人教八年级数学上册轴对称《最短路径问题》示范课教学课件

13.4课题学习最短路径问题人教版八年级数学上册教学目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．新知导入1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？AB①②③②最短，因为两点之间，线段最短2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？PlABCDPC最短，因为垂线段最短新知讲解从图中的

A

地出发，到一条笔直的河边

l

饮马，然后到

B

地.到河边个么地方饮马可使他所走的路线全程最短?

l

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？新知讲解

l

当点

C在l的什么位置时，AC与

BC

的和最小.C新知讲解如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点C，使得CA+CB最小。∙∙ABl解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依据：两点之间，线段最短..C那A、B两点在直线l的同一侧呢？如何确定点C呢？新知讲解如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l

的另一侧B′处？ABl利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.B′连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．C新知讲解你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．新知讲解最短路径问题：两点之间，线段最短依据利用轴对称实现线段的转移关键需要注意的细节：

区分哪些是定点，哪些是动点，哪条直线是对称轴利用图形的轴对称性，会简化过程.新知讲解如图，A和

B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥

MN.桥造在何处可使从

A到

B的路径

AMNB最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？新知讲解当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.新知讲解ABMNab（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？新知讲解

（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？ABMNabA′新知讲解

（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．ABMNabA′你能证明此时AM＋MN＋NB最小吗？新知讲解证明：在△A′N′B中，

∵A′B＜A′N′＋BN′，

∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．

∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．

即AM＋MN＋BN最小．N′ABMNabA′M′新知讲解在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.某开发商的经适房的三个居民小区

A、B、C

在同一条直线上，位置如图所示，其中小区

B

到小区A、C

的距离分别是70m和150m，小区

A、C之间建立一个超市，要求各小区居民到超市总路程和最小，那么超市的位置应建在()A.小区

A B.小区

BC.小区

C D.AC

的中点2.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是()BD课堂练习【知识技能类作业】必做题：3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为

。4.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是

。5（0，3）课堂练习【知识技能类作业】选做题：5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B课堂练习【知识技能类作业】选做题：解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即为桥.理由：由平移的性质可知，AD//FD′，AD=FD′.同理，BE=GE′.由两点之间线段最短可知，GF最小.课堂练习【综合拓展类作业】6.如图

(1)

是示意图，游船从湖岸

l₁

的码头

D

将游客送往亭子

M停留观赏，然后将游客送往湖岸

l₂

的码头

C，最后再回到码头

D.请在图

(2)

中画出游船的最短路径，并确定两个码头的位置。湖岸

l₁湖岸

l2

(1)

湖岸

l₁湖岸

l₁解：如图(2)示.课堂总结将军饮马问题造桥选址问题最短路径利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题板书设计课题学习最短路径问题一、将军饮马问题二、造桥选址问题作业布置【知识技能类作业】必做题：

AC作业布置【知识技能类作业】选做题：3.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A，B，C

在小正方形的顶点上.(1)在图中画出与△ABC

关于直线l成轴对称的△A′B′C′；(2)△ABC

的面积是______；(3)在直线l上找一点

P，使得

PA+PB最短.12.5解：(1)如右图所示；

(3)如图，连接BA′

交

l于点P，P即为所求.作业布置【综合拓展类作业】4.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.解:如图，依题意,分别作点P关于ON、OM的对称点P1、P2,连接P1P2交ON于点B，交OM于点A，依次连接A、B、P，此时△PAB的周长为最小值.作业布置【综合拓展类作业】由四边形内角和360°可得:∠P1