四川省绵阳市绵阳中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

绵阳中学高2022级高三上期第三学月月考数学试题命题人：李五强审题人：游婷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，故.故选：B.2.已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，结合充分性、必要性、线虚数的定义进行判断即可.【详解】当，均为纯虚数时，设，，则有，当时，显然，但是，都不是纯虚数”，因此“，均为纯虚数”是“为实数”的充分不必要条件，故选：A3.已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量基底的定义，结合共面向量定理进行求解即可.【详解】若共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得，即．因为，，不共面，所以，，，解得，，，即当时，，此时不能作为基底，所以若能作为基底，则实数满足的条件是．故选：B.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用两角和的正弦、余弦公式化简可得，再根据二倍角余弦公式求解.【详解】由，可得，即，即得，.故选：B.5.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（）A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，，，，只有直线与相交时，可得，所以A不正确；对于B中，由，，，则与平行、相交或异面，所以B错误；对于C中，由，，，则，所以C错误；对于D中，由，，可得，又因为，所以，所以D正确.故选：D.6.已知体积为的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为.则该正四棱锥体积值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设正四棱锥的内切球的半径为，为底面中心，取的中点，设点在侧面上的投影为点，则点在上，利用求出球心到四棱锥顶点的距离，再由棱锥的体积公式计算可得答案.【详解】设正四棱锥的内切球的半径为，为底面中心，由体积为得，连接，平面，球心在上，，取的中点，连接，设点在侧面上的投影为点，则点在上，且，，球心到四棱锥顶点的距离为，所以，，解得，所以.故选：A.7.函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用参变分类可得和的图象有两个交点，结合导数讨论后者的性质后可得参数的取值范围.【详解】由得，则问题转化为和的图象有两个交点，而，令h′x>0，解得，令h′故hx在上单调递增，在单调递减，则，当时，的图象有两个交点；当时，的图象有两个交点；hx结合图象可知，的取值范围是，故选：D8.斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】利用给定条件结合对数的性质将化为，结合，得到，根据递增，得到也是递增数列，得，即可求解.【详解】由题知是的正整数解，故，取指数得，同除得，，故，即，根据是递增数列可以得到也是递增数列，于是原不等式转化为.由斐波那契数列可得，，，，可以得到满足要求的的最大值为，故A正确.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用对数的运算将，转化为，结合的表达式得到，从而求解的最大值.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列函数中最小值为4的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】分析】由基本不等式及其使用条件，即可判断各选项.【详解】对于选项A：因为，当时，，故选项A错误；对于选项B：因为，所以，当且仅当即时取“=”，所以函数最小值为4，故选项B正确；对于选项C：因为，所以，所以，当且仅当即，即或时取“=”，所以函数最小值为4，故选项C正确；对于选项D：因为，当且仅当即时，取“=”，所以函数最小值为4，故选项D正确.故选：BCD.10.已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（）参考公式：，A.当时，B.当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强C.，时，成对样本数据的相关系数满足D.，时，成对样本数据的线性回归方程满足【答案】ACD【解析】【分析】根据相关系数的正负、绝对值大小与变量相关性之间关系可知AB正误；根据，，代入相关系数和最小二乘法公式中，可知CD正误.【详解】对于A，当时，变量和变量正相关，则，A正确；对于B，当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强；当，时，对应的样本数据的线性相关程度更强，B错误；对于C，当，时，不变且，，C正确；对于D，当，时，不变且，，D正确.故选：ACD.11.对任意，，函数，都满足，则（）A. B.C.的极小值点为 D.是奇函数【答案】AC【解析】【分析】赋值法即可判断选项A，根据题意，不妨设，求出，即可判断选项BD，结合导数即可判断选项C.【详解】A中，令，，则有，故A正确；B中，因为，所以，对任意，均成立，设，则有，，令，则，解得，故B错误；C中，由B选项的分析，，所以，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，故C正确；D中，由上述知，，所以不一定是奇函数，故D错误.故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为______.【答案】【解析】【分析】表示出投影向量，即可求得，进而利用求得结果.【详解】由题知，在上的投影向量为，即，则，，所以.故答案为：13.已知正实数满足，则______.【答案】##【解析】【分析】对等式两边取对数后构造关于的方程，求出其解后可求的值.【详解】因为，易知a>0且，故，故，即，故，故答案为：.14.在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O，称为密克点.在梯形ABCD中，，，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q（异于点P），则的最小值为______.【答案】##-1+7【解析】【分析】延长，交于点E得为正三角形，且得、、的外接圆有唯一公共点为密克点Q，接着由题给条件推出是直角三角形，进而得其外接圆半径，再在中由余弦定理求出即可得的最小值.【详解】延长，交于点E，则由题可知为正三角形，由题设结论，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q，故点Q在的外接圆上，如上图，又由题，,所以，故，所以是直角三角形，故其外接圆半径，在中，由余弦定理，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点睛：解决本题得关键是正确作出辅助线，从而创造密克环境找到并明确点位置，从而结合已知条件得出是直角三角形且其外接圆半径以及是点B与外接圆上点的距离，于是求出即可求出.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，，（1）求数列和的通项公式；（2）若，证明：.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用基本量法可求数列的通项；（2）根据不等式的性质可得，累乘后可证原不等式.【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，由题意得：，所以，所以（舍）或，代入原方程后可得，于是得到数列的通项公式为，数列的通项公式为.【小问2详解】由题可得，由于时，，则（当且仅当时取等号），所以，则（当且仅当时取等号）.所以.16.已知函数，在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式可得，即可根据三角函数的性质求解，（2）根据余弦定理可得，，即可代入得，利用二次函数的性质即可求解.【小问1详解】由可得，由得，故或，解得或，，结合为锐角，故【小问2详解】，由于为锐角三角形，由余弦定理可得，即，故，令，则对称轴为，故当时，取最小值，，故17.已知函数，（1）已知函数的图象与函数的图象关于直线x=-1对称，试求；（2）证明；（3）设是的根，则证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线.【答案】（1）.（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由，得，再利用换元法求；（2）分区间讨论各因式的符号或利用导数证明；（3）取曲线上的一点，设在处的切线即是在处的切线，证明直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率即可.【小问1详解】因为的图象与的图象关于直线x=-1对称，所以.又因为，所以，令，则，所以，因此.【小问2详解】证明：解法1：当时，且，此时；当时，且，此时，故综上.解法2：，令，在上恒成立，故在上单调递增，即在上单调递增，因此当时，；当；因此在上单调递减，在上单调递增，故.【小问3详解】证明：不妨取曲线上的一点，设在处的切线即是在处的切线，则，得，则的坐标，由于，所以，则有，综上可知，直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率，所以直线AB既是曲线在点处的切线也是曲线的切线.18.如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与BD的交点，.（1）记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；（2）设点在线段上，且存在一个正整数，使得，若已知平面与平面的夹角的正弦值为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用圆柱以及棱锥的体积公式，即可求得答案.（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，结合平面与平面的夹角的正弦值，即可求得答案.【小问1详解】在底面中，因为是底面直径，所以，又，故≌，所以.因为是圆柱的母线，所以面，所以，,因此；【小问2详解】以为坐标原点，以为轴正方向，在底面内过点C作平面的垂直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以≌，故，所以，，因此，，因为，所以，则设平面和平面的法向量分别为，则有:，，取，设平面与平面的夹角为，则所以有：，整理得，（无解，舍），由于k为正整数，解得.19.已知有限集，若，则称为“完全集”.（1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由；（2）若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于；（3）若为“完全集”，且，求.【答案】（1）是，理由见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可；（2）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可；（3）设，得到，分类讨论求解即可.小问1详解】由，，所以，故集合是“完全集”.【小问2详解】由题设，令，则，