专题29 一线三等角模型（原卷版）

模块二常见模型专练

专题29一线三等角模型

例1（2020·江苏苏州·统考中考真题）问题1：如图①，在四边形ABCD中，BC90，P是BC上一

点，PAPD，APD90．

求证：ABCDBC．

ABCD

问题2：如图②，在四边形ABCD中，B∠C45，P是BC上一点，PAPD，APD90．求

BC

的值．

例2（2021年·吉林长春·中考真题）在ABC中，ACB＝90o，AC＝BC，直线MN经过点C，且ADMN

于D，BEMN于E．

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①ACD≌CEB；

②DE＝AD＋BE．

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝ADBE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，

并加以证明．

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例3（2020年·海南·中考真题）（1）尝试探究：如图①，在ABC中，BAC90，ABAC，AF是过

点A的一条直线，且B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，则图中与线段AD相等的线段是；

DE与BD、CE的数量关系为．

（2）类比延伸：如图②，ABC90，BA=BC，点A，B的坐标分别是(-2，0)，(0，3)，求点C的坐标．

（3）拓展迁移：在（2）的条件下，在坐标平面内找一点P（不与点C重合），使PAB与ABC全等．直

接写出点P的坐标．△

一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。这

个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型

图”。

“一线三等角”的起源

DE绕A点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.

下面分几种类型讨论：

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一、直角形“一线三等角”——“一线三直角”

结论：△ADB∽△CEA

二、锐角形“一线三等角

结论：△ADB∽△CEA∽△CAB

三、钝角形“一线三等角

结论：△ADB∽△CEA∽△CAB

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【变式1】（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC

上一点，且BP＝2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边

始终分别与AB、AC相交，交点为D、E．

(1)求证：△BPD∽△CEP；

(2)是否存在这样的位置，△PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由．

【变式2】（2022·河北唐山·唐山市第十二中学校考一模）如图，抛物线yax2bx3与x轴交于A，B两

点，其中A（－2，0），点D（4，3）为该抛物线上一点．

(1)B点坐标为______；

(2)直线x=n交直线AD于点K，交抛物线于点P，且点P在点K上方，连接PA、PD．

①请直接写出线段PK长（用含n的代数式表示）

②求△PAD面积的最大值；

(3)将直线AD绕点A逆时针旋转90°得到直线l，若点Q是直线l上的点，且∠ADQ=45°，请直接写出点Q

坐标______．

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【变式3】（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛

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物线y=-x22x交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．

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(1)如图1，求点D的坐标；

(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E

作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式；

2

(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=AH，求

3

点P的坐标．

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【变式4】（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，抛物线yax2bx3与x轴交于A2,0，B6,0两

点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为4,3．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为mm0，过点P作PMx轴，垂足为M．PM与直线l交于

点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；

(3)若点Q是y轴上的点，且ADQ45，求点Q的坐标．

【变式5】（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，ABC中BC30，DEF30，且点E为边BC的中

点．将DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，

连结PQ．

(1)如图1，当点Q在线段CA上时，

①求证：BPE∽VCEQ；

②线段BE，BP，CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由；

CQ

(2)当△APQ为等腰三角形时，求的值．

BP

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【培优练习】

1．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且BD4，

ABC60．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（）

A．43B．2C．4D．63

2．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点

D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）

99

A．3B．2C．D．

42

3．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，ABC中，ABAC,BAC90．直线l经过点A，过点B作BEl

于点E，过点C作CFl于点F．若BE2,CF5，则EF__________．

4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y＝﹣x2+4x上有一点B（1，3），点B与点C关于抛物线的

对称轴对称．过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，

以C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，点N的坐标为_____．

5．（2022秋·八年级课时练习）如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的

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顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于72，则OQ的长等于

_____．

6．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，BAC90，ABAC，分别过点B，

C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若BD4cm，CE3cm，求DE的长．

7．（2022春·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：

如图1，BADACBAED90，由12BAD180，2DAED180，可得1D；

BC

又因为ACBAED90，可得△ABC∽△DAE，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等

AC

角”模型．

应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC中，ABAC10，BC12，

点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且APDB．

①求证：△ABP∽△PCD；

②当点P为BC中点时，求CD的长；

拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．

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8．（2022秋·八年级课时练习）如图，在ABC中，ABBC．

（1）如图①所示，直线NM过点B，AMMN于点M，CNMN于点N，且ABC90．求证：

MNAMCN．

（2）如图②所示，直线MN过点B，AM交MN于点M，CN交MN于点N，且AMBABCBNC，

则MNAMCN是否成立？请说明理由．

9．（2022秋·江苏·八年级专题练习）问题背景：（1）如图①，已知ABC中，BAC90，ABAC，直

线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D，E，易证：DE______+______．

（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在ABC中，ABAC，D，A，E三点都在直线m上，

并且有BDAAECBAC，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．

（3）实际应用：如图③，在△ACB中，ACB90，ACBC，点C的坐标为2,0，点A的坐标为6,3，

请直接写出B点的坐标．

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10．（2022秋·八年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，ACB90，ACBC，ADCE，BECE，

垂足分别为D，E，AD2.5cm，DE1.7cm．求BE的长”，请直接写出此题答案：BE的长为________．

（2）探索证明：如图②，点B，C在MAN的边AM、AN上，ABAC，点E，F在MAN内部的射

线AD上，且BEDCFDBAC．求证：ABE≌CAF．

（3）拓展应用：如图③，在ABC中，ABAC，ABBC．点D在边BC上，CD2BD，点E、F在

线段AD上，BEDCFDBAC．若ABC的面积为15，则ACF与BDE的面积之和为________．（直

接填写结果，不需要写解答过程）

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11．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期中）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”

模型的研究学习，解决下列问题：

[模型呈现]如图1，BAD90，ABAD，过点B作BCAC于点C，过点D作DEAC于点E．求

证：BCAE．

[模型应用]如图2，AEAB且AEAB，BCCD且BCCD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所

围成的图形的面积为________________．

[深入探究]如图3，BADCAE90，ABAD，ACAE，连接BC，DE，且BCAF于点F，DE

与直线AF交于点G．若BC21，AF12，则△ADG的面积为_____________．

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12．（2022秋·八年级课时练习）

(1)如图（1），已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，

垂足分别为点D、E.证明△：DE=BD+CE．

(2)如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有

∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意△锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出

证明；若不成立，请说明理由．

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13．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）（1）观察理解：

如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，

求证：△AEC≌△CDB．

（2）理解应用：

如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交

EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．

（3）类比探究：

①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；

②如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至

DE，△AED的面积为．

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14．（2023秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E，在直线m上方

有ABAC，且满足BDAAECBAC．

(1)如图1，当90时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是____________；

(2)如图2，当0180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明

理由；

(3)应用：如图3，在ABC中，BAC是钝角，ABAC，BADCAE,BDAAECBAC，直线m

与CB的延长线交于点F，若BC3FB，ABC的面积是12，求FBD与△ACE的面积之和．

15．（2022秋·八年级课时练习）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥

直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；

（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA

＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；

若不成立，请说明理由．

（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F

为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，

求证：△DEF是等边三角形．

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16．（2021秋·四川达州·九年级统考期中）模型探究：

（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过A作ADED于

点D，过B作BEED于点E．求证：BECD；

模型应用：

（2）已知直线l1:y2x4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，如图2，求直

线l2的函数表达式；

1

（3）如图3，已知点A、B在直线yx4上，且AB42．若直线与y轴的交点为M，M为AB中点．试

2

判断在x轴上是否存在一点C，使得ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形．

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17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直

线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD．

①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：．

②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关

系．

（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若

不成立，写出新结论并进行证明．

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18．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)、B(0,b)分别在坐

标轴的正半轴上．

（1）如图1，若a、b满足(a4)2b30，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限内作等腰直角ABC，

则点C的坐标是________；

（2）如图2，若ab，点D是OA的延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰直

角△BDE，连接AE，求证：ABDAED；

（3）如图3，设ABc，ABO的平分线过点D