022·江苏宿迁·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A0,3，点O平分BC，BC23，

点E、D分别在BA、CA上运动，且AECD，连接CE、BD交于点P，点F23,1，连接PF，则PFC

度数的最大值为__________．

【答案】30°##30度

【分析】根据已知条件证明△AEC≌△CDB，BPC120，求得点P的轨迹，延长FC交y轴于点Q，以

Q为圆心，QC为半径作圆，交y轴于点M，连接FM，过点QNFP，交FP的延长线于点N，连接

OB,OB,OP，根据正弦的增减性判断当PF与Q相切时候，PFC度数最大．

【详解】点A0,3，点O平分BC，BC23，

OBOC3，

AOBC，

ABAC，

在RtAOC中，AO3,OC3，

AO3

tanACO3，

OC3

ACO60=BAC，

ABC是等边三角形，

第26页共77页.

ACBC，

在△AEC与△CDB中，

AECD

EACDCB，

ACBC

AEC≌CDB，

ACEDBC，

ACEECB60，

DBCECBACEECB60，

BPC120，

延长FC交y轴于点Q，以Q为圆心，QC为半径作圆，交y轴于点M，连接FM，过点Q作QNFP，交

FP的延长线于点N，连接OB,OP，如图，

F23,1,C3,0，

设直线FC的解析式为ykxb，

23kb1

则，

3kb0

3

k

解的3，

b1

Q0,1，

OC

tanOQC3，

OQ

第27页共77页.

OQC60，

BQC120，

优弧BC=240，

BPC120，

P在Q上，

NQ

设CFP，则sin，

QF

NQ

QF为定值，sin随着QN的增大而增大，即最大时，QN最大，

QF

当QNQM取得最大值，

此时PF与O相切，

90OQF30，

即PFC度数的最大值为30．

故答案为：30．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，正弦的增减性，求得点P的轨迹是解

题的关键．

【变式5】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），

且点P到BA、BC的距离为PE、PF．

(1)若EBP40，FBP20，PBm，试比较PE、PF的大小；

(2)若EBP，FBP，，都是锐角，且．试判断PE、PF的大小，并给出证明．

【答案】(1)PEPF

(2)PEPF，理由见解析

【分析】（1）根据三角函数的定义，分别表示出PE,PF，进而根据角度比较函数值的大小即可求解；

（2）同（1）的方法，即可求解．

第28页共77页.

PE

【详解】（1）解：在Rt△BPE中，sinEBPsin40，

BP

PEBPsin40，

PF

在RtBPF中，sinFBP