2024学年成都市蓉城高二数学上学期12月期末考试卷附答案解析

学年成都市蓉城高二数学上学期12月期末考试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（）A． B． C． D．2．若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（）A． B． C． D．3．成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据的第70百分位数是（）A．56 B．59 C．62 D．64.54．设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（）A． B． C． D．5．不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（）A． B． C． D．6．已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（）A． B． C．或 D．或7．如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在空间直角坐标系中，，则（）A． B．点到直线的距离为C． D．直线与平面所成角的正弦值为10．已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（）A．若事件与事件互斥，则B．若事件与事件相互独立，则C．若事件发生时事件一定发生，则D．若，则事件与事件相互独立11．已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，椭圆与双曲线的离心率分别为，则下列说法正确的是（）A． B．当时，C．的最小值为 D．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设一组数据的平均数为11，则的平均数为______．13．过三点的圆的标准方程为______．14．已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）“世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书日”．自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛的学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；（2）已知成绩落在的学生平均成绩为62，方差为9，落在的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数和总体方差．16．（15分）已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为．（1）当点的横坐标为2时，求切线的方程；（2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值．17．（15分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次．已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲．（1）求第3次投篮者为乙的概率；（2）求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率．18．（17分）在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值．19．（17分）一动圆与圆外切，与圆内切．（1）设动圆圆心的轨迹为，求曲线的方程；（2）①若点是直线上的动点，直线与曲线分别交于两点，证明：直线过定点；②设和的面积分别为和，求的最大值．数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678CABBCADB1．解：点关于轴的对称点的坐标为，故选C．2．解：直线的方向向量为直线的斜率，整理得：，故选A．3．解：数据个数共有10个，且为从小到大排列，这组数据的第70百分位数为第7个数据56和第8个数据62的平均数59，故选B．4．解：，双曲线的方程为，故选B．5．解：从4个白球，2个红球中不放回抽取2个球，共有15种情况，其中抽出2球均为白球有6种情况，，故选C．6．解：根据题意知，圆心到直线的距离，故选A．7．解：设，又，故选D．8．解：设，两式相减，得，直线的方程为：，代入双曲线中，得，，故选B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BCABDACD9．解：A选项：，故A错误；B选项：取，点到直线的距离，故B正确；C选项：，故C正确；D选项：易求平面的法向量，故D错误；故选BC．10．解：A选项：事件与事件互斥，，故A正确；B选项：事件与事件相互独立，，，故B正确；C选项：若事件发生时事件一定发生，，故C错误；D选项：事件与事件相互独立，事件与事件相互独立，故D正确；故选ABD．11．解：A选项：为焦点三角形，，故A正确；B选项：根据椭圆和双曲线的定义，可得，，在中，由余弦定理，可得：，，整理得，，当时，，故B错误；C选项：，故C正确；D选项：，故取，，故D正确；故选ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．90解：的平均数的平均数．13．解：设圆的方程为，代入三点，有圆的标准方程为．14．26解：离心率为等边三角形，设，直线的方程为，代入中，得，，周长．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）解：（1）众数：75，第1至第6组的频率分别为，平均数：；（2）根据题意可知，成绩落在的学生人数为20人，成绩落在的学生人数为30人，总体平均数：，总体方差：．16．（15分）解：（1）点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为，①当切线的斜率不存在时，满足题意，此时，切线的方程为；②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为，即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：，，此时，切线方程为，化简，得，切线方程为或；（2）为公共边，，，又当最小时，最小，由题意可知，当时，最小，此时，，，四边形面积的最小值为．17．（15分）解：（1）设事件"甲第次投篮投进"，事件"乙第次投篮投进"，事件"第三次投篮者为乙"，根据题意可知，与互斥，；（2）设事件"前4次投篮中甲投篮次数不少于3次"，根据题意可知：，事件互斥，且每次投篮的结果相互独立，．18．（17分）解：（1）证明：连接，在中，，，在中，，同理可得：，平面；（2）设为的中点，，平面平面，平面平面，又平面平面平面，平面以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，，，取，设直线与平面所成角为，（其他解法酌情给分）（3）设，，，设点到平面的距离为，，，是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为，设平面的法向量为，，．取，设平面与平面所成的角为，．19．（17分）解：（1）设动圆的半径为，动圆与圆外切，