2024年中考数学动点综合问题及答案

动点综合问题（33题）

一、单选题

1.（2024•甘肃临夏•中考真题）如图1,腕ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D-B-C

的路径行进，过点P作PQ_LCD,垂足为Q.设点P的运动路程为x,PQ-DQ^/y,y-tgx的函数图

2.（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）如图，在等腰RtAABC中，ZBAC=9。,AB=12,动点E,F同时从

点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随

之停止运动，连接EF,以EF为边向下做正方形EFGH,设点E运动的路程为x0<x<12,正方形

EFGH和等腰RtZXABC重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（）

3.（2024•四川泸州•中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC上的动点，

且满足AE=BF,AF与DE交于点0,点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB,则0M+

：FG的最小值是（）

C.8D.10

4.（2024•甘肃•中考真题）如图1,动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB—BC匀速运动，运动到点C

时停止.设点P的运动路程为x,P0的长为y,y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点

时，P0的长为（）

D.2用

5.（2024•湖南长沙•中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=6,ZB=30，点E是BC边上的动点，连接

AE,DE,过点A作AF±DE于点P.设DE=x,AF=y,则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变

量x的取值范围）（）

二、填空题

6.（2024-江苏扬州・中考真题）如图，已知两条平行线L、L，点A是L上的定点，AB，1于点B,点C、D分

别是L、L上的动点，且满足AC=BD,雌CD交线段AB于点E,BH±CD于点H,则当NBAH最大

时，sinZBAH的值为.

2

7.（2024•四川广安•中考真题）如图，在nABCD中，AB=4,AD=5,ZABC=30，点M为直线BC上一

动点，则MA+MD的最小值为.

8.（2024•四川凉山•中考真题）如图，0M的圆心为M4,0,半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,

过点P作。M的切线，切点为Q,则PQ的最小值为

9.（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图，已知NA0B=50，点P为NA0B内部一点，点M为射线0A、点N

为射线0B上的两个动点，当aPIMN的周长最小时，则NMPN=.

10.（2024•四川成都•中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A3,0,B0,2，过点B作y轴的垂线

1,P为直线1上一动点，连接P0,PA,则P0+PA的最小值为.

11.（2024•四川内江•中考真题）如图，在4ABC中，ZABC=60,BC=8,E是BC边上一点，且BE=2,点

I是AABC的内心，BI的延长线交AC于点D,P是BD上一动点，连接PE、PC,贝ljPE+PC的最小值

12.（2024•山东烟台•中考真题）如图，在口ABCD中，ZC=120,AB=8,BC=10.E为边CD的中点，F

为边AD上的一动点，将4DEF沿EF翻折得EF,雌AD,BD，则4ABD面积的最小值为

13.（2024•四川宜宾•中考真题）如图，正方形ABCD的边长为1,M、N是边BC、CD上的动点.若/MAN

=45，则MN的最小值为

14.（2024•四川宜宾•中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=4,E、F分别是边CD、AD上

的动点，且CE=DF.当AE+CF的值最小时，则CE=.

三、解答题

15.（2024••苏州•中考真题）如图，Z^ABC中，AC=BC,ZACB=90,A-2,0,C6,0,反比例函数y

=1kW0,x>0的图象与AB交于点Dm,4，与BC交于点E.

X

9

⑴求m,k的值；

⑵点P为反比例函数y=XkW0,x>0图象上一动点(点P在D,E之间运动，不与D,E重合)，过点

X

P作PM〃AB,交y轴于点M,过点P作PN〃x轴，交BC于点N,连妾MN，求APNIN面积的最大值，

并求出此时点P的坐标.

16.(2024•四川自贡•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫=kx+b的图象与反比例函数y=

匕的图象交于A(-6,l),B(l,n)两点.

X

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

⑵P是直线X=-2上的一个动点，4PAB的面积为21,求点P坐标；

⑶点Q在反比例函数y=上位于第四象限的图象上，AQAB的面积为21,请直接写出Q点坐标.

x

17.(2024•四川泸州•中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点

A3,0，与y轴交于点B,且关于直线x=1对称.

(1)求该抛物线的解析式；

⑵当时，y的取值范围是0<y〈2t-1,求t的值;

⑶点c是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D,在y轴上是否存

在点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由.

18.（2024•四川南充•中考真题）已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A-1,0,B3,0.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,抛物线与y轴交于点C,点P为线段0C上一点（不与端点重合），殿PA,PB分别交抛物线

于点E,D,设4PAD面积为Si，Z\PBE面积为S2,求£的值；

⑶如图2,点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M,

N,过抛物线顶点G作直线l〃x轴，点Q是直线1上一动点.求QM+QN的最小值.

19.（2024•吉林•中考真题）如图，在4ABC中，ZC=90,ZB=30,AC=3cm,AD是AABC的角平分线.

动点P从点A出发，以J3cm/s的速度沿折线AD-DB向终点B运动.过点P作PQ〃AB,交AC于

点Q,以PQ为边作等边三角形PQE,且点C,E在PQ同侧，设点P的运动时间为tst>0,APQE

与AABC重合部分图形的面积为Scm2.

⑴当点P在线段AD上运动时，判断AAPQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式

表示）.

⑵当点E与点C重合时，求t的值.

⑶求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围.

20.（2024•四川德阳•中考真题）如图，抛物线y=x2-x+c与x轴交于点A-1,0和点B,与y轴交于点C.

6

（1）求抛物线的解析式；

（2）当0<xW2时，求y=x2-x+c的函数值的取值范围；

⑶将抛物线的顶点向下平移!■个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA+

■PM的最小值.

21.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形0AB的边0B在x轴上，

点A在第一象限，0A的长度是一元二次方程x2°、°的根，动庶从雨出发以每秒个单

管度的速度沿折线OA-AB运动，动点Q从点0出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB-BA运

动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动.设运动时间为t秒（0〈t〈3.6）,ZkOPQ的面积为S.

⑵求S与t的函数关系式；

（3）在⑵的条件下，当S=6/H时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N,使得以点0、P、M、N为

顶点的四边形是菱形.若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由.

22.（2024•江西•中考真题）综合与实践

如凰在RtZkABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连妾CD,以CD为直角边在CD

工m

的右侧构造R&DE,NDCE=9。，连接BE,CA

CD

图1图2图3

特例感知

(1)如图1,当m=1时，BE与AD之间的位置关系是,数量关系是；

类比迁移

⑵如图2,当mW1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想.

拓展应用

⑶在⑴的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF,EF,BF,如图3.已知AC=6,设AD=x，四

边形CDFE的面积为y.

①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；

②当BF=2时，请直接写出AD的长度.

23.(2024-黑龙江齐齐哈尔・中考真题)综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=4x-2与x轴

交于点A,与y轴交于点C,过A,C两点的抛物线y=ax2'UA'c与轴的另一个交点为3(

身，0),点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC

于点E,点F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D是x轴上的任意一点，若4ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；

⑶当EF=AC时，求点P的坐标；

(4)在⑶的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M,连妾NA,

MP,贝ljNA+MP的最小值为.

24(2024•四川广元・中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y=-x2+bx+c经过点

A-3,-1，与y轴交于点B0,2.

8

（1）求抛物线的函数表达式;

⑵在直线AB上方抛物线上有一动点C,连妾0C交AB于点D,求的最大值及此时点C的坐标；

⑶作抛物线F关于直线y=T上一点的对称图象F，抛物线F与F只有一个公共点E（点E在y轴右

侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F对称轴上一点，若以B,E,G,H为顶点的四边形是平行四边

形，求G点坐标.

25.（2024•母•中考真题）将一个平行四边形纸片0ABC放置在平面直角坐标系中，点00,0，点A3,0,

（1）填空：如图①，点C的坐标为，点B的坐标为；

⑵若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线1x轴，沿直线1折叠该纸片，折叠后点0的对应点

0落在x轴的正半轴上，点C的对应点为C.设OP=t.

①如图②，若直线1与边CB相交于点Q,当折叠后四边形POCQ与00ABC重叠部分为五边形时，

0C与AB相交于点E.试用含有t的式子表示线段BE的长，并直接写出t的取值范围；

②设折叠后重叠部分的面积为S,当春WtW,时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.

oq

26.（2024•湖南•中考真题）已知二次函数y=-x2+c的图像经过点A-2,5，点P当，Qx2,y是此二

2

次函数的图像上的两个动点.

(1)求此二次函数的表达式；

(2)如图1,此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B,点P在直线AB的上方，过点P作PC，x轴于

点C,交AB于点D,连妾AC,DQ,PQ.若x?=X]+3,求正底上的值为定值；

ADC

⑶如图2,点P在第二象限，握=-2可，若点M在直线PQ上，且横坐标为5-1,过点M作MN轴

于点N,求线段MN长度的最大值.

27.(2024•广东•中考真题)【问题背景】

如图1,在平面直角坐标系中，点B,D是直线y=axa>0上第一象限内的两个动点OD>0B,癖

段BD为对角线作矩形ABCD,AD〃x轴.反比例函数y=乂的图象经过点A.

X

【构建联系】

⑴求证：函数y=乂的图象必经过点C.

X

⑵如图2,拇E形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点B的坐标为12

时，求k的值.

【深入探究】

⑶如图3,把碗ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E,A重合时，连接AC交BD于点P.

以点。为圆心，AC长为半径作。0.若0P=司金，当。0与4ABC的边有交点时，求k的取值范围.

图1图2图3

28.(2024-四川达州・中考真题)如图1,抛物线y=ax2+kx-3与x轴交于点A-3,0和点B1,0，与y轴

10

交于点C.点D是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,连妾AC,DC,殿AC交抛物线的对称轴于点M,若点P是直线AC上方抛物线上一点，且

SAPMC=2SADMC,求点P的坐标；

⑶若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三

角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

29.(2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数丫=ax2+bx+caWO的图像

经过原点和点A4,0.经过点A的直线与该二次函数图象交于点B1,3，与y轴交于点C.

(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；

(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE_Lx轴于点E,与直线

AB交于点D,设点P的横坐标为m.

①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；

②是否存在点P,彳螭△BPD与AAOC相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

30.(2024•四川广安•中考真题)如图，抛物线y=-1~x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点

A坐标为(-1,0),点B坐标为(3,0).

(1)求此抛物线的函数解析式.

⑵点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D,过点P作y轴的垂

线，垂足为点E,请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有

最大值，请说明理由.

⑶点M为该抛物线上的点，当/MCB=45时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标.

31.(2024•山东烟台•中考真题)如图，抛物线yl=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,OC

=0A,AB=4,对称轴为直线I1:x=-1,将抛物线工绕点0旋转180后得到新抛物线”,抛物线％与y

轴交于点D,顶点为E,对称轴为直线12.

(1)分别求抛物线力和y2的表达式；

⑵如图1,点F的坐标为-6,0,动点M在直线L上，过点M作MN〃*轴与直线L交于点N,睡

FM,DN.求FM+MN+DN的最小值；

⑶如图2,点H的坐标为0,-2，动点P在抛物线丫2上，试探究是否存在点P,使NPEH=2NDHE?

若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

32.(2024•甘肃•中考真题)如图1,抛物线y=ax-h2+k交x轴于0,A4,0两点，顶点为B2,2/3•点

C为0B的中点.

12

(1)求抛物线y=a(x-h*+k的表达式；

⑵过点C作CH，0A,垂足为H,交抛物线于点E.求线段CE的长.

⑶点D为线段0A上一动点(0点除外)，在0C右侧作平行四边形0CFD.

①如图2,当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；

②如图3,般BD,BF,求BD+BF的最小值.

(1)如图1,若点D在点B的左侧，连接CD,过点A作AE，CD交BC于点E.若点E是BC的中点，求

证：AC=2BD；

⑵如图2,若点D在点B的右侧，连接AD,点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G,瞰CF.

过点F作FM，BG交AB于点M,CN平分NACB交BG于点N,求证：AM=CN+^BD；

⑶若点D在点B的右侧，连接AD,点F是AD的中点，且AF=AC.点P是直线AC上一动点，连接

FP,将FP绕点F逆时针旋转60得到FQ,峨BQ,点R是直线AD上一动点，连接BR,QR.在点P

的运动过程中，当BQ取得最小值时，在平面内将4BQR沿直线QR翻折得到ATQ%睡FT.在点

R的运动过程中，直接写出黑］的最大值.

动点综合问题（33题）

一、单选题

1.（2024•甘肃临夏•中考真题）如图1,腕ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D-B-C

的路径行进，过点P作PQ_LCD,垂足为Q.设点P的运动路程为x,PQ-DQ为y,y与x的函数图

11

D.

4

【答案】B

【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键.

根据函数的图象与坐标的关系确定CD的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解.

【详解】解：由图象得：CD=2,当BD+BP=4时，PQ=CD=2,此时点P在BC边上,

设此时BP=a，贝l|BD=4-a,AD=BC=2+a,

部/ZkBCD中，BD2-D"一,

即：24-a2-a+22=22,

解得：a

AAD=a+2=y,

故选：B.

2.（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）如图，在等腰RtAABC中，ZBAC=9。,AB=12,动点E,F同时从

点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随

之停止运动，连接EF,以EF为边向下做正方形EFGH,设点E运动的路程为x0<x<12，正方形

EFGH和等腰RtAABC重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（）

【答案】A

【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的

关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当HG与BC重合时，及当xW4时图象的走势，和

当x>4时图象的走势即可得到答案.

【详解】解：当HG与BC重合时，设AE=x,由题可得：

.\EF=EH=BE=12-x,

2-

在RtAEHB中，由勾股定理可得：BEon2cn2

V2x2+2=12-x2,

x=4,

・•・当0<xW4时，y=Qx2=2x2,

V2>0,

・••图象为开口向上的抛物线的一部分，

当HG在BC下方时，设AE=x,由题可得：

AEF=小，BE=12-x,

VZAEF=ZB=45,ZA=ZEOB=9（J,

AAFAE^AEOB,

・AE=E0

,x_E0

"%-x'

12-x

•.当4〈x〈12时，y=/2x12-xx=-x2+12x,

/-I<0,

,•图象为开口向下的抛物线的一部分，

综上所述：A正确,

故选：A.

3.（2024•四川泸州•中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC上的动点，

且满足AE=BF,AF与DE交于点。，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB,则0M+

2

：FG的最小值是（）

A.4B.5C.8D.10

【答案】B

【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明

△ADE^ABAFSAS得至！J/ADE=NBAE,进而得到NDOF=9O,则由直角三角形的性质可得0M=

：DF,如图标，在AB延长线上截取BH=BG,9FH,易证明△FBGgAFBHSAS，贝。FH=FG,可

得当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+1FG有最小值，最小值即为DH的长的一半,

求出AH=8,在RtAADH中，由勾股定理得DH=JAD?丁八口2-iU,+~PG的最小值为5.

备解】解：：四边形ABCD是正方形，

AD=AB,ZDAB=ZABC=90,

又；AE=BF,

.♦.△ADE义ABAFSAS,

Z.ZADE=ZBAF,

.\ZD0F=ZAD0+ZDA0=ZBAF+ZDA0=ZDAB=90,

,:点、M是DF的中点，

/.0M=-j-DF；

如图所示，在AB延长线上截取BH=BG,9FH,

VZFBG=ZFBH=90,FB=FB,BG=BH,

.•.△FBGgAFBHSAS,

.*.FH=FG,

OM+；FG=：DF+：HF=gDF+HF,

...当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+XFG有最小值，最小值即为DH的长的一半,

VAG=2GB,AB=6,

；.BH=BG=2,

AAH=8,

J^RtAADH中，由勾股定理得DH=代型丁八口2一

AOM+:FG的最小值为5,

故选：B.

4.（2024•甘肃•中考真题）如图1,动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB-BC匀速运动，运动到点C

时停止.设点P的运动路程为X,P0的长为y,y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点

时，P0的长为（）

D.2V2

【答案】C

【分析】结合图象，得到当x=0时，P0=A0=4,当点P运动到点B时，P0=B0=2,根据菱形的性质，得

ZAOB=ZBOC=90,继而得到AB=BC=〃0A2+OB?=2/5,当点P运动到BC中点时，P0的长为

C=e，解得即可.

本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三

角形的性质是解题的关键.

【详解】结合图象，得到当x=0时，P0=A0=4,

当点P运动到点B时，P0=B0=2,

根据菱形的性质，得/AOB=ZB0C=90,

,AB=BC=VOA2'UD2丁，

当点P运动到BC中点时，P0的长为：BC=JE,

故选C.

5.（2024•湖南长沙•中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=6,ZB=3G，点E是BC边上的动点，连接

AE,DE,过点A作AF±DE于点P.设DE=x,AF=y,则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变

量x的取值范围）（）

18D.yi

Cr.y=——

XX

【答案】C

【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的

性质求解x、y的关系式是解答的关键.过D作DH，BC,交BC延长线于H,则NDHE=90,木雕菱形的

性质和平行线的性质得到CD=AD=AB=6,ZADF=ZDEH,ZDCH=ZB=30,蜥利用含30度角的

直角三角形的性质DH=-1CD=3,证明AAFD-ADHE得到*=普，然后代值整理即可求解.

乙1）nDE

【详解】解：如图，过D作DH，BC,交BC延长线于H,则NDHE=90,AD

:在菱形ABCD中，AB=6,ZB=30°,^7\

AB〃CD,AD〃BC,CD=AD=AB=6,

B

.\ZADF=ZDEH,ZDCH=ZB=30,gc'......"

9

在RtACDH中，DH=^-CD=3,

VAF_LDE,

AZAFD=ZDHE=90，又NADF=NDEH,

:•△AFDSADHE,

.AFAD

VDE=x,AF=y,

.y=6

•丁丁

・

・・y_—18—9

x

故选：c.

二、填空题

6.（2024-的扬州•中考真题）如图，已知两条平行线L、L，点A是L上的定点,AB1于点B,点C、D分

别是L、12上的动点，且满足AC=BD,®CD交线段AB于点E,BH±CD于点H,则当NBAH最大

时，sinZBAH的值为.

【分析】证明AACE之ABDEASA，酬BE=AE=JAB,全叫BH_LCD,得出NBHE=90,说明点H在

以BE为直径的圆上运动，取线段BE的中点0,以点0为圆心，0B为半径画圆，则点H在。。上运动，说明

当AH与。0相切时/BAH最大，得出OHJ_AH,1瞩AO=AE+0E=30E,利用sinNBAH=—=

A0

黑_=I.,即可求出结果.

30E3

【详解】解：•・•两条平行线1、1,点A是1上的定点，AB，21于点B,

・••点B为定点，AB的长度为定值，

”〃12，

AZACE=ZBDE,ZCAE二ZDBE,

VAC=BD,

:•△ACE也ABDEASA,

ABE=AE=yAB,

VBH_LCD,

AZBHE=90,

・••点H在以BE为直径的圆上运动，

如图，取线段BE的中点0,以点0为圆心，0B为半径画圆,

则点H在。。上运动,

・••当AH与。0相切时NBAH最大,

AOH_LAH,

VAE二OB=2OE,

AAO=AE+OE=3OE,

VOH=0E,

OH_OE_1

二•sinNBAH=

TO--3OE-豆

故答案为：

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等

知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹.

7.（2024•四川广安•中考真题）如图，在nABCD中，AB=4,AD=5,ZABC=30，点M为直线BC上一

动点，则MA+MD的最小值为.

【答案】@

【分析】如图，作A关于直线BC的对称点A,原AD交BC于M，则AH=AH,AH±BC,AM=AM,

当M,M重合时，MA+MD最小，最小值为AD,再进一步结合勾股定理求解即可.

【怖】解：如图，作A关于直线BC的对称点A,雌AD交BC于M，则AH=AH,AH，BC,AM=

AM,

...当M,M重合时，MA+MD最小，最小值为AD,

VAB=4,ZABC=3ff，在口ABCD中，

.".AH=yAB=2,AD〃BC,

AAA=2AH=4,AA±AD,

VAD=5,

A

AD=J42+5Z=内,

故答案为：、何

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知

识点是解题的关键.

8.（2024•四川凉山•中考真题）如图，OM的圆心为M4,0，半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,

过点P作。M的切线，切点为Q,则PQ的最小值为

【答案】2/7

【分析】记直线y=x+4与x,y轴分别交于点A,K,连接QM,PM,KM；由直线解析式可求得点A、K的坐

标，从而得△0AK,40KM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ=JPM）-Q,由QM=2,则

___________6

当PM最小时，PQ最小，点P与点K重合，此时PM最小值为KM，由勾股定理求得PM的最小值，从而求得

结果.

【详解】解：记直线y=x+4与x,y轴分别交于点A,K,峨QM,PM,KM,

当x=0,y=4,当y=0,即x+4=0,

解得：x=-4,

即K(0,4),A(-4,0)；

而M4,0,

AOA=OK=0M=4,

.,.△OAK.AOKM均是等腰直角三角形，

.\ZAK0=ZMK0=45,

AZAKM=90,

：QP与。M相切，

AZPQM=90,

/.PQ=JPM'z-Q旷,

VQM=2,

...当PQ最小时即PM最小，

.•.当PM，AK时,取得最小值，

即点P与点K重合，此时PM最小值为KM,

在RtZkOKM中，由勾股定理得：KM0MZ+0K2=

PQ=〃32-4=2。,'

；»、最小值为2〃.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线

是解题的关键.

9.（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图，已知NA0B=50，点P为NA0B内部一点，点M为射线0A、点N

为射线0B上的两个动点，当APNIN的周长最小时，则/MPN=.

【答案】80月0度

【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于0A,

0B的对称点Pj,P2.连接0P”0P*则当M,N是PR2与0A,0B的交点时，MN的周长最短，根据对

称的性质结合等腰三角形的性质即可求解.

【详解】解：作P关于0A,0B的对称点R,b连接OP-0P2.则当M,N是BP?与0A,0B的交点时，

△PMN的周长最短，连接PF、P2P,

VP,Pl关于0A对称，

.\ZPjOP=2ZM0P,OPj=OP,PjM=PM,ZOPjM=/OPM,

A

//必2

同理，NgOP=2NN0P,OP=OR,NORN=NOPN,

；./PiOP2=ZROP+ZP20P=2(ZM0P+ZNOP)=2ZA0B=100,OPj=0P2=OP,

.•.△PQP2是等腰三角形.

.\Z0P2N=ZOPxM=40,

Z.ZMPN=ZMPO+ZNPO=Z0P2N+NOP1M=80

故答案为：80.

10.（2024•四川成都•中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A3,0,B0,2，过成B作y轴的垂线

1,P为直线1上一动点，连接P0,PA,则P0+PA的最小值为

【答案】5

【分析】本题考查轴对称-最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质.先取点A关于直线1的对称点A,

连A0交直线1于点C,连AC,德UAC=AC,AA±1,再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得至U

当0,P,A三点共线时，P0+PA的最小值为A0,再利用勾股定理求A0即可.

【详解】解：取点A关于直线1的对称点A，连A0交直线1于点C,连AC,

则可知AC=AC,AA±1,

Z.PO+PA=P0+PA2A0,

即当0,P,A三点共线时，P0+PA的最小值为A0,

.直线1垂直于y轴，

；.AA_Lx轴，

VA3,0,B0,2,

A0=3,AA=4,

.•.在RtZkAA0中，

A0=J0A：+AA2K32+42=5,

故答案为：5

11.（2024•四川内江•中考真题）如图，在4ABC中，ZABC=60,BC=8,E是BC边上一点，且BE=2,点

I是AABC的内心，BI的延长线交AC于点D,P是BD上一动点，连接PE、PC,则PE+PC的最小值

为.

8

A

【答案】2/13

【分析】在AB取点F,使BF=BE=2,雌PF,CF,过点F作FH，BC于H,利用三角形内心的定义可得

出/ABD=ZCBD,禾帏SAS证明△BFPg/kBEP,彳融PF=PE,贝I]PE+PC=PF+PC》CF,当C、

P、F三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF,利用含30的直角三角形的性质求出BH,利用勾股定理求

出FH,CF即可.

【详解】解：在AB取点F,使BF=BE=2,峨PF,CF,过点F作FH，BC于H,

VI>AABC的内心，

...BI平分ZABC,

Z.ZABD=ZCBD,

又BP=BP,

.♦.△BFPgABEPSAS,

APF=PE,

APE+PC=PF+PC》CF,

当C、P、F三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF,

VFH_LBC,ZABC=60,

.\ZBFH=30,

ABH=；BF=1,

AFH=VBF2-BH-=F，CH=BC-BH=7,

CF=JCH2+FH2=2W，

APE+PC的最小值为2g.

故答案为：QB.

【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含30的直角三角形的性质，勾股定理等知识,

明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含30的直角三角形是解题的关键.

12.（2024•山东烟台•中考真题）如图，在口ABCD中，NC=120,AB=8,BC=10.E为边CD的中点，F

为边AD上的一动点，将4DEF沿EF翻折得EF,雌AD,BD,KJAABD面积的最小值为

【答案】20/3-16/-16+20/3

【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=8,AB〃CD,ZABC=60,由折叠性质得到ED=DE=4,

进而得到点D在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作EM_LAB交AB延长线于M,交圆E于

D，止的D到边AB的距离最短，最小值为DM的长，即此时AVBD面积的最小，过C作CNLAB于N,根

据平行线间的距离处处相等得到E