2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级上学期数学10月月考试题及答案1

2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级上学期数学10月月考试题及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）1.下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义解答．【详解】解：①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；②当a=0时不是一元二次方程；③去括号化简后可得：-x-6=-3，不是一元二次方程；④分母里含有未知数，为分式方程，不是一元二次方程；⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的基础知识，熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程是解题关键．2.下列判断错误的是（）A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.四个内角都相等的四边形是矩形C.四条边都相等的四边形是菱形 D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐一进行判断即可．【详解】A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，说法正确，不符合题意；B、四个内角都相等的四边形是矩形，说法正确，不符合题意；C、四条边都相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意；D、两条对角线垂直且平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法．熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法是解题的关键．3.关于x的一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.实数根的个数由m的值确定【答案】A【解析】【分析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．【详解】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，∴，∴方程有两个不相等实数根．故选A【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．4.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）.A.频率等于概率B.当实验次数很大时，频率稳定在概率附近C.当实验次数很大时，概率稳定在频率附近D.实验得到的频率与概率不可能相等【答案】B【解析】【详解】A、当实验次数很大时，频率稳定在一个常数附近，可作为概率的估计值，不一定与概率相等，故A错误；B、正确；C、当实验次数很大时，随机事件发生的概率是一个固定值，不会改变，故C错误；D、可以相同，如“抛硬币实验”，抛两次，其中一次正面向上，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．故选：B．5.菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（）A.cm B.2cm C.1cm D.2cm【答案】B【解析】【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2（cm），则OA＝1（cm），然后由勾股定理求出OB＝（cm），即可求解．【详解】解：∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2cm，∴OA＝1（cm），在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm），∴BD＝2OB＝2（cm），故选：B．【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定方法．6.已知a，b是方程的两根，则代数式的值为（）A. B.2015 C. D.2027【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可进行解答．【详解】解：∵a，b是方程的两根，∴，，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握两根之和等于，两根之积等于．7.用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】故选：D．8.某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x，则下面所列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由该超市一月份及三月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】依题意得：．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9.若一个袋子中装有形状与大小均完全相同的4张卡片，4张卡片上分别标有数字﹣2，﹣1，2，3，现从中任意抽出其中两张卡片分别记为x，y，并以此确定点P（x，y），那么点P落在直线y=﹣x+1上的概率是（

）A.

B.

C.

D.【答案】B【解析】【分析】画树状图得到所有可能出现的情况，然后从中找出落在直线y=﹣x+1上点的个数，然后利用概率公式进行计算即可得．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能结果，其中点P落在直线y=﹣x+1上的有（﹣2，3）、（﹣1，2）、（2，﹣1）、（3，﹣2），共4种情况，所以点P落在直线y=﹣x+1上的概率是，故选B．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB,CD上，且，连接EF交BD于点O连接AO.若,，则的度数为（）A.50° B.55° C.65° D.75°【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质以及已知条件可证明△BOE≌△DOF，然后根据全等三角形的性质可得BO=DO，即O为BD的中点，进而可得AO⊥BD，再由∠ODA=∠DBC=25°，即可求出∠OAD的度数.【详解】∵四边形ABCD为菱形∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC∴∠ODA=∠DBC=25°，∠OBE=∠ODF，又∵AE=CF∴BE=DF在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF（AAS）∴OB=OD即O为BD的中点，又∵AB=AD∴AO⊥BD∴∠AOD=90°∴∠OAD=90°-∠ODA=65°故选C.【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握菱形的性质，得出全等三角形的判定条件是解题的关键.11.如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（）A.5 B.10 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴PQ∥AD，而点Q是AB的中点，故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，同理可得，PM是△ABC的中位线，故点P是AC的中点，即点P是菱形ABCD对角线的交点，∵四边形ABCD是菱形，则△BPC为直角三角形，,在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．12.如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，有以下四个结论：①；②；③若，，则；④若，则，其中正确的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】①延长，截取，连接，如图，易证，，得，即，成立；②过作的垂线，截取，连接，，如图，易证，，得，最后根据勾股定理可作判断；③连接，过作于点，证明得，进而证明，得；④过点作过作，与交于点，连接，与的延长线交于点，证明为等腰直角三角形，证明四边形为平行四边形，便可解决问题．【详解】①延长，截取，连接，如图，四边形是正方形，，，，在和中，，，，，，，，，即，，，，，即，故①正确；②过作的垂线，截取，连接，，如图，四边形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，在中，，，故②正确；③连接，过作于点，四边形为正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故③错误；④过点作过作，与交于点，连接，与的延长线交于点，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，、、、四点共圆，，，，，四边形为平行四边形，，，故④正确，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－x+a2－1=0的一个根是0，那么a的值为________．【答案】-1【解析】【分析】把x=0代入方程（a－1）x2－x+a2－1=0，即可得到关于a的方程，再结合二次项系数不能为0，即可得到结果．【详解】由题意得，解得，则a=-1故答案为：-1【点睛】考点：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．同时注意一元二次方程的二次项系数不能为0.14.如图，一农户要建一个的矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，设垂直于住房墙的一边长度为，则根据题意列方程为______．【答案】【解析】【分析】用含x的代数式表示出矩形猪舍平行于住房墙的一边的长度，根据矩形面积公式即可列出方程．【详解】解：设垂直于住房墙的一边长度为，则平行于住房墙的一边长度为，根据矩形猪舍的面积为，可得，故答案为：．【点睛】本题考查列一元二次方程，读懂题意，用代数式表示出矩形的长和宽是解题的关键．15.已知关于x的一元二次方程的实数根为、，且，则m＝______．【答案】2或【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出和，列等式，解方程即可．【详解】解：一元二次方程中，，，，∴，，∵，∴，即，∴，解得，．故答案为：2或．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系以及解一元二次方程，解题的关键是牢记一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程有两个实数根，那么，．16.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为_____．【答案】30．【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．【详解】由题意可得，×100%＝20%，解得，a＝30．故答案为30．【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．17.如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，连接CE，则CE的长为_____．【答案】2.5【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD-AE=4-x，在Rt△CDE中，，即，解得x=25，即CE的长为2.5，故答案为：2.5．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．18.如图，四边形是正方形，点E在的延长线上，连接，交于点F，连接，点H是的中点，连接，则下列结论中：①；②；③；④若，则的面积为．正确的是_______（填写所有正确结论的序号）．【答案】①②③【解析】【分析】证明△ABE≌△ADF（ASA），可判断①；利用等腰三角形三线合一性质证明AH⊥EF，可得∠ABE=∠AHE=90°，最后得出结论即可判断②；在BC上截取CG=CF，连接FG，利用等腰直角三角形性质及中位线定理进行判断③；过点H作HM⊥BC，可得HM=FC，最后求得的面积进行判断④．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠ABE=∠ADF=∠BAD=90°，∵AE⊥AF，∴∠EAF=∠BAD=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△AEE≌△ADF（ASA），∴BE=DF，故①正确；∵△AEE≌△ADF，∴AE=AF，设AB与EH相交于点O，则∠BOE=∠AOH，∵点H是的中点，∴AH⊥EF，∴∠ABE=∠AHE=90°，∴，故②正确；如图，在BC上截取CG=CF，连接FG，∵∠C=90°，∴△CGF是等腰直角三角形，∴，∵BC=DC，CG=CF，∴DF=BG，∵DF=BE，∴BG=BE，∵EH=HF，∴BH=GF，∴，故③正确；如图，过点H作HM⊥BC，∵，∴CF=3，BE=1，∵EH=HF，HM⊥BC，FC⊥BC，∴HM=FC=，∴，故④错误；∴正确的有①②③共3个，故答案为①②③．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．三、解答题（本大题共8小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）2x（x+1）＝x+1．【答案】（1）＝5，＝﹣1；（2）＝－1，＝0.5【解析】【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）∵﹣4x＝5，∴﹣4x＋4＝5＋4，即＝9，则x﹣2＝，∴＝5，＝﹣1；（2）∵2x（x＋1）﹣（x＋1）＝0，∴（x＋1）（2x﹣1）＝0，则x＋1＝0或2x﹣1＝0，解得＝－1，＝0.5．【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，因式分解法求解，根据方程的特点，灵活选择解题方法是解题的关键．20.已知关于x的一元二次方程有，两实数根．（1）若，求及的值；（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）存在，【解析】【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可；（2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．【详解】解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0，∴m<5，将x1=1代入原方程得：m=3，又∵x1•x2=2m−1=5，∴x2=5，m=3；（2）设存在实数m，满足，那么有，即，整理得：，解得或．由（1）可知，∴舍去，从而，综上所述：存在符合题意．【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．21.如图，在菱形中，对角线与交于点O，，．求证：四边形是矩形．【答案】见解析【解析】【分析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论．【详解】证明：，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，，四边形是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的性质，熟练掌握矩形的判定与菱形的性质是解题的关键．22.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？【答案】售价应定为50元．【解析】【分析】设售价应定为x元，则每件的利润为元，日销售量件，根据日利润保持不变为等量关系可列得方程，解出方程即可．【详解】解：设售价应定为x元，则每件的利润为元，日销售量件，依题意，得：，整理，得：，解得：，（舍去），答：售价应定为50元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，根据等量关系列出方程是解题的关键．23.已知：如图，在中，，的平分线交于点F，E是的中点，过点A作，交的延长线于点D．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）给添加一个条件，使得四边形是菱形．请证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）；证明见解析．【解析】【分析】（1）证明，得到即可得证；（2）当时，根据角平分线的定义，得到，进而得到，即可得解．【小问1详解】证明：∵，∴，∵E是的中点，∴，在和中，，∴（ASA）∴，∵，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】当时，四边形是菱形．证明：∵为的角平分线，∴，∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．【点睛】本题考查平行四边形和菱形判定．同时考查了全等三角形的判定和性质．熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法，以及通过平行线的性质证明三角形全等是解题的关键．24.某校开设了书画、器乐、戏曲、棋类四类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（1）本次随机调查抽取了多少名学生？（2）补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分；（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择“戏曲”课程的学生有多少名；（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用列表或画树状图的方法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母，，，表示）【答案】（1）200名；（2）见解析；（3）320名；（4）【解析】【分析】（1）根据统计图及题意可由棋类的人数和百分比进行求解即可；（2）由（1）及题意可得“书画”和“戏曲”的人数，进而问题可求解；（3）根据题意可直接进行求解；（4）由题意可得出树状图，然后问题可求解．【详解】解：（1）由图可得：（名）；答：本次随机调查抽取了200名学生．（2）由题意得：选择“书画”课程的学生有（名），选择“戏曲”课程的学生有（名），∴补全条形统计图如图所示：（3）由题意及统计图可得：（名）；答：全校选择“戏曲”课程的学生有320名．（4）画树状图如下：由树状图，知共有12种等可能出现的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的结果有2种，所以（恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程）．【点睛】本题主要考查概率及扇形统计图，熟练掌握概率的求法及扇形统计图是解题的关键．25.为改善居民居住条件，提高土地利用率，某乡2020年投入资金320万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2022年计划投入资金720万元．（1）从2020年到2022年，该乡投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2022年异地安置的具体实施中，该乡计划投入资金不低于160万元用于优先搬迁租房奖励，规定前100户（含第100户）每户每天奖励8元，100户以后每户每天奖励6元，按租房400天计算，求2022年该乡至少有多少户可以享受到优先搬迁租房奖励．【答案】（1）（2）634【解析】【分析】（1）根据题意，找出等量关系列出方程求解即可，2020年投入资金×（1+增长率）=2022年投入资金．（2）设2022年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前100户获得的奖励总数+100户以后获得的奖励总和≥160万，列不等式求解可得．小问1详解】解：设该乡投入异地安置资金的年平均增长率为x，，解得：，（舍），，答：该乡投入异地安置资金的年平均增长率为．【小问2详解】设2022年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得：，解得：．答：2022年该地至少有634户享受到优先搬迁租房奖励．【点睛】本题主要考查一元二次方程与一元一次不等式的应用，由题意准确抓住数量关系，列出方程或不等式是解题的关键．26.如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值；（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)AB＝3，BC＝4；(2)t＝4；(3)t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形．【解析】【分析】（1）解一元二次方程即可求得边长；（2）结合图形，利用勾股定理求解即可；（3）根据题意，分为：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解.【详解】解：(1)∵x2－7x＋12＝0，∴(x－3)(x－4)＝0，∴＝3或＝4，则AB＝3，BC＝4，(2)由题意得，∴，(舍去)，则t＝4时，AP＝．(3)存在点P，使△CDP是等腰三角形．①当PC＝PD＝3时，t＝＝10(秒)．②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4．∴AC＝＝5，CP1＝AC＝2.5，∴t＝＝9.5(秒)．③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q，，，∴PC＝2PQ＝，∴(秒)，可知当t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形．27.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△COB沿BC翻折，点O恰好落在AB边的点D处，BC为折痕．（1）求线段AB的长；（2）求直线BC的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）AB=10；（2）y=2x+6；（3）存在，满足条件的P点的坐标为（3，2）或（-4，8）．【解析】【分析】（1）利用直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，即可求解；（2）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，设OC=n，则CD=n，AC=8﹣n，在Rt△ACD中，由勾股定理可列出关于n的方程，解出方程即可求出点C，然后根据待定系数法即可求解；（3）设M（m，2m+6），，然后进行分类讨论：①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B；②当AB为矩形的对角线时，如图所示有矩形，然后根据勾股定理结合中点公式即可解答．【详解】（1）∵对于直线，当x=0时，y=6；当y=0时，x=-8，∴A(-8，0)，B(0，6)，∴OA=8，OB=6，在直角△AOB中，（2）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴OC=CD，BD=OB=6，AD=AB-BD=4，设OC=n，则CD=n，AC=8﹣n，∵在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：n=3．即OC=3，则C的坐标是（﹣3，0）．设直线BC解析式为，将点B(0，6)，C(-3，0)代入，得：解得：，∴直线BC的解析式是；（3）∵点M在直线BC：y=2x+6上，∴可设M（m，2m+6），①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，可有AB2+AM12=BM12∵A（-8，0），B（0，6）∴AM12=(8+m)2+(2m+6)2=5m2+40m+100，BM12=m2+(6-2m-6)2=5m2，根据AB2+AM12=BM12，得100+5m2+40m+102=5m2，解得m=-5，∴M1（-5，-4），∴的中点坐标为，即的中点也为，则有，解得：，∴；②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2=AM22+BM22，即100=5m2+40m+100+5m2，m=-4或m=0（舍去），∴M2（-4，-2），AB的中点坐标为，即的中点也为，则，解得：∴，综上所述，满足条件的P点的坐标为（3，2）或（-4，8）．【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，用待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，及中点公式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式，及分类思想．2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级上学期数学10月月考试题及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）1.下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义解答．【详解】解：①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；②当a=0时不是一元二次方程；③去括号化简后可得：-x-6=-3，不是一元二次方程；④分母里含有未知数，为分式方程，不是一元二次方程；⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的基础知识，熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程是解题关键．2.下列判断错误的是（）A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.四个内角都相等的四边形是矩形C.四条边都相等的四边形是菱形 D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐一进行判断即可．【详解】A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，说法正确，不符合题意；B、四个内角都相等的四边形是矩形，说法正确，不符合题意；C、四条边都相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意；D、两条对角线垂直且平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法．熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法是解题的关键．3.关于x的一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.实数根的个数由m的值确定【答案】A【解析】【分析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．【详解】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，∴，∴方程有两个不相等实数根．故选A【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．4.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）.A.频率等于概率B.当实验次数很大时，频率稳定在概率附近C.当实验次数很大时，概率稳定在频率附近D.实验得到的频率与概率不可能相等【答案】B【解析】【详解】A、当实验次数很大时，频率稳定在一个常数附近，可作为概率的估计值，不一定与概率相等，故A错误；B、正确；C、当实验次数很大时，随机事件发生的概率是一个固定值，不会改变，故C错误；D、可以相同，如“抛硬币实验”，抛两次，其中一次正面向上，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．故选：B．5.菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（）A.cm B.2cm C.1cm D.2cm【答案】B【解析】【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2（cm），则OA＝1（cm），然后由勾股定理求出OB＝（cm），即可求解．【详解】解：∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2cm，∴OA＝1（cm），在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm），∴BD＝2OB＝2（cm），故选：B．【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定方法．6.已知a，b是方程的两根，则代数式的值为（）A. B.2015 C. D.2027【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可进行解答．【详解】解：∵a，b是方程的两根，∴，，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握两根之和等于，两根之积等于．7.用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】故选：D．8.某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x，则下面所列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由该超市一月份及三月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】依题意得：．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9.若一个袋子中装有形状与大小均完全相同的4张卡片，4张卡片上分别标有数字﹣2，﹣1，2，3，现从中任意抽出其中两张卡片分别记为x，y，并以此确定点P（x，y），那么点P落在直线y=﹣x+1上的概率是（

）A.

B.

C.

D.【答案】B【解析】【分析】画树状图得到所有可能出现的情况，然后从中找出落在直线y=﹣x+1上点的个数，然后利用概率公式进行计算即可得．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能结果，其中点P落在直线y=﹣x+1上的有（﹣2，3）、（﹣1，2）、（2，﹣1）、（3，﹣2），共4种情况，所以点P落在直线y=﹣x+1上的概率是，故选B．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB,CD上，且，连接EF交BD于点O连接AO.若,，则的度数为（）A.50° B.55° C.65° D.75°【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质以及已知条件可证明△BOE≌△DOF，然后根据全等三角形的性质可得BO=DO，即O为BD的中点，进而可得AO⊥BD，再由∠ODA=∠DBC=25°，即可求出∠OAD的度数.【详解】∵四边形ABCD为菱形∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC∴∠ODA=∠DBC=25°，∠OBE=∠ODF，又∵AE=CF∴BE=DF在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF（AAS）∴OB=OD即O为BD的中点，又∵AB=AD∴AO⊥BD∴∠AOD=90°∴∠OAD=90°-∠ODA=65°故选C.【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握菱形的性质，得出全等三角形的判定条件是解题的关键.11.如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（）A.5 B.10 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴PQ∥AD，而点Q是AB的中点，故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，同理可得，PM是△ABC的中位线，故点P是AC的中点，即点P是菱形ABCD对角线的交点，∵四边形ABCD是菱形，则△BPC为直角三角形，,在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．12.如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，有以下四个结论：①；②；③若，，则；④若，则，其中正确的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】①延长，截取，连接，如图，易证，，得，即，成立；②过作的垂线，截取，连接，，如图，易证，，得，最后根据勾股定理可作判断；③连接，过作于点，证明得，进而证明，得；④过点作过作，与交于点，连接，与的延长线交于点，证明为等腰直角三角形，证明四边形为平行四边形，便可解决问题．【详解】①延长，截取，连接，如图，四边形是正方形，，，，在和中，，，，，，，，，即，，，，，即，故①正确；②过作的垂线，截取，连接，，如图，四边形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，在中，，，故②正确；③连接，过作于点，四边形为正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故③错误；④过点作过作，与交于点，连接，与的延长线交于点，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，、、、四点共圆，，，，，四边形为平行四边形，，，故④正确，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－x+a2－1=0的一个根是0，那么a的值为________．【答案】-1【解析】【分析】把x=0代入方程（a－1）x2－x+a2－1=0，即可得到关于a的方程，再结合二次项系数不能为0，即可得到结果．【详解】由题意得，解得，则a=-1故答案为：-1【点睛】考点：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．同时注意一元二次方程的二次项系数不能为0.14.如图，一农户要建一个的矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，设垂直于住房墙的一边长度为，则根据题意列方程为______．【答案】【解析】【分析】用含x的代数式表示出矩形猪舍平行于住房墙的一边的长度，根据矩形面积公式即可列出方程．【详解】解：设垂直于住房墙的一边长度为，则平行于住房墙的一边长度为，根据矩形猪舍的面积为，可得，故答案为：．【点睛】本题考查列一元二次方程，读懂题意，用代数式表示出矩形的长和宽是解题的关键．15.已知关于x的一元二次方程的实数根为、，且，则m＝______．【答案】2或【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出和，列等式，解方程即可．【详解】解：一元二次方程中，，，，∴，，∵，∴，即，∴，解得，．故答案为：2或．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系以及解一元二次方程，解题的关键是牢记一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程有两个实数根，那么，．16.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为_____．【答案】30．【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．【详解】由题意可得，×100%＝20%，解得，a＝30．故答案为30．【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．17.如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，连接CE，则CE的长为_____．【答案】2.5【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD-AE=4-x，在Rt△CDE中，，即，解得x=25，即CE的长为2.5，故答案为：2.5．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．18.如图，四边形是正方形，点E在的延长线上，连接，交于点F，连接，点H是的中点，连接，则下列结论中：①；②；③；④若，则的面积为．正确的是_______（填写所有正确结论的序号）．【答案】①②③【解析】【分析】证明△ABE≌△ADF（ASA），可判断①；利用等腰三角形三线合一性质证明AH⊥EF，可得∠ABE=∠AHE=90°，最后得出结论即可判断②；在BC上截取CG=CF，连接FG，利用等腰直角三角形性质及中位线定理进行判断③；过点H作HM⊥BC，可得HM=FC，最后求得的面积进行判断④．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠ABE=∠ADF=∠BAD=90°，∵AE⊥AF，∴∠EAF=∠BAD=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△AEE≌△ADF（ASA），∴BE=DF，故①正确；∵△AEE≌△ADF，∴AE=AF，设AB与EH相交于点O，则∠BOE=∠AOH，∵点H是的中点，∴AH⊥EF，∴∠ABE=∠AHE=90°，∴，故②正确；如图，在BC上截取CG=CF，连接FG，∵∠C=90°，∴△CGF是等腰直角三角形，∴，∵BC=DC，CG=CF，∴DF=BG，∵DF=BE，∴BG=BE，∵EH=HF，∴BH=GF，∴，故③正确；如图，过点H作HM⊥BC，∵，∴CF=3，BE=1，∵EH=HF，HM⊥BC，FC⊥BC，∴HM=FC=，∴，故④错误；∴正确的有①②③共3个，故答案为①②③．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．三、解答题（本大题共8小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）2x（x+1）＝x+1．【答案】（1）＝5，＝﹣1；（2）＝－1，＝0.5【解析】【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）∵﹣4x＝5，∴﹣4x＋4＝5＋4，即＝9，则x﹣2＝，∴＝5，＝﹣1；（2）∵2x（x＋1）﹣（x＋1）＝0，∴（x＋1）（2x﹣1）＝0，则x＋1＝0或2x﹣1＝0，解得＝－1，＝0.5．【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，因式分解法求解，根据方程的特点，灵活选择解题方法是解题的关键．20.已知关于x的一元二次方程有，两实数根．（1）若，求及的值；（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）存在，【解析】【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可；（2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．【详解】解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0，∴m<5，将x1=1代入原方程得：m=3，又∵x1•x2=2m−1=5，∴x2=5，m=3；（2）设存在实数m，满足，那么有，即，整理得：，解得或．由（1）可知，∴舍去，从而，综上所述：存在符合题意．【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．21.如图，在菱形中，对角线与交于点O，，．求证：四边形是矩形．【答案】见解析【解析】【分析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论．【详解】证明：，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，，四边形是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的性质，熟练掌握矩形的判定与菱形的性质是解题的关键．22.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？【答案】售价应定为50元．【解析】【分析】设售价应定为x元，则每件的利润为元，日销售量件，根据日利润保持不变为等量关系可列得方程，解出方程即可．【详解】解：设售价应定为x元，则每件的利润为元，日销售量件，依题意，得：，整理，得：，解得：，（舍去），答：售价应定为50元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，根据等量关系列出方程是解题的关键．23.已知：如图，在中，，的平分线交于点F，E是的中点，过点A作，交的延长线于点D．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）给添加一个条件，使得四边形是菱形．请证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）；证明见解析．【解析】【分析】（1）证明，得到即可得证；（2）当时，根据角平分线的定义，得到，进而得到，即可得解．【小问1详解】证明：∵，∴，∵E是的中点，∴，在和中，，∴（ASA）∴，∵，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】当时，四边形是菱形．证明：∵为的角平分线，∴，∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．【点睛】本题考查平行四边形和菱形判定．同时考查了全等三角形的判定和性质．熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法，以及通过平行线的性质证明三角形全等是解题的关键．24.某校开设了书画、器乐、戏曲、棋类四类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（1）本次随机调查抽取了多少名学生？（2）补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分；（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择“戏曲”课程的学生有多少名；（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用列表或画树状图的方法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母，，，表示）【答案】（1）200名；（2）见解析；（3）320名；（4）【解析】【分析】（1）根据统计图及题意可由棋类的人数和百分比进行求解即可；（2）由（1）及题意可得“书画”和“戏曲”的人数，进而问题可求解；（3）根据题意可直接进行求解；（4）由题意可得出树状图，然后问题可求解．【详解】解：（1）由图可得：（名）；答：本次随机调查抽取了200名学生．（2）由题意得：选择“书画”课程的学生有（名），选择“戏曲”课程的学生有（名），∴补全条形统计图如图所示：（3）由题意及统计图可得：（名）；答：全校选择“戏曲”课程的学生有320名．（4）画树状图如下：由树状图，知共有12种等可能出现的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的结果有2种，所以（恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程）．【点睛】本题主要考查概率及扇形统计图，熟练掌握概率的求法及扇形统计图是解题的关键．25.为改善居民居住条件，提高土地利用率，某乡2020年投入资金320万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2022年计划投入资金720万元．（1）从2020年到2022年，该乡投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2022年异地安置的具体实施中，该乡计划投入资金不低于160万元用于优先搬迁租房奖励，规定前100户（含第100户）每户每天奖励8元，10