专题20 与圆有关的位置关系（5大考点）（解析版）

第五部分圆

专题20与圆有关的位置关系（5大考点）

核心考点一点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

核心考点二圆的切线的判定

核心考点核心考点三圆的切线的性质

核心考点四与切线的判定和性质有关的问题

核心考点五三角形的内切圆

新题速递

核心考点一点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

例1（2021·湖南娄底·统考中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当

5

⊙A与直线l:yx只有一个公共点时，点A的坐标为（）

12

A．(12,0)B．(13,0)C．(12,0)D．(13,0)

【答案】D

55

【分析】当⊙A与直线l:yx只有一个公共点时，则此时⊙A与直线l:yx相切，（需考虑左右两侧

1212

5

相切的情况）；设切点为B，此时B点同时在⊙A与直线l:yx上，故可以表示出B点坐标，过B点作

12

BC//OA，则此时△AOB∽△OBC，利用相似三角形的性质算出OA长度，最终得出结论．

【详解】如下图所示，连接AB，过B点作BC//OA，

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5

此时B点坐标可表示为x,x，

12

5

∴OCx，BCx，

12

2

222513

在RtOBC中，OBBCOCxxx，

1212

又∵A半径为5，

∴AB5，

∵BC//OA，

∴△AOB∽△OBC，

OAABOB

则，

BOOCBC

OA5

=

∴135，

xx

1212

∴OA=13，

∵左右两侧都有相切的可能，

∴A点坐标为(13,0)，

故选：D．

【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．

例2（2020·上海·统考中考真题）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为

2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____．

1020

【答案】＜AO＜．

33

【分析】根据勾股定理得到AC=10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，证明△AOE∽△ACD即

可求出与AD相切时的AO值；如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，证明△COF∽△CAB即可求

出BC相切时的AO值，最后即可得到结论．

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【详解】解：在矩形ABCD中，∵∠D=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，

如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，

则OE⊥AD，∴OE//CD，

∴△AOE∽△ACD，

OEAO

∴，

CDAC

AO2

∴，

106

10

∴AO=；

3

如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，

则OF⊥BC，∴OF//AB，

∴△COF∽△CAB，

OCOF

∴，

ACAB

OC2

∴，

106

10

∴OC=，

3

20

∴AO=，

3

1020

∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO＜．

33

1020

故答案为：＜AO＜．

33

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解

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题的关键．

例3（2022·四川凉山·统考中考真题）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B

两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6

(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；

(2)求AB的长；

(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．

【答案】(1)⊙M与x轴相切，理由见解析

(2)6

1

(3)yx2

2

【分析】（1）连接CM，证CM⊥x即可得出结论；

（2）过点M作MN⊥AB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5-x，

MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；

（3）连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所

以OB=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=45，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，

由勾股定理，即可求得CD，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，从而得出点

D坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可．

【详解】（1）解：⊙M与x轴相切，理由如下：

连接CM，如图，

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∵MC=MA，

∴∠MCA=∠MAC，

∵AC平分∠OAM，

∴∠MAC=∠OAC，

∴∠MCA=∠OAC，

∵∠OAC+∠ACO=90°，

∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，

∵MC是⊙M的半径，点C在x轴上，

∴⊙M与x轴相切；

（2）解：如图，过点M作MN⊥AB于N，

由（1）知，∠MCO=90°，

∵MN⊥AB于N，

∴∠MNO=90°，AB=2AN，

又∵∠CON=90°，

∴四边形OCMN是矩形，

∴MN=OC，ON=CM=5，

∵OA+OC=6，

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设AN=x，

∴OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，

在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得

x2+(1+x)2=52，

解得：x1=3，x2=-4（不符合题意，舍去），

∴AN=3，

∴AB=2AN=6；

（3）解：如图，连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，

由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，

∴OB=8，C（4，0）

在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，得

BC=OB2OC2824245，

∵BD是⊙M的直径，

∴∠BCD=90°，BD=10，

在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，得

2

CD=BD2BC21024525，即CD2=20，

在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD2=CD2-CP2=20-CP2，

在Rt△MPD中，由勾股定理，得PD2=MD2-MP2=MD2-（MC-CP）2=52-（5-CP）2=10CP-CP2，

∴20-CP2=10CP-CP2，

∴CP=2，

∴PD2=20-CP2=20-4=16，

∴PD=4，即D点横坐标为OC+PD=4+4=8，

∴D（8,-2），

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设直线CD解析式为y=kx+b，把C（4,0），D（8,-2）代入，得

1

4kb0k

，解得：2，

8kb2

b2

1

∴直线CD的解析式为：yx2．

2

【点睛】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，待定系数法求一次函

数解析式，熟练掌握直线与圆相切的判定、待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．

1、点和圆的位置关系

点和圆的点到圆心的距离与半径的关系

图示

位置关系文字语言符号语言

圆内各点到圆心的距离都小于半径，

点在圆内点P在圆内d<r

到圆心的距离小于半径的点都在圆内

圆内各点到圆心的距离都等于半径，

点在圆上点P在圆上d=r

到圆心的距离等于半径的点都在圆上

圆内各点到圆心的距离都大于半径，

点在圆外点P在圆外d>r

到圆心的距离大于半径的点都在圆外

2、直线和圆的位置关系

1.设⊙的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：

OrOld

位置关系图形定义性质及判定

相离rO直线与圆没有公共点dr直线l与⊙O相离

dl

r直线与圆有唯一公共点，直线叫做

相切Odr直线l与⊙O相切

dl圆的切线，公共点叫做切点

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r直线与圆有两个公共点，直线叫做

相交直线与⊙相交

dOdrlO

l圆的割线

从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：

直线和圆的位置关系相交相切相离

公共点个数210

圆心到直线的距离d与半径r的关系drdrdr

公共点名称交点切点—

直线名称割线切线—

3、圆和圆的位置关系的定义、性质及判定

⊙、⊙

设O1O2的半径分别为R、r（其中Rr），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：

位置关系图形定义性质及判定

rR两个圆没有公共点，并且每个圆上的

外离两圆外离

OdRr

1O2点都在另一个圆的外部．

两个圆有唯一公共点，并且除了这个

rR

外切公共点之外，每个圆上的点都在另一dRr两圆外切

O1O2

个圆的外部．

相交两个圆有两个公共点．RrdRr两圆相交

O1O

R2

两个圆有唯一公共点，并且除了这个

r

O

内切1O2公共点之外，一个圆上的点都在另一dRr两圆内切

R

个圆的内部．

两个圆没有公共点，并且一个圆上的

R

内含O点都在另一个圆的内部，两圆同心是0dRr两圆内含

rO12

两圆内含的一种特例．

说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离

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与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．

【变式1】（2022·上海松江·校考三模）已知ABC，AB10cm，BC6cm，以点B为圆心，以BC为半径画

圆B，以点A为圆心，半径为r，画圆A．已知A与B外离，则r的取值范围为（）

A．0r4B．0r4C．0r4D．0r4

【答案】C

【分析】设B半径为Rcm，则R6cm，根据两圆外离的条件得到ABrR，从而得到r的范围．

【详解】解：设B半径为Rcm，则RBC6cm，

A与B外离，

ABrR，

rABR，

即r4，

r0，

0r4．

故选：C．

【点睛】本题考查圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为R，r，两圆外离dRr；

两圆外切dRr；两圆相交RrdR（rRr）；两圆内切dR（rRr）；两圆内含

dR（rRr）．

3

【变式2】（2022·江苏无锡·统考一模）如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是

4

以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则PAB面积的最小值是（）

△

119

A．6B．C．5D．

22

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【答案】B

【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，

1131611

×AB×CM=×OA×BC，可知圆C上点到直线y=x-3的最短距离是1，由此求得答案．

22455

3

【详解】解：∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点，

4

∴当x=0时，y=-3；y=0时，x=4

∴OB=3；OA=4

由勾股定理得，ABOA2OB25

∵C（0，1）

∴OC1

∴BC=OB+OC=3+1=4

过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图，

11

则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，

22

∴5×CM=16，

16

∴CM=，

5

31611

∴圆C上点到直线y=x-3的最小距离是1，

455

11111

∴△PAB面积的最小值是×5×=，

252

故选：B．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是

求出圆上的点到直线AB的最小距离．

【变式3】（2022·上海青浦·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,A90，E是AD上一定

点，AB3,BC6,AD8,AE2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E

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为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是__．

15

【答案】PC4或PC3

4

【分析】根据题意可得PC的最小值为圆P与AD相切，切点为M；PC最大值为圆P与圆E内切，切点为

Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．

【详解】解：根据题意可知：PC的最小值为圆P与AD相切，切点为M，如图所示：

∴PMAD，

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，

∴ABCA90，

∴四边形ABPM是矩形，

∴PMABPC3，

PC最大值为圆P与圆E内切，切点为Q，

∴PCPQPEEQ314，

当PCPA时，此时圆P与线段AD开始有2个交点，不符合题意，

设PCPAx，则BPBCPC6x,AB3，

2

∴6x9x2，

15

∴x，

4

15

则PC长度的取值范围是PC4或PC3．

4

第11页共91页.

15

故答案为：PC4或PC3．

4

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与

圆的位置关系，圆与圆的位置关系．

4

【变式4】（2022·上海浦东新·统考二模）如图，在RtABC中，ACB90,cosA,CD为AB边上的中

5

线，CD5，以点B为圆心，r为半径作B．如果B与中线CD有且只有一个公共点，那么B的半径r

的取值范围为_______．

2424

【答案】5r6或r##r或5r6

55

【分析】根据直线与圆的位置关系，判断出符合题意的B的半径r的取值范围的临界值并求解即可；

【详解】解：在RtABC中，ACB90，CD为AB边上的中线，CD5，

∴AB10，CDBD5，

AC4

∵cosA，

AB5

∴AC8，

∴BCAB2AC2102826，

24

∴CD边的高682225，

5

∵B与中线CD有且只有一个公共点，

24

∴B的半径r的取值范围为5r6或r．

5

24

故答案为：5r6或r．

5

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的面积、直角三角形斜边上的中线、解直角三角形等知

识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由三角函数求出BC是解决问题的关键．

【变式5】（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别为边AB，BC，AD上

的点，且AEBFDG，连接EF，GE，GF．

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(1)△BEF可以看成是AGE绕点M逆时针旋转角所得，请在图中画出点M，并直接写出角的度数；

(2)当点E位于何处时，EFG的面积取得最小值？请说明你的理由；

(3)试判断直线CD与EFG外接圆的位置关系，并说明你的理由．

【答案】(1)见解析

(2)当点E位于AB的中点时，EFG面积取得最小值，理由见解析

(3)：当点E位于AB的中点时，直线CD与EFG外接圆相切；当点E位于AB的非中点时，直线CD与EFG

外接圆相交．理由见解析

【分析】（1）根据正方形的性质与旋转的性质，连接BD交GF于点M，则点M即为旋转中心；

（2）先证明RtGAE≌RtEBFSAS，得GEFE，AEGBFE，得到EFG是等腰直角三角形，再

2

根据勾股定理与三角形面积公式得到12122112，然后利用二次函数的

SEFGGEAGAExaa

2224

最值求解即可；

（3）分两种情况：当点E位于AB的中点时，直线CD与EFG外接圆相切；当点E位于AB的非中点时，

直线CD与EFG外接圆相交．分别说明理由即可．

【详解】（1）解：如图1，连接BD交GF于点M，则点M即为所求，

∴旋转角AMB90；

（2）解：当点E位于AB的中点时，EFG面积取得最小值．

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理由：设正方形的边找为a，AEBFDGx，则AGax，

在RtGAE和Rt△EBF中，

GAEB

DABABC，

AEBF

∴RtGAE≌RtEBFSAS，

∴GEFE，AEGBFE，

∴EFG是等腰直角三角形，

2

∴12122112，

SEFGGEAGAExaa

2224

1

∴当xa时，即点E位于AB的中点时，面积最小，

2

（3）解：当点E位于AB的中点时，直线CD与EFG的外接圆相切．

理由：设GF的中点为O，连接OE，如图2，

1

∴OEGF，

2

当点E位于AB的中点时，点G于AD的中点，点F于CB的中点，

∴GFCDAD，

1

∴OEAD，

2

1

∴当O到CD的距离为AD，

2

∴直线CD与EFG外接圆相切；

当点E位于AB的非中点时，直线CD与EFG外接圆相交，

理由：当点E位于AB的非中点时，GFCD，

∴O到CD的距离OE

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∴直线CD与EFG外接圆相交．

综上当点E位于AB的中点时，直线CD与EFG外接圆相切；当点E位于AB的非中点时，直线CD与EFG

外接圆相交．

【点睛】本踢考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，切线的判定，证明

RtGAE≌RtEBF是解题的关键．

核心考点二圆的切线的判定

例1（2020·浙江·统考中考真题）如图，已知OT是RtABO斜边AB上的高线，AO=BO．以O为圆心，

OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，△交AB于点D．则下列结论中错误的是（）

A．DC=DTB．AD=2DTC．BD=BOD．2OC=5AC

【答案】D

【分析】根据切线的判定知DT是⊙O的切线，根据切线长定理可判断选项A正确；可证得ADC是等腰

直角三角形，可计算判断选项B正确；根据切线的性质得到CD=CT，根据全等三角形的性质△得到

∠DOC=∠TOC，根据三角形的外角的性质可判断选项C正确；

【详解】解：如图，连接OD．

∵OT是半径，OT⊥AB，

∴DT是⊙O的切线，

∵DC是⊙O的切线，

∴DC=DT，故选项A正确；

∵OA=OB，∠AOB=90°，

第15页共91页.

∴∠A=∠B=45°，

∵DC是切线，

∴CD⊥OC，

∴∠ACD=90°，

∴∠A=∠ADC=45°，

∴AC=CD=DT，

∴AD=2CD=2DT，故选项B正确；

∵OD=OD，OC=OT，DC=DT，

∴△DOC≌△DOT（SSS），

∴∠DOC=∠DOT，

∵OA=OB，OT⊥AB，∠AOB=90°，

∴∠AOT=∠BOT=45°，

∴∠DOT=∠DOC=22.5°，

∴∠BOD=∠ODB=67.5°，

∴BO=BD，故选项C正确；

∵OA=OB，∠AOB=90°，OT⊥AB，

设⊙O的半径为2，

∴OT=OC=AT=BT=2，

∴OA=OB=22，

AC2222

∴21，

OC25

2OC5AC故选项D错误；

故选：D．

【点睛】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正

确的识别图形、灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

例2（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿

OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是

_____米．

第16页共91页.

【答案】203

【分析】先证OB是⊙F的切线，切点为E，当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，由直角三角形

的性质可求解．

【详解】解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，

∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，

∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，

∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，

∴EF＝20m，OE＝3EF＝203m，

∴EF＝MF，

又∵EF⊥OB，

∴OB是⊙F的切线，切点为E，

∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，

此时OP＝203m，

故答案为：203．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，切线的判定，直角三角形的性质，证明OB是⊙F的切线是解题

的关键．

例3（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，ABC是O的内接三角形，ACB60，AD经过圆心O交

O于点E，连接BD，ADB30．

第17页共91页.

(1)判断直线BD与O的位置关系，并说明理由；

(2)若AB43，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)直线BD与O相切，理由见解析

8

(2)图中阴影部分的面积83

3

【分析】（1）连接BE，根据圆周角定理得到AEBC60，连接OB，根据等边三角形的性质得到

BOD60，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）根据圆周角定理得到ABE90，解直角三角形得到OB，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】（1）解：直线BD与O相切，

理由：如图，连接BE，

∵ACB60，

∴AEBC60，

连接OB，

∵OBOC，

∴△OBE是等边三角形，

∴BOD60，

∵ADB30，

∴OBD180603090，

∴OBBD，

∵OB是O的半径，

∴直线BD与O相切；

（2）解：如（1）中图，

第18页共91页.

∵AE是O的直径，

∴ABE90，

∵AB43，

AB433

∴sinAEBsin60，

AEAE2

∴AE8，

∴OB4，

∵OBBD，ADB30

OB3

∴tanADBtan30，

BD3

43

∴BD，

3

160428

∴图中阴影部分的面积SS扇形44383．

OBDBOE23603

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，

正确地作出辅助线是解题的关键．

1.切线的判定

（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。

【变式1】（2023·河北邢台·统考一模）如图，已知AB是半圆O的直径，点C，D将AB分成相等的三段弧，

点M在AB的延长线上，连接MD．对于下列两个结论，判断正确的是（）

第19页共91页.

结论I：若OMD30，则MD为半圆O的切线；

结论II：连接AC,CD，则ACD130

A．I和II都对B．I对II错C．I错II对D．I和II都错

【答案】B

1

【分析】连接OD，OC，先得出ACDCDB，AOCDOB18060，进而得出ODM90，

3

MD为半圆O的切线；连接AC,CD，再证明AOC，△DOC是等边三角形，即可得出ACD120．

【详解】连接OD，OC，

∵点C，D将AB分成相等的三段弧，

∴ACDCDB，

1

∴AOCDOB18060，

3

∵OMD30，

∴ODM90，

∵OD是半径，

∴MD为半圆O的切线，故I对，

连接AC,CD，

∵OD，OC是半径，AOCCOD60，

∴AOC，△DOC是等边三角形，

∴ACODCO60，

∴ACD120，故II错，

故选：B．

【点睛】本题考查切线的判定，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．

【变式2】（2022·内蒙古包头·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，

第20页共91页.

过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝DC，连接BE．对于下列结论：

①BD＝DC；②△CAB∽△CDE；③BD＝AD；④BE为⊙O的切线，

其中一定正确的是（）

A．①②B．①②③C．①④D．①②④

【答案】D

【分析】根据圆周角定理和AB=AC可得结论①；根据等边对等角和平行线的性质可得∠ABC＝∠ACB＝

∠DCE＝∠DEC，可得结论②；无法确定∠BAC=90°，③不一定正确；由DB＝DC＝DE可得点E在以BC

为直径的圆上，于是∠BEC＝90°，由AB∥CE即可得结论④；

【详解】解：∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

而AB＝CA，

∴BD＝DC，所以①正确；

∵AB＝CA，

∴∠ABC＝∠ACB，

而CD＝ED，

∴∠DCE＝∠DEC，

∵CF∥AB，

∴∠ABC＝∠DCE，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠DCE＝∠DEC，

∴△CBA∽△CED，所以②正确；

∵△ABC不能确定为直角三角形，

∴∠ABC不能确定等于45°，

第21页共91页.

∴BD与AD不能确定相等，所以③不一定正确；

∵DB＝DC＝DE，

∴点E在以BC为直径的圆上，

∴∠BEC＝90°，

∴CE⊥BE，

而CF∥AB，

∴AB⊥BE，

∴BE为⊙O的切线，所以④正确；

综上所述①②④正确，

故选：D．

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，切线的判定等知识；掌握相关

性质和判定方法是解题关键．

【变式3】（2022·河北保定·校考一模）已知，如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，A（1，0），

AB＝2．

（1）点C坐标为_____．

（2）若y轴上存在点M，使得∠AMB＝∠BCA，则这样的点有_____个．

【答案】（3，23）2

【分析】（1）先根据含30度直角三角形的性质得到AC的长，进而求出BC的长即可得到点C的坐标；

（2）如图所示，取AC中点E，过点E作EF⊥AB于F，EG⊥y轴于G，则四边形EFOG是矩形，证明圆

E与y轴相切，即圆E与y轴只有一个交点，再由圆周角定理得到∠AGB=∠ACB，即当点M与点G重合时

满足题意，据此即可得到答案．

【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，

∴∠C=30°，

∴AC2AB4，

第22页共91页.

∴BCAC2AB223，

又∵OA=1，

∴OB=OA+AB=3，

∴点C的坐标为（3，23），

故答案为：（3，23）

（2）如图所示，取AC中点E，过点E作EF⊥AB于F，EG⊥y轴于G，则四边形EFOG是矩形，

∴EG=OF，

∵E是AC的中点，

1

∴AEAC2，

2

同理可得∠AEF=30°，

1

∴AFAE1，

2

∴GE=OF=OA+AF=2，

又∵EG⊥y轴，

∴圆E与y轴相切，即圆E与y轴只有一个交点，

∵当以E为圆心，2为半径画圆时，点A、B、C、G都在圆E上，

∴∠AGB=∠ACB，即当点M与点G重合时满足题意，

∴此情形下只有一个点满足题意，

由对称性可知当M在y轴下方时也有一个点满足题意，

∴一共有2个点满足题意，

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，圆切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形

的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．

【变式4】（2021·天津河北·统考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点A、B、

第23页共91页.

C均落在格点上．

（I）ABC的面积为________；

（II）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的M与AB

相切，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________．

【答案】6作∠ABC的角平分线BD交AC与M，则点M即为所求

【分析】（I）利用三角形面积公式求解即可；

（II）计算得到AB=5，取格点E，连接AE，取AE中点D，连接BD，利用等腰三角形的性质即可得到BD

是∠ABC的角平分线．

【详解】（I）由图中可判断ΔABC为直角三角形，直角边为AC，BC，分别长为3，4，

1

则S=34=6

ABC2

故答案为：6；

（II）由题M为圆心的圆与AB相切且MC为半径，作∠ABC的角平分线，则有MC=MP且MP⊥AB，则M

与AB相切

第24页共91页.

故答案为：作∠ABC的角平分线BD交AC与M，则点M即为所求．

【点睛】本题考查三角形的面积、角平分线的性质、切线的判定，熟练掌握相关性质定理是关键

【变式5】（2023·陕西西安·校考二模）如图，以ABC的一边AB为直径作O，O与BC边的交点恰好为

BC的中点D，与AC边的交点为F，过点D作DEAC于点E．

(1)求证：直线DE是O的切线；

(2)若AB5，tanACB2，求弦AF的长度．

【答案】(1)见解析

(2)3

【分析】（1）连接OD，如图，先证明OD为ABC的中位线，则OD∥AC，由于DEAC，所以ODDE，

于是可根据切线的判定定理得到直线DE是O的切线；

（2）连接AD，根据圆周角定理得到AFBCFBADB90，证明AD垂直平分BC，得到ACAB5，

第25页共91页.

BF

根据三角函数的定义得到2，设AFx，在△ABF中，利用勾股定理列出方程，解之即可．

CF

【详解】（1）解：证明：连接OD，如图，

点O为AB的中点，点D为BC的中点，

OD为ABC的中位线，

OD∥AC，

DEAC，

ODDE，

直线DE是O的切线；

（2）连接AD，∵AB是直径，

∴AFBCFBADB90，

∵BDCD，

∴AD垂直平分BC，

∴ACAB5，

BF

∵tanACB2，设AFx，

CF

则CF5x，BF25x，

在△ABF中，AF2BF2AB2，

222

∴x25x5，

解得：x3或x5（舍），

∴AF3．

第26页共91页.

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理和勾股定理以及垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接

圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

核心考点三圆的切线的性质

例1（2022·广东深圳·统考中考真题）如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，ABE90，BC为O

切线，C为切点，CACD,则ABC和CDE面积之比为（）

A．1:3B．1:2C．2:2D．21:1

【答案】B

【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算

即可．

【详解】解：如图取DE中点O，连接OC．

第27页共91页.

∵DE是圆O的直径．

∴DCEDCA90．

∵BC与圆O相切．

∴BCO90．

∵DCABCO90．

∴ACBDCO．

∵ABDACD180．

∴ABDC180．

又∵BDCCDO180．

∴ACDO．

∵ACBDCO，ACDC，ACDO．

∴△ABC△DOC(ASA)．

∴S△ABCS△DOC．

∵点O是DE的中点．

∴S△DOC0.5S△CDE．

∴S△ABC0.5S△CDE．

∴S△ABC:S△CDE1:2

故答案是：1∶2．

故选：B．

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周

角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．

例2（2022·四川泸州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，C90，AC6，BC23，半径为1

第28页共91页.

的O在Rt△ABC内平移（O可以与该三角形的边相切），则点A到O上的点的距离的最大值为________．

【答案】271

【分析】设直线AO交O于M点（M在O点右边），当O与AB、BC相切时，AM即为点A到O上的

点的最大距离．

【详解】设直线AO交O于M点（M在O点右边），则点A到O上的点的距离的最大值为AM的长度

当O与AB、BC相切时，AM最长

设切点分别为D、F，连接OB，如图

∵C90，AC6，BC23

AC

∴tanB3，ABAC2BC243

BC

∴B=60

∵O与AB、BC相切

1

∴OBDB30

2

∵O的半径为1

∴ODOM1

∴BD3OD3

∴ADABDB33

∴OAAD2OD2(33)21227

∴AMOAOM271

第29页共91页.

∴点A到O上的点的距离的最大值为271．

【点睛】本题考查切线的性质、特殊角度三角函数值、勾股定理，解题的关键是确定点A到O上的点的最

大距离的图形．

例3（2022·四川巴中·统考中考真题）四边形ABCD内接于O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与O

相切于点B．

(1)如图1，若PBA30，且EOEA，求证：BA平分PBD；

(2)如图2，连接OB，若DBA2PBA，求证：VOAB∽VCDE．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得PBAABO90，再由PBA30，可得ABO60，

从而得到AOB为等边三角形，再跟等边三角形的性质可得BE平分ABO，即可求证；

（2）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得PBAOBCOCB，从而得到

AOB2OCB2PBA，进而得到AOBACD，再由BAOBDC，即可求证．

【详解】（1）证明：连接OB，

直线PB与O相切于点B，

PBO90，

PBAABO90，

PBA30，

ABO60，

又OAOB，

AOB为等边三角形，

又OEAE，

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