江苏省南通市汇龙中学2024-2025学年高二（上）数学第17周阶段性训练模拟练习【含答案】

江苏省南通市汇龙中学2024-2025学年高二（上）数学第17周阶段性训练模拟练习一．选择题（共8小题）1．已知数列{an}满足，且a2＝1，则a6＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．已知等差数列{an}的首项为10，公差为﹣2，则数列{an}的前n项和的最大值为（）A． B．30 C．80 D．不存在3．已知椭圆的一个焦点是F，过原点的直线与C相交于点A，B，△ABF的面积是20，则|AB|＝（）A．5 B． C． D．104．已知MN是圆O：x2+y2＝4的一条弦，∠MON＝60°，P是MN的中点．当弦MN在圆O上运动时，直线l：y＝x﹣4上总存在两点A，B，使得∠APB为钝角，则|AB|的取值范围是（）A． B． C． D．5．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为（）A． B． C．m＜﹣3 D．m＞26．已知椭圆，直线l与椭圆在第二象限交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，且|AC|＝|BD|，则直线l的斜率为（）A． B． C． D．7．若直线x+my﹣1＝0被圆C：（x﹣a+1）2+（y+a）2＝4（a∈R）截得的弦长为定值，则实数m的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣3） D．（﹣1，﹣3）二．多选题（共3小题）（多选）9．设数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}为常数列（各项均为同一个常数的数列）的一个充分条件是（）A．Sn＝n B．Sn+1＝Sn+1 C．Sn＝nan D．Sn+1＝2Sn﹣Sn﹣1（n≥2），a1＝a2（多选）10．已知圆C1：x2+y2﹣2x＝0与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣m）2＝4（m＞0），则（）A．过点C1作圆C2的切线只有1条，则 B．若圆C1与圆C2有且只有2条公切线，则0＜m＜3 C．当m＝2时，两圆的一条公切线方程为3x﹣4y﹣8＝0 D．当m＝2时，两圆的公共弦长为（多选）11．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（x2+y2）2＝8（y2﹣x2），点P在曲线C上，则下列结论正确的是（）A．曲线C关于原点对称 B．直线y＝2x与曲线C有3个公共点 C．点P的纵坐标的取值范围是[﹣2，2] D．|PO|的最大值为三．填空题（共5小题）12．定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知数列{an}是等和数列，a5＝﹣1，a10＝8，则公和为．13．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，Q为圆M：x2+（y﹣5）2＝4上的动点，点A（0，4），则＝；若P为C上的动点，则的最小值为．14．已知曲线E：x2+y2﹣xy＝6是椭圆，则该椭圆的离心率为；P为E上任意一点，P与点之间的距离的最大值为．15．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F定点A（6，4），B为C上一动点，则△ABF周长的最小值为．16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），定义d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为“曼哈顿距离”．若d（O，P）＝2，则点P的轨迹所围成图形的面积为，若椭圆C：+y2＝1（a＞0）上有且仅有8个点P满足d（O，P）＝2，则椭圆C的离心率的取值范围是．四．解答题（共9小题）17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S5＝30．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，n∈N*，若b1，b2，b3成等差数列，求c并证明{bn}为等差数列．18．已知P为圆M：（x+1）2+y2＝16上任意一点，点N（1，0），线段PN的垂直平分线与PM交于点Q，记点Q的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）过点N作直线l（与x轴不重合）与C相交于点D，E，直线l与y轴交于点B，，求l的方程．19．已知等轴双曲线的左、右焦点分别F1，F2，且焦距为，A，B分别是Γ在第二象限和第一象限上的一点，且AF1∥BF2．（1）求Γ的方程；（2）若直线AB的斜率为，求直线AF1的斜率；（3）若四边形AF1F2B的面积为，求直线AF1的方程．20．记等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d1（d1≠0）．（1）证明：Sn是关于n的不含常数项的二次函数；（2）等差数列{bn}的公差为d2，且Sn＝anbn．①求{bn}的通项公式；②记数列{cn}的前n项和为Tn，是否存在d1∈Z，k∈N*，使得？若存在，求d1，k；若不存在，请说明理由．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l经过F且与椭圆C交于M，N两点，证明：当且仅当直线l与圆x2+y2＝b2相切时，|MN|＝．22．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，E，F分别是AC，CC1的中点．（1）证明：平面BEF⊥平面AA1C1C；（2）求直线A1B与平面BEF所成角的余弦值．23．已知双曲线C：﹣y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2．（1）若直线l：x﹣2y+2＝0与双曲线C交于P，Q两点，求线段PQ的长；（2）若双曲线C上存在两点A，B，满足，求直线F1A的斜率．24．若动点P到点F（0，1）的距离比它到直线y＝﹣2的距离小1．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过轨迹C上一点A作直线l交y轴正半轴于点D，且|FA|＝|FD|．若直线l1∥l，直线l1与轨迹C有且仅有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．（1）求C的方程；（2）如图，过点O的直线l（异于y轴）与C交于点P，Q，过左焦点F作直线PQ的垂线交圆x2+y2＝a2于点M，N，垂足为T．①若点A（﹣4，0），设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值；②记△PTN，△QTM的面积分别为S1，S2，求的取值范围．

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：由，且a2＝1，a3＝a2+1＝2，a4＝﹣a3+1＝﹣1，a5＝a4+1＝﹣1+1＝0，a6＝﹣a5+1＝0+1＝1．故选：C．2．【解答】解：由题意可知：an＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n，且数列{an}为递减数列，当n≤5时，an＞0；当n＝6时，an＝0；当n≥7时，an＜0；所以数列{an}的前n项和的最大项数为5或6，最大值为S5＝5a3＝30．故选：B．3．【解答】解：由题可得c2＝45﹣20＝25，故c＝5，则|OF|＝5，因为△ABF的面积为20，所以△AOF面积为10，设A（xA，yA），则：|OF|•|xA|＝10，解得：|x4|＝4，将|x4|＝4代入方程中，解得：|yA|＝3，故，则|AB|＝2|OA|＝10．故选：D．4．【解答】解：因为P为MN的中点，所以OP⊥MN，又因为∠MON＝60°，所以三角形OMN为正三角形，所以|OP|＝，即点P在以O为圆心，以1为半径的圆上，点P所在圆的方程为x2+y2＝3，要使得∠APB为钝角恒成立，则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部，而AB在直线l：y＝x﹣4上，C到直线l：y＝x﹣4的距离d＝＝2，所以以AB为直径的圆的半径的最小值为r＝2，所以AB的最小值为2r＝4．此时∠APB为直角，所以|AB|的取值范围是（4，+∞）．故选：D．5．【解答】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则3+m＞2﹣m＞0，解得．故选：B．6．【解答】解：由直线l与椭圆在第二象限交于A，B两点知，直线的斜率k存在且k＞0，设直线方程为y＝kx+b（k＞0），则，D（0，b），设A（x1，y1），B（x2，y2），其中点为M（x0，y0），如图，则有，两式相减可得，即，因为|AC|＝|BD|，所以M也是CD的中点，所以k，解得．故选：A．7．【解答】解：因为圆C：（x﹣a+1）2+（y+a）2＝4（a∈R）的圆心为（a﹣1，﹣a），半径为2，要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值，即为定值，所以m﹣1＝0，解得m＝1．故选：C．8．【解答】解：因为双曲线方程为，所以a＝1，b＝2，，设A（x1，y1），B（x2，y2），此时，，两式相减并整理得，因为，所以≠±2，因为点（﹣1，2）对应，故选项B错误；点（2，4）对应，故选项C错误；点（1，1）对应，所以，此时直线AB的方程为y﹣1＝4（x﹣1），即y＝4x﹣3，联立，消去y并整理得﹣12x2+24x﹣13＝0，此时Δ＝242﹣4×12×13＝﹣48＜0，所以方程组无解，故选项A错误；因为点（﹣1，﹣3）对应，所以，此时直线AB的方程为，即，联立，消去y并整理得20x2+40x﹣61＝0，此时Δ＝402+4×20×61＝6480＞0，故选项D正确．故选：D．二．多选题（共3小题）9．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若Sn＝n，当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝1，则有an＝1，数列{an}为常数列，符合题意；对于B，数列{an}的通项公式为an＝，满足Sn+1＝Sn+1，但数列{an}不是常数列，不符合题意；对于C，若Sn＝nan，则Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1，（n≥2）则有Sn﹣Sn﹣1＝nan﹣（n﹣1）an﹣1，变形可得nan＝nan﹣1，即an＝an﹣1，（n≥2），故数列{an}为常数列，符合题意；对于D，若Sn+1＝2Sn﹣Sn﹣1（n≥2），变形可得Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），即an＝an﹣1，（n≥2），故数列{an}为常数列，符合题意．故选：ACD．10．【解答】解：圆C1的标准方程为（x﹣1）2+y2＝1，圆心C1（1，0），半径为r1＝1，圆，圆心C2（2，m），半径为r2＝2，对于A选项，若过点C1作圆C2的切线只有1条，则圆心C1在圆C2上，则有（1﹣2）2+m2＝4，因为m＞0，解得，故A正确；对于B选项，若圆C1与圆C2有且只有2条公切线，则两圆相交，且，由题意可得r2﹣r1＜|C1C2|＜r1+r2，即，因为m＞0，解得，故B错误；对于C选项，当m＝2时，圆C2的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4，圆心为C2（2，2），半径为r2＝2，圆心C1到直线3x﹣4y﹣8＝0的距离为，圆心C2到直线3x﹣4y﹣8＝0的距离为，故当m＝2时，两圆的一条公切线方程为3x﹣4y﹣8＝0，故C正确；对于D选项，当m＝2时，由B选项可知，两圆相交，将两圆方程作差可得x+2y﹣2＝0，此时两圆的相交弦所在直线的方程为x+2y﹣2＝0，圆心C1到直线x+2y﹣2＝0的距离为，所以两圆的公共弦长为，故D错误．故选：AC．11．【解答】解：因为曲线C：（x2+y2）2＝8（y2﹣x2），此时点（x，y），（﹣x，﹣y）均满足方程（x2+y2）2＝8（y2﹣x2），所以曲线C关于原点对称，故选项A正确；联立，消去y并整理得x2（25x2﹣24）＝0，解得x＝0或，所以直线y＝2x与曲线C有3个公共点，故选项B正确；因为曲线C：（x2+y2）2＝8（y2﹣x2），整理得x4+（2y2+8）x2+y4﹣8y2＝0，令t＝x2，t≥0，此时t2+（2y2+8）t+y4﹣8y2＝0有非负根，对称轴，当t＝0时，02+（2y2+8）×0+y4﹣8y2＝y4﹣8y2＝y2（y2﹣8）≤0，0≤y2≤8，解得，故选项C错误；令s＝x2+y2，此时x2＝y2﹣s，代入（x2+y2）2＝8（y2﹣x2）中，整理得s2+8s＝16y2∈[0，128]，因为y＝s2+8s是开口向上的二次函数，对称轴s＝﹣4，所以y＝s2+8s在[0，+∞）上单调递增，若s2+8s＝128，解得s＝8或s＝﹣16（舍去），所以s的最大值为8，则的最大值为，故选项D正确．故选：ABD．三．填空题（共5小题）12．【解答】解：由数列{an}是等和数列，设公和为t，可得an+an+1＝t，即有an+1+an+2＝t，则an+2＝an，即有数列{an}是最小正周期为2的数列，由a5＝﹣1，a10＝8，可得a1＝﹣1，a2＝8，则t＝a1+a2＝7．故答案为：7．13．【解答】解：抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1），Q为圆M：x2+（y﹣5）2＝4上的动点，设为（x，y），点A（0，4），则＝＝＝＝．可得|QA|＝|QF|，如图，作PN垂直直线y＝﹣1于N，直线y＝﹣1交y轴于B，则＝|PN|+|PQ|+|QA|≥|AB|＝5，当且仅当A、Q、P、N四点在AB线段时，取等号．故答案为：；5．14．【解答】解：E：x2+y2﹣xy＝6中，用（y，x）替换（x，y），方程不变，所以椭圆E关于y＝x对称，用（﹣y，﹣x）替换（x，y），方程不变，所以椭圆E关于y＝﹣x对称，由，解得椭圆E的长轴顶点：，由，解得椭圆E的短轴顶点：，所以，所以，P与点之间的距离的最大值为．故答案为：．15．【解答】解：如图：设B1为抛物线上的任意一点，过B，B1作准线的垂线交点分别为N，M，F（3，0），点A（6，4）在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，|BN|＝|BF|，|AN|≤|B1F|+|B1M|，△ABF周长的最小值为：|AN|+|AF|＝6+3+＝14．故答案为：14．16．【解答】解：设P（x，y），则根据题意可得d（O，P）＝|x|+|y|＝2，∴点P的轨迹方程为|x|+|y|＝2，令x＝0，可得y＝±2；令y＝0，可得x＝±2，∴作出其图形如图所示：∴点P的轨迹所围成图形为边长为的正方形，∴点P的轨迹所围成图形的面积为＝8；根据P点的轨迹方程及图形可知：点P的轨迹所围成图形关于x轴对称，也关于y轴对称，也关于原点中心对称，又椭圆C：+y2＝1（a＞0）的图形也x轴对称，关于y轴对称，关于原点中心对称，且椭圆C：+y2＝1（a＞0）上有且仅有8个点P满足d（O，P）＝2，∴当x≥0，y≥0时，P的轨迹对应的直线：x+y＝2与椭圆C：+y2＝1（a＞0）相交，且a＜2，联立，可得（a2+1）y2﹣4y+4﹣a2＝0，∴Δ＝16﹣4（a2+1）（4﹣a2）＞0，∴a4﹣3a2＞0，∴a2＞3，又0＜a＜2，∴＜a＜2，∴椭圆C：+y2＝1（a＞0）中，长半轴长a＞，短半轴长b＝1，∴半焦距c＝，∴椭圆C的离心率为＝＝，又a2∈（3，4），∴椭圆C的离心率的取值范围是（，）．故答案为：8；（，）．四．解答题（共9小题）17．【解答】解：（1）因为等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S5＝30．设公差为d，则，解得a1＝d＝2，所以an＝a1+（n﹣1）d＝2n；证明：（2）由（1）可得Sn＝na1+d＝n2+n，所以＝，所以b1＝，b2＝，b3＝，由b1，b2，b3成等差数列，可得2×＝+，解得c＝0或c＝1，当c＝0时，bn＝＝n+1，可得bn+1﹣bn＝1，故{bn}为等差数列；当c＝1时，bn＝＝n，可得bn+1﹣bn＝1，故{bn}为等差数列．18．【解答】解：（1）由题意可知：M：（x+1）2+y2＝16的圆心为M（﹣1，0），半径为4，且|QP|＝|QN|，则|QM|+|QN|＝|QM|+|QP|＝|PM|＝4＞2＝|MN|，可知点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，则，所以C的方程为；（2）因为点N（1，0）在椭圆内部，可知直线l与椭圆必相交，设直线l：x＝my+1（m≠0），D（x1，y1），E（x2，y2），则，联立方程，消去x可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，则，又因为，若，则，即，可得，解得，所以l的方程为，即．19．【解答】解：（1）由题意可知：，解得，所以双曲线Γ的方程为x2﹣y2＝1．（2）由（1）可知：，，设直线AB：x＝3y+m（m＜0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去x可得8y2+6my+m2﹣1＝0，则Δ＝36m2﹣32（m2﹣1）＝4m2+32＞0，可得m，，因为，，若AF1∥BF2，则1，即，整理可得，又因为，可得，解得，此时8y2+6my+m2﹣1＝0即为，解得y＝或y＝（舍去），此时，即，所以直线AF1的斜率．（3）A（x1，y1），B（x2，y2），则，设直线AF1的倾斜角为θ∈[0，π），则，可得，解得|．同理可得|BF2|＝，此时梯形AF1F2B的高为|，可知梯形AF1F2B的面积＝＝＝2．整理可得，解得（舍去），可知θ＝或θ＝，则直线AF1的斜率＝，所以直线AF1的方程，．20．【解答】解：（1）证明：因为等差数列{an}的公差为d1（d1≠0），由题意可得，则二次项系数，且常数项为0，所以Sn是关于n的不含常数项的二次函数．（2）①由题意可知：Sn＝anbn，即＝，可得，解得，或，若，，an＝1+d1（n﹣1），若，则，an＝nd1，综上所述：或；②因为，，an＝1+d1（n﹣1）时，若d1∈Z，cn∈Z，则Tk∈Z，不合题意；，an＝nd1时，若k为偶数，则Tk＝（a1+a3+⋯+ak﹣1）+（b2+b4+⋯+bk）＝，因为k为偶数，则k＝4n+2或k＝4n+4，n∈N*，若k＝4n+4，n∈N*，则，即Tk∈Z，不合题意；若k＝4n+2，则Tk＝，整理可得，可知2n+1＝1，13，169，代入检验可得仅n＝0，d1＝83，k＝2成立；若k为奇数，则Tk＝（a1+a3+⋯+ak）+（b2+b4+⋯+bk﹣1）＝，因为k为奇数，则k＝4m+3或k＝4m+1，m∈N*，若k＝4m+1，m∈N*，则，即Tk∈Z，不合题意；若k＝4m+3，m∈N*，则，整理可得，显然为偶数，方程无解，不合题意；综上所述：d1＝83，k＝2．21．【解答】解：（1）由题意可知，，又，则，所以b2＝a2﹣c2＝1，所以椭圆C的方程：；（2）证明：当直线l斜率不存在时，与圆x2+y2﹣1不相切，且此时，当直线l斜率存在时，设l：，即：，联立，化简得，设M（x1，y1）N（x2，y2），则，，所以＝＝，令，解得：k＝±1，所以直线l：或，此时圆心到直线l的距离或，所以当时，直线l与圆x2+y2＝b2相切，当直线与圆y2+y2＝b2相切时，，解得k2＝1，此时|MN|＝＝，综上所述：当且仅当直线l与圆x2+y2＝b2相切时，．22．【解答】（1）证明：因为直三棱柱ABC﹣AB1C的所有棱长均为2，E，F分别是AC，CC1的中点，所以BE⊥AC，AA1⊥平面ABC，因为BE⊂平面ABC，所以AA1⊥BE，因为AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面AA1C1C1，所以BE⊥平面AA1C1C，因为BE⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面AA1C1C；（2）解：取A1C1的中点M，连接EM，则EB，EC，EM两两垂直，以EB，EC，EM所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，易知，A1（0，﹣1，2），E（0，0，0