2024-2025学年“九师联盟”高二上学期12月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年“九师联盟”高二上学期12月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在数列{an}中，a1=2，aA.116 B.18 C.16 2.已知直线Ax+By+1=0在y轴上的截距是−1，其倾斜角是直线3x−y=0的倾斜角的2倍，则(

)A.A=3，B=1 B.A=−3，B=−1

C.A=3，3.顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(−2,1)的抛物线方程为(

)A.y2=14x B.y24.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=20A.2 B.4 C.6 D.85.已知数列{an}中，a1=1，an+1=aA.0 B.1012 C.2024 D.40486.《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度(蒲与莞原先的长度忽略不计)，需要经过的时间最少为(

)A.3天 B.4天 C.5天 D.6天7.记曲线C1:x2+y2−2|x|−2|y|=0(x2+A.8+4π B.42π C.168.已知抛物线E:x2=6y的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且MA=3MB，则直线A.±3 B.±233二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列数列中，为递增数列的是(

)A.an=nn+1 B.an=10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，G为底面A1B1C1D1的中心，E，A.C1D//平面EFG B.BD1/​/平面EFG

C.GF=12B111.已知P为圆F1:(x+2)2+y2=4上任意一点，F2(2,0)，线段PF2的垂直平分线交直线PF1于点M，记点M的轨迹为曲线H，设A(A.曲线H的方程为x2−y23=1

B.曲线H的离心率为2

C.经过(−1,3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，若三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是1，∠AA1B1=∠AA1C113.若数列{an}满足an=n2−9n+18，且Sn14.已知抛物线C:y2=2x，P为抛物线C上任意一点，过点P向圆D:x2+y2−4x+3=0作切线，切点分别为A四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知Sn是数列{an}的前n项和，若a1(1)求S(2)求数列{an16.(本小题15分)

如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，A1(1)求证：B(2)求B1C与平面A17.(本小题15分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12(1)求C的方程;(2)设C的右顶点为B，直线l的方程为x=my−1，若直线l交C于M，N两点，求证：直线BM，BN的斜率之和为−m．18.(本小题17分)设F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，T1，T2，T3为(1)求C的方程;(2)设过点F的直线l交C于P，Q两点． ①若直线l交圆x2+y2−2x=0于M，N两点，其中P， ②过点F作l的垂线m，直线m交C于A，B两点，设线段PQ，AB的中点分别为D，E，求证：直线DE过定点．19.(本小题17分)对于各项均为正数的无穷数列{an}，若∀n∈N∗，都有an+12(1)判断无穷数列{4n−3}和{ln2n}是不是G−d数列(2)若{an}是G−d ①记{an2}的前n ②对任意的正整数n，设求数列{bn}的前2n项和．参考答案1.D

2.A

3.C

4.B

5.C

6.A

7.D

8.B

9.AD

10.ABD

11.AC

12.1113.10

14.2315.解：(1)设数列{Snn+1}的公差为d，

则由a1=2，得S12=1，

所以Snn+1=1+(n−1)d，即Sn=n+1+(n2−1)d，

所以S3=4+8d，S4=5+15d，

因为3S4=4S3+12，

所以3(5+15d)=4(4+8d)+12，解得d=1，

16.解：(1)证法一：因为A1A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以A1A⊥AB，

.取AB的中点D，连接DB1，DC，

因为在三棱台ABC−A1B1C1中，AB/​/A1B1，A1C1=12AC，所以AD=A1B1

则四边形AA1B1D是平行四边形，AA1//B1D，所以B1D⊥AB，

因为ΔABC为正三角形，D是AB的中点，所以AB⊥CD，

又B1D，CD⊂平面B1CD，B1D∩CD=D，所以AB⊥平面B1CD，

又B1C⊂平面B1CD，所以AB⊥B1C.

证法二：以A为原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，AC，AA1所在直线分别为y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(3,1,0)，C(0,2,0)，B1(32,12,1)，

所以B1C=(−32,32,−1)，17.解：(1)解：设F(−c,0)，则ca=12，

因为|PF|的最大值为3，

所以a+c=3，解得a=2，c=1，

则b2=a2−c2=3，

所以C的方程为x24+y23=1．

(2)由题知B(2,0)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

由x=my−1,3x218.解：(1)根据题意得焦点F(p2,0)，设T1因为，因此(x1所以x1因此，所以p=2，因此抛物线C的方程为y2(2)①圆方程x2+y2−2x=0化为标准式为(x−1当直线l斜率不存在时，|PM|=1，|QN|=1，1|当直线l斜率存在时，根据题意可设直线l的方程为y=k(x−1)(k≠0)，

P(x1,由y得k2x2|PM|=|PF|−1=x1+1−1=因为x1所以1|当且仅当1x1=4x2，即x1=1②证明：由题知直线l的斜率k存在且不为0，由①得x1+x2=2+用−1k替换k得点当1+2k2≠1+2k2，即所以直线DE的方程为y+2k=k1−k所以直线DE恒过点(3,0)；当k=±1时，直线DE的方程为x=3，也过点(3,0)．综上所述，直线DE恒过点(3,0)．

19.(1)解：{4n−3}是G−d数列，{ln2n}不是G−d数列，理由如下：

令μn=4n−3，则μn2=4n−3，μn+12=4n+1，

因为μn+12−μn2=(4n+1)−(4n−3)=4为非零常数，

所以{4n−