湖北省随州市曾都区第一高级中学高三上学期12月月考数学试题

湖北随州曾都一中2025届高三上学期12月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果.【详解】因为，所以.故选：C.2.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知利用等差数列的通项公式和前项和公式求基本量，然后求出，再结合等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，所以，所以.故选：.3.若，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由面面垂直的判定定理得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案.【详解】，，由面面垂直的判定定理可知，，充分性成立，，，则或，必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A4.已知向量，满足，，，则（）A.2 B. C.4 D.16【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积运算律列式计算即得.【详解】由，得，而，因此，所以.故选：C5.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换得到，两边平方求出.【详解】，即，，两边平方得，即，解得.故选：B6.已知，函数在R上没有零点，则实数的取值范围（）A.0,+∞ B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分、讨论，根据没有零点求出的范围可得答案.【详解】时，，若无解，则或；时，，若无解，则，则.故选：D．7.若正数满足，则的最小值是（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解.【详解】因为正数满足，所以，则，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：C.8.在中，已知，且满足，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理和余弦定理得，再根据向量数量积得，则得到，即可判断三角形形状.【详解】由题意得，即，由正弦定理得，即，则，因为，所以，又，所以故，因为，所以．综上可知三角形为等边三角形．故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7B.若随机变量X服从二项分布，且，则C.X和Y是分类变量，若值越大，则判断“X与Y独立”的把握性越大D.若随机变量X服从正态分布，且，则【答案】BD【解析】【分析】根据极差和众数的概念即可判断A；根据二项分布的性质即可判断B；根据独立性检验的思想即可判断C；根据正态曲线的性质即可判断D.【详解】A：该组数据的极差为4，众数为2，所以该组数据的极差与众数之和为6，故A错误；B：由，得，解得，所以，故B正确；C：值越大，X和Y有关系的可能性就越大，则“X与Y独立”的把握越小，故C错误；D：由，得，所以，故D正确.故选：BD10.已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（）A.为等比数列 B.为等比数列C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由题设得是首项、公比为3的等比数列，即可判断A、B、C；应用错位相减法、等比数列前n项和判断D.【详解】由题设，且，故是首项、公比为3的等比数列，所以，则，故不是等比数列，A错，B、C对；由，则，所以，所以，D对.故选：BCD11.如图，函数的部分图象，则（）A.B.将图象向右平移后得到函数的图象C.在区间上单调递增D.在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出，再结合正弦型函数图象与性质逐项分析判断.【详解】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得，由，得，而，则，所以，A正确；对于B，将图象向右平移后得到函数，B错误；对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增，因此在区间上单调递增，C正确.对于D，函数的图象对称轴为，当与关于直线对称时，的最大值与最小值的差最小，此时，，当为偶数时，，而，当为奇数时，，而，最大值与最小值的差为1；当或时，函数在上单调，最大值与最小值的差最大，，当或时均可取到等号，所以最大值与最小值之差的取值范围为，D正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，的模长为1，且，则________.【答案】1【解析】【分析】设成复数一般形式，再用待定系数方法，结合复数相等得解.【详解】设，，因为，所以.因为，，所以，所以，所以，，所以.故答案为：1.13.已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据二项式系数之和可得，结合展开式通项运算求解即可.【详解】由题意可知：，解得，则的展开式的通项为，令，解得，所以展开式中项的系数为.故答案为：.14.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______.【答案】【解析】【分析】先求出标有数字的4只球排序情况，标有数字最大的球分为第3次摸到和第4次摸到两种情形，结合古典概型即可得结果.【详解】标有数字的4只球排序共有种情况.要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况：①标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有种情况.②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有种情况.故所求概率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.（1）求角A；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用边化角及和差公式、辅助角公式即可求解；（2）由面积公式和正弦定理即可求解.【小问1详解】由条件得，从而.所以，由正弦定理得，故.从而，得，故.所以.【小问2详解】设的面积为，则.16.已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求函数的极值；（2）若，，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值，无极大值（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出的值，从而得到函数解析式，再利用导数求出函数的极值；（2）依题意可得，恒成立，分析可得，从而得到对恒成立，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】因，所以，依题意，即，所以，定义域为0,+∞，则，所以当时f′x>0，当时f所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，无极大值；【小问2详解】因为，恒成立，因为当时，，所以，所以对恒成立，令，则当时，恒成立，因为，设，当，即时，所以，即hx在上单调递减，所以，符合题意；当，即，，，所以，由零点存在性定理可知存在使得gx0=0又二次函数开口向下，对称轴为，则当时gx>0，即h所以hx在上单调递增，即存在，使得，这与当时，恒成立矛盾，故舍去；综上可得．17.如图，三棱锥中，，平面平面，平面平面.（1）证明：平面；（2）若为钝角，且二面角的大小为，求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得平面PAC，利用线面垂直的性质可得、，结合线面垂直的判定定理即可证明；（2）法一：如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得平面PAC，得，设，，则，根据建立方程，解之即可求解.法二：建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，结合三角恒等变换的化简计算即可求解.【小问1详解】如图，在平面ABC内取点O，过O作于M，过O作于N，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面PAC，又平面PAC，，同理可证，又，平面ABC，平面ABC；【小问2详解】法一：如图，过点B作于点H，过H作于点Q，连接BQ，平面ABC，平面ABC，，又，平面PAC，平面PAC，则为二面角平面角，即设，，则，，所以，又，所以，所以，由得，整理得，又，解得或（舍去），综上.法二：如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，则，，，，易知平面PAC的法向量为，设面PAB的法向量为，则，，则，整理得，由，得，解得或（舍），综上，.18.已知，数列前项和为，且满足；数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；（3）求使得不等式成立的的最大值．【答案】（1）（2）存在，（3）4【解析】【分析】（1）根据作差得到，结合等比数列的定义计算可得；（2）假设存在实数，使得数列是等差数列，根据等差数列的定义作差得到，即可求出；（3）结合（2）可得的通项公式，即可得到，令，利用作差法说明单调性，即可求出的最大值.【小问1详解】因为①，②，②①得，∴，而，∴，∴成首项为，公比为的等比数列，∴．【小问2详解】假设存在实数，使得数列是等差数列，∴为常数，∴，解得，∴存在使成等差数列，且公差为．【小问3详解】由（2）知，∴，∴不等式，即，令，则，∴在上单调递减，注意到，，∴时，，∴．19.在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T.（1）求点T的轨迹W的方程；（2）已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义可知点T的轨迹为椭圆，然后求得，即可得到标准方程；（2）根据题意，设直线