专题40 新定义问题（4大考点）（原卷版）

模块三重难点题型专项训练

专题40新定义问题（4大考点）

考查类型一定义新运算

考查类型二新概念的理解与应用

考查类型

考查类型三几何新定义问题

考查类型四函数新定义问题

新题速递

考点类型一定义新运算

1．（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“”为abb2ab，例如3222322，则

关于x的方程(k3)xk1的根的情况，下列说法正⊗确的是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．无法确定

2．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）函数y[x]叫做高斯函数，其中x为任意实数，[x]表示不超过x的最

大整数．定义{x}x[x]，则下列说法正确的个数为()

①[4.1]4；

②{3.5}0.5；

③高斯函数y[x]中，当y=3时，x的取值范围是3x2；

④函数y{x}中，当2.5x3.5时，0y1．

A．0B．1C．2D．3

3．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；sin()sincoscossin，

sin()sincoscossin．例如：当45，30时，

232162

sin4530，则sin15的值为_______．

22224

4．（2021·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）若把第n个位置上的数记为xn，则称x1，x2，x3，…，xn有限

个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y1﹐y2，y3…yn其中yn是这个数列中第n

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0xn1xn1

个位置上的数，n1，2，…k且yn并规定x0xn，xn1x1．如果数列A只有四个数，且x1，

1xn1xn1

x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是__________．

5．（2021·江苏南通·统考中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函

11

数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数yx的图象的“等值点”．

22

（1）分别判断函数yx2,yx2x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果

不存在，说明理由；

3

（2）设函数y(x0),yxb的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BCx轴，垂足为C．当ABC

x

的面积为3时，求b的值；

2

（3）若函数yx2(xm)的图象记为W1，将其沿直线xm翻折后的图象记为W2．当W1,W2两部分组成

的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．

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一、新定义问题介绍

新定义的题目大概可分为两个问题的综合：模型化问题&变量问题

大部分问题都是两者兼有之的，不过总会偏向某一方面。

二、新定义的结构：“新定义”=定义条件+名称与表述

题干——新定义——顶点选点/求值——单变量——多变量

解决这类问题的核心就是提取模型

提取模型就是把定义条件用我们已知的几何基本模型

（有一些特殊的题提取出的模型可能是代数模型）运用所给的内容联系学过的内容。进行提取分析。

而这就是所谓“提取模型”的含义

三、新定义的类型与作用

第一问：简单，一般是给出点并选点，用于发现模型

第二问：偏难，一般是单变量问题（即只有一个变化图形），用于验证模型/初步实践模型

第三问：很难，一般是多变量问题（很多图形同时变化），用于应用/实践模型

或者

题干：得到模型，第一问：检验模型，第二问：实践模型，第三问：进一步实践模型

或者：题干：，第一问：发现模型，第二问：验证模型，第三问：实践模型

四、解决思路：

第一问：题目一般会给出几个特殊点，通过这些特殊点将能够发现某些关系（点的轨迹是个圆？可行的点

在圆内还是圆上还是圆外？），帮助构建模型。

第二问：运用第一问构建出来的模型，进行关系间的操作以求得范围边界（例如相切相交之类），并且以

此来验证模型是否正确且完善（例如圆上能不能取，线段端点能不能取等等），用订正后的模型再次订正

这道题。

第三问：运用第二问完善得到的模型，通过对变量的处理以及几何图形的关系得到结果。

五、核心与主旨

核心：将题干中复杂的语言翻译学生的便于操作的语言

主旨：没有无缘无故的第一问，三问联动处理，逐渐递进，相互依存

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a2abab

1．（2021·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）定义新运算：对于任意实数a、b，都有a*b2．例如：

abbab

22

4*2，因为4＞2，所以4*2＝4﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x+x﹣6＝0的两个根，则x1*x2的值为

（）

A．10或﹣10B．10C．﹣10D．3或﹣3

2．（2022·湖南永州·统考二模）定义运算：把123n缩写为n！，n！叫做n的阶乘，如3！1236，

4！123412．请你化简1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n，得（）

A．（n＋1）！－1B．n！－1

C．（n＋1）！D．（n＋1）！＋1

3．（2022·湖北恩施·统考二模）定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，

其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100

＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2)2+lg2•lg5+lg5的结果为_____

4．（2022·湖北十堰·校联考一模）对有理数x，y定义运算：x※y＝ax+by，其中a，b是常数．如果2※(-1)=-4，

3※2>1，那么a，b的取值范围为_________

5．（2023·重庆黔江·校联考模拟预测）阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．

x

对数的定义：一般地，若aN（a0且a1），那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，比如指

42

数式216可以转化为对数式4log216，对数式2log525，可以转化为指数式525．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

（）

logaMNlogaMlogaN（a0，a1，M0，N0），理由如下：

mn

设logaMm，logaNn，则Ma，Na，

mnmn

MNaaa，由对数的定义得mnlogaMN

又mnlogaMlogaN，

logaMNlogaMlogaN．

请解决以下问题：

(1)将指数式3481转化为对数式；

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M

(2)求证：loglogMlogN（a0，a1，M0，N0）；

aNaa

(3)拓展运用：计算log69log68log62．

2

6．（2022·湖北黄石·黄石十四中校考模拟预测）x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，

若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：

(1)通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：

①x2﹣4x﹣5＝0；

②2x2﹣23x+1＝0；

(2)已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；

(3)若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．

考点类型二新概念的理解与应用

1．（2021·山东济南·统考中考真题）新定义：在平面直角坐标系中，对于点Pm,n和点P'm,n'，若满足m0

'

时，n'n4；m0时，n'n，则称点P'm,n'是点Pm,n的限变点．例如：点P12,5的限变点是P12,1，

'2

点P22,3的限变点是P22,3．若点Pm,n在二次函数yx4x2的图象上，则当1≤m≤3时，

其限变点P'的纵坐标n'的取值范围是（）

A．2n'2B．1n'3

C．1n'2D．2n'3

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x

2．（2021·湖南永州·统考中考真题）定义：若10N，则xlog10N，x称为以10为底的N的对数，简记

为lgN，其满足运算法则：lgMlgNlg(MN)(M0,N0)．例如：因为102100，所以2lg100，

亦即lg1002；lg4lg3lg12．根据上述定义和运算法则，计算(lg2)2lg2lg5lg5的结果为（）

A．5B．2C．1D．0

3．（2022·上海·统考中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相

等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半

径为_____．

4．（2022·江苏苏州·统考中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍

长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．

5．（2022·湖南湘西·统考中考真题）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围

22

成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax+2ax+c组成一个开口向

上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴

的交点分别为G、H（0，﹣1）．

(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．

(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线

段DM的长度的比值．

(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以

EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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1．（2022·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考三模）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）

和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例

如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二

次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）

A．2n2B．1n3C．1n2D．2n3

2．（2021·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考一模）定义：对于给定的一次函数yaxb（a、

axbx0

b为常数，且a0，把形如y的函数称为一次函数yaxb的“相依函数”，已知一次函数

axbx0

yx1，若点P2,m在这个一次函数的“相依函数”图象上，则m的值是（）

A．1B．2C．3D．4

3．（2023·江苏苏州·统考一模）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍

角三角形”．若ABC是“倍角三角形”，A90，BC4，则ABC的面积为____________．

4．（2022·四川成都·校联考模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数yax2abxb叫做一次函数y

＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数yax2abxb的“本源函数”（a，b为常数，

且a0）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是yax23xa1，那么二次函数yax23xa1的“本

源函数”是______．

2

5．（2023·河北秦皇岛·统考一模）定义：如果二次函数ya1xb1xc1，（a10，a1、b1、c1是常数）与

2

ya2xb2xc2a20，a2、b2、c2是常数）满足a1a20，b1b2，c1c20，则这两个函致互为“旋

转函数．例如：求函数2的旋转函数，由函数2可知，，，．根

”y2x3x1“”y2x3x1a12b13c11

据a1a20，b1b2，c1c20求出a2、b2、c2就能确定这个函数的“旋转函数”．

请思考并解决下面问题：

(1)写出函数yx24x3的“旋转函数”；

2023

(2)若函数y5x2m1xn与y5x2nx3互为“旋转函数”，求mn的值；

(3)已知函数y2x1x3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称

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点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y2x1x3互为“旋转函数”．

6．（2022·山东济宁·校考二模）【定义】如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作关于直线l的对称点A，

连接AB交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．

【运用】

3232

(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知A2,1，B2,1两点．C3,，D3,，E3,三

333

点中，点________是点A，B关于直线x3的等角点；

(2)已知：如图3，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，O0,0，B4,2，矩形OABC的对角线相

交于点M，点N为点M和点B关于x轴的“等角点”．求MNB的面积．

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考点类型三几何新定义问题

1．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异

2

二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A0,2，点C2,0，则互异二次函数yxmm与正方形OABC

有交点时m的最大值和最小值分别是（）

517517

A．4，-1B．，-1C．4，0D．，-1

22

2．（2020·山东潍坊·中考真题）定义表示不超过实数的最大整数，如[1.8]=1，[-1.4]=-2，[-3]=-3.函数

的图象如图所示，则方程的解为（）.

A．或B．或

C．或D．或

3．（2021·上海·统考中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距

离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P,OP2，当正方形绕着点O旋转

时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．

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4．（2021·四川成都·统考中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点

出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形

的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，arcqbp是该三角形的顺序旋转和，apbqcr是该三角形的逆序

旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数

作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是_________．

5．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．

例如：如图①．在ABC和ABC中，AD,AD分别是BC和BC边上的高线，且ADAD，则ABC和

ABC是等高三角形．

【性质探究】

如图①，用SABC，SABC分别表示ABC和ABC的面积．

11

则S△BCAD,S△BCAD，

ABC2ABC2

∵ADAD

∴S△ABC:S△ABCBC:BC．

【性质应用】

(1)如图②，D是ABC的边BC上的一点．若BD3,DC4，则S△ABD:S△ADC__________；

(2)如图③，在ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE:AB1:2，CD:BC1:3，S△ABC1，则

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S△BEC__________，S△CDE_________；

(3)如图③，在ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB1:m，CD:BC1:n，SABCa，

则S△CDE__________．

1．（2021·江苏南京·统考二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在

延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：

①BCDABD；

②若ABAD,BCCD，则ACBD；

③若BCD2A，则BCCD；

④存在凹四边形ABCD，有ABCD,ADBC．

其中所有正确结论的序号是（）

A．①②B．①②③C．①②④D．①③④

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2．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，

OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段OE，A和直线l上分别存在点B，点C

和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A,B,C,D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．例

如，右图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．若点A3,4，则直线ykx1k0的“理想矩形”的面积

为（）

A．12B．314C．42D．32

3．（2022·河南郑州·统考一模）定义：平面上一点P到图形的最短距离为d．如图，OP3，等边三角形ABC

的边长为23，点O为等边三角形的中心，当等边三角形ABC绕点O旋转时，d的取值范围是______．

4．（2022·上海杨浦·统考二模）新定义：在ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，如果DE上的所

有点都在ABC的内部或边上，那么DE称为ABC的中内弧．已知在RtABC中，A90，ABAC22，

点D、E分别是边AB、AC的中点，如果DE是ABC的中内弧，那么DE长度的最大值等于_________．

5．（2022·江苏淮安·统考一模）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

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【问题探究】

(1)如图①，已知矩形ABCD是“等邻边四边形”，则矩形ABCD___________（填“一定”或“不一定”）是正方

形；

(2)如图②，在菱形ABCD中，ABC120，AB4，动点M、N分别在AD、CD上（不含端点），若

MBN60，试判断四边形BMDN是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，

请说明理由；此时，四边形BMDN的周长的最小值为___________；

【尝试应用】

(3)现有一个平行四边形材料ABCD，如图③，在YABCD中，AB17，BC6，tanB4，点E在BC上，

且BE4，在YABCD边AD上有一点P，使四边形ABEP为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP

的面积可能为的值___________．

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考点类型四函数新定义问题

ab(a2b)

1．（2020·山东潍坊·中考真题）若定义一种新运算：ab{例如：31312；

ab6(a2b)

545463．则函数y(x2)(x1)的图象大致是（）

A．B．C．D．

a(ab)

2．（2021·四川雅安·统考中考真题）定义：mina,b，若函数yminx1，x22x3，则该

b(ab)

函数的最大值为（）

A．0B．2C．3D．4

2

3．（2020·广西贵港·中考真题）我们定义一种新函数：形如yaxbxc（a0，且b24a0）的函数

叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数yx22x3yx22x3的图象（如图所示），并写出下列五

=|--|

个结论：①图象与坐标轴的交点为1,0，3,0和0,3；②图象具有对称性，对称轴是直线x1；③当

1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x=1或x3时，函数的最小值是0；⑤当x1时，

函数的最大值是4．其中正确结论的个数是______

.

4．（2021·四川乐山·统考中考真题）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：

y(x0)

若y{，则称点Q为点P的“可控变点”．

y(x0)

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．

（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为；

（2）若点P在函数yx216（5xa）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是16y16，

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则实数a的取值范围是．

a

5．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，Pa,b是第一象限内一点，给出如下定义：k1

b

b

和k两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．

2a

(1)求点P6,2的“倾斜系数”k的值；

(2)①若点Pa,b的“倾斜系数”k2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；

②若点Pa,b的“倾斜系数”k2，且ab3，求OP的长；

(3)如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：yx运动，Pa,b是正方形ABCD上任意一点，且点P的

“倾斜系数”k3，请直接写出a的取值范围．

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1．（2022·湖南岳阳·统考二模）定义：我们将某函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，从

而形成新图象的过程称为“非正变换”．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x＋3的图象如图所示，则将其进行“非正变换”

后得到的图象与直线y＝x＋m有四个交点时m的范围是（）

13131111

A．m1B．m3C．m1D．m3

4444

22

2．（2022·浙江宁波·统考一模）定义：已知函数y1axbxc与二次函数y2cxbxa，其中a，b，c为

常数，且ac，ac0，则称这两个函数互为倒函数，下列结论正确的是（）

5

A．若2,0是yx22xc的倒函数图像上的一点，则c

12

B．当两个互为倒函数的图像的开口方向相反时，则它们与x轴均无交点

11

C．若二次函数y1图像上存在一点m,n，则它的倒函数y2图像上必存在一点,

mn

D．两个互为倒函数的图像必有两个交点

3．（2021·四川乐山·统考三模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都

满足﹣M＜y＜M，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界

函数，其边界值是1．

1

（1）判断函数y＝（x＞0）是否为有界函数___（填“是”或“否”）；

x

3

（2）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，若≤t≤1则m

4

的取值范围是___．

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4．（2022·山东临沂·统考二模）在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)和点Q(x，y′)，给出如下定义：若

y1,x0

y，则称点Q是点P的限变点．例如(2，3)的限变点是(2，2)；(−5，−4)的限变点是(−5，4)．若

y,x0

点P(x，y)在二次函数y=x2−2x−8的图像上（x轴下方），则其限变点Q的纵坐标y′的取值范围是______．

5．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义

为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y=x2的图象上，存在一点P﹣1，1，则P为二次函数y=x2

图象上的“互反点”．

(1)分别判断yx3、yx2x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存

在，说明理由．

5

(2)如图①，设函数yx0，yxb的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BCx轴，垂足为

x

C．当ABC的面积为5时，求b的值；

2

(3)如图②，Qm，0为x轴上的动点，过Q作直线lx轴，若函数yx2xm的图象记为W1，将W1

沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范

围．

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【培优练习】

1．（2023秋·山西运城·九年级校考期末）定义mina,b,c为a，b，c中的最小值，例如：min5,3,11，

min8,5,55．如果min4,x24x,33，那么x的取值范围是（）

A．1x3B．x1或x3C．1x3D．x1或x3

2．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍

点．若二次函数yx22xc（c为常数）在1x4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）

A．5c4B．0c1C．5c1D．0c4

1

3．（2022·浙江·九年级自主招生）定义：若点P(a,b)在函数y的图象上，将以a为二次项系数，b为一次

x

111

项系数构造的二次函数yax2bx称为函数y的一个“派生函数”．例如：点2,在函数y的图象上，

x2x

111

则函数y2x2x称为函数y的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：（1）存在函数y的一个“派

2xx

1

生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧（2）函数y的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断

x

正确的是（）

A．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题B．命题（1）与命题（2）都是假命题

C．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题D．命题（1）与命题（2）都是真命题

mnmn

4．（2022秋·重庆大渡口·九年级校考期末）若定义一种新运算：m@n，例如：

mn3mn

1@2121，4@34334．下列说法：

①7@916；

②若1@x2x1，则x=1或2；

5

③若2@34x5，则x0或x；

4

④yx1@x22x1与直线ym（m为常数）有1个交点，则1m3．

其中正确的个数是（）

A．4B．3C．2D．1

5．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）定义：如果一元二次方程ax2bxc（0a0）满足abc＝0，

那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2bxc（0a0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则

下列结论正确的是（）

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A．a＝cB．a＝bC．ac0D．a＝b＝c

ab3,ab

6．（2023秋·重庆江津·九年级统考期末）若定义一种新运算：a@b，例如：2@42433，

ab3,ab

2@12134，下列说法：①1@24；②若x@x25，则x3；③x@2x3的解为x2；④函

数yx21@1与x轴交于1,0和1,0．其中正确的个数是（）

A．4B．3C．2D．1

7．（2022秋·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）我们定义一种新函数：形如

yax2bxca0,b24ac0的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数yx22x3的图

像（如图所示），并写出下列结论：

①图像与坐标轴的交点为1,0，3,0和0,3；

②图像具有对称性，对称轴是直线x1；

③当1x1或x3时，函数值y随x的增大而增大；

④当x=1或x3时，函数的最小值是0；

⑤当x1时，函数的最大值是4；

⑥若点Pa,b在该图像上，则当b3时，可以找到4个不同的点P．

其中正确结论的个数是（）

A．6B．5C．4D．3

2

8．（2022·重庆璧山·统考一模）定义：如果代数式Aa1xb1xc1（a10，a1、b1、c1是常数）与

2

Ba2xb2xc2（a20，a2、b2、c2是常数），满足a1a20，b1b2，c1c20，则称这两个代数式

A与B互为“同心式”，下列四个结论：

（1）代数式：2x23x的“同心式”为2x23x；

2022

（2）若8mx2nx5与6nx24x5互为“同心式”，则mn的值为1；

（3）当b1b20时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；

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2

（4）若A、B互为“同心式”，A2B0有两个相等的实数根，则b136a1c1．

其中，正确的结论有（）个．

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得

的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为6的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，

这个圆的半径为________．

10．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得

的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为4的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，

这个圆的半径为_____．

11．（2022秋·浙江嘉兴·九年级桐乡市第七中学校考期中）在直角坐标系xOy中，对于点Px,y和Qx,y，

yx0

给出如下定义：若y称点Q为点P的“可控变点”，例如：点1,2的“可控变点”为点1,2，点

yx0

1,3的“可控变点”为点1,3．

（1）若点1,2是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为__________；

（2）若点P在函数yx2185xa的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y的取值范围是18y18，

则实数a的取值范围是__________．

12．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个

角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的

图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如

图，在ABC中，AB4，AC6，BC5，△ABC是ABC以点A为转似中心的顺时针的一个转似三角

形，那么以点A为转似中心的逆时针的另一个转似三角形△ABC（点B，C分别与B、C对应），其中

BC边的长为___________

13．（2021·江苏泰州·校考一模）定义新运算：[a，b，c]＝a（c＜a＜b），即[a，b，c]的取值为a，b，c的中

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1

位数，例如，[1，2，3]＝2，[3，4，8]＝4，已知函数y＝[x+2，x2+1，﹣x+2]与直线y＝x+b有3个交点

2

时，则b的值为____．

14．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，定义：直线ykxb的伴随点为(k,b)．例

如直线y3x的伴随点为(3,0)．特别的，直线yb的伴随点为(0,b)．如图，平面上的三条直线

l1:y2x,l2:y4,l3:ykx(k1)两两相交且不交于同一点．三个交点分别为A，B，C，且l1,l2,l3各自的

伴随点分别为A,B,C，若ABC与ABC相似，则k的值为________．

15．（2023秋·山东日照·九年级日照港中学校联考期末）我们给出定义：如果两个锐角的和为45，那么称

BC2

这两个角互为半余角．如图，在ABC中，A，B互为半余角，且，则tanA______．

AC2

16．（2022春·广西南宁·九年级校考阶段练习）（1）【定义理解】如图1，在ABC中，E是BC的中点，P

是AE的中点，就称CP是ABC的“双中线”，ACB90,AC3,AB5，则CP______．

（2）【类比探究】①如图2，E是菱形ABCD一边上的中点，P是BE上的中点，则称AP是菱形ABCD的“双

中线”，若AB4,BAD120，则AP______．

②如图3，AP是矩形ABCD的“双中线”，若AB4,BC6，求AP的长．

（3）【拓展应用】如图4，AP是平行四边形ABCD的“双中线”，若AB4,BC6，BAD120，求AP的

长．

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17．（2023·广东深圳·校考一模）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的

距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小

时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．

例如，如图1，ABl1，线段AB的长度称为点A与直线l2之间的距离，当l2∥l1时，线段AB