人教版八年级上册数学期末复习：常考题型 专题练习题（含答案解析）

第第页人教版八年级上册数学期末复习：常考题型专题练习题一．规律型：点的坐标（共1小题）1．如图，在平面直角坐标系中，点A从A1（﹣4，0）依次跳动到A2（﹣4，1），A3（﹣3，1），A4（﹣3，0），A5（﹣2，0），A6（﹣2，3），A7（﹣1，3），A8（﹣1，0），A9（﹣1，﹣3），A10（0，﹣3），A11（0，0），……，按此规律，则点A2023的坐标为（）A．（2023，0） B．（805，0） C．（804，1） D．（805，1）二．函数自变量的取值范围（共1小题）2．若函数x+3x−3在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是三．一次函数的图象（共1小题）3．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，函数y＝bx+k的图象大致是（）A． B． C． D．四．一次函数的性质（共3小题）4．若一次函数y＝kx+1在﹣2≤x≤2的范围内y的最大值比最小值大8，则下列说法正确的是（）A．k的值为2或﹣2 B．y的值随x的增大而减小 C．k的值为1或﹣1 D．在﹣2≤x≤2的范围内，y的最大值为35．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二，三，四象限，则一次函数y＝bx﹣k的图象可能是（）A． B． C． D．6．已知一次函数y＝（k﹣1）x+2．若当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣2，则k的值为．五．一次函数图象与系数的关系（共1小题）7．已知y关于x的一次函数y＝（2m﹣4）x+1﹣3m的图象过第二、三、四象限，则m的取值范围是．六．一次函数图象上点的坐标特征（共4小题）8．关于一次函数y＝kx+1（k＞0），下列说法正确的是（）A．该函数图象有可能经过点（1，1） B．该函数图象有可能经过点（﹣1，1） C．该函数图象有可能经过点（﹣1，﹣1） D．该函数图象有可能经过点（1，﹣1）9．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（3，y3）都在直线y=−12x+2上，则y1，y2，A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y110．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+2上，则m的值为．11．某一次函数的图象经过点A（3，6），B（﹣2，1）和C（m，﹣1），求m的值．七．一次函数图象与几何变换（共1小题）12．把直线y＝3x向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（）A．y＝3（x+1） B．y＝3x+1 C．y＝3（x﹣1） D．y＝3x﹣1八．待定系数法求一次函数解析式（共2小题）13．已知y+1与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0．（1）求y与x之间的关系式；（2）求（1）中的函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．14．已知一次函数y＝（2m+1）x﹣m﹣1，（1）若该函数图象经过（1，1），求m的值；（2）若函数图象在y轴上的截距为3，求一次函数的表达式；（3）在（2）的前提下，当﹣3≤x≤2时，求函数的最大值．九．待定系数法求正比例函数解析式（共1小题）15．已知点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离分别是4，3，则经过点P的正比例函数表达式为．一十．一次函数与一元一次不等式（共3小题）16．如图，一次函数y＝kx+b与x轴，y轴分别交于A（2，0），B（0，1）两点，则不等式kx+b＞1的解集是（）A．x＜0 B．x＜1 C．x＜2 D．x＞217．已知一次函数y=−12x+b经过点B（0，1），与x（1）求b的值和点A的坐标；（2）画出此函数的图象；（3）观察图象，当−1＜−12x+b＜1时，x18．如图，直线y＝kx+b经过点A（0，5），与直线y=12x相交于点B，并与x轴相交于点C（1）求点B的坐标和k，b的值；（2）直接写出当kx+b＞12x一十一．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题）19．如图，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列说法错误的是（）A．关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x≤1 B．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1 C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大 D．关于x，y的方程组y−mx=0y−kx=b的解是一十二．两条直线相交或平行问题（共2小题）20．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与直线y=23x−221．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数y=−23x的图象交于点B（1）求a的值及一次函数y＝kx+b的表达式；（2）设一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点为C，一次函数y＝kx+b的图象上是否存在点D，使得三角形OCD的面积为10？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．一十三．一次函数的应用（共6小题）22．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论中错误的是（）A．乙的速度为5米/秒 B．乙出发8秒钟将甲追上 C．当乙到终点时，甲距离终点还有96米 D．a对应的值为12323．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（）A．乙用16分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走1500米才到达终点 C．甲乙两人之间的最远距离是300米 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟24．甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为36米的时刻不可能是（）A．5分钟 B．9分钟 C．11分钟 D．17分钟25．二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．为保护环境，某市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需750万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车4辆，共需1040万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1500万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次，则该公司有几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？26．天气寒冷，某商场计划采购空调、电热水器共80台．进价和售价见表．空调电热水器进价（元/台）28001600售价（元/台）35001900设商场计划购进空调x台，空调和电热水器全部销售后商场获得的利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）若该商场计划最多投入资金18万元用来采购这些空调、电热水器，并且全部销售后利润超过4万元，则该商场有哪几种进货方案？（3）在（2）的条件下，选择哪种进货方案，商场获利最大，最大利润是多少元？27．2023年暑期某地发生水灾，防洪救援部门准备安排30辆货车装运甲、乙、丙三种物资共150吨前往灾区救援，按计划30辆货车都要装运，每辆货车只能装运同一种物资且必须装满．已知每辆货车单独装甲种物资可装8吨，单独装乙种物资可装6吨，单独装丙种物资可装4吨．（1）设装运甲种物资的车辆数为x辆，装运乙种物资的车辆数为y辆，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种物资的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有哪几种？（3）若购买甲种物资需每吨3万元，乙种物资每吨4万元，丙种物资每吨5万元，在（2）的条件下，该公司此次购买捐赠物资至少花费多少万元？一十四．平行线的判定与性质（共1小题）28．如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，且DE∥AB，∠1＝∠2．（1）求证：DF∥AC；（2）若∠B＝40°，DF平分∠BDE，求∠C的度数．一十五．三角形三边关系（共1小题）29．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，这个三角形的周长是．一十六．三角形内角和定理（共1小题）30．将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得∠1＝40°．则∠2的度数为（）A．45° B．55° C．65° D．75°一十七．全等三角形的判定（共1小题）31．在△ABC中，AD⊥BC交边BC于点D，添加下列条件后，还不能使△ABD≌△ACD的是（）A．BD＝CD B．∠B＝∠C C．∠BAD＝∠CAD D．∠ABD＝∠CAD一十八．全等三角形的判定与性质（共8小题）32．如图，在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，连接BE、CD，则BE与CD之间的大小关系是（）A．BE＝CD B．BE＞CD C．BE＜CD D．大小关系不确定33．如图，已知BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∠BAD+∠C＝180°，BC＝12cm，AB＝6cm，那么AE的长度为cm．34．小球悬挂处O点到地面l的距离是4米，小球从静止状态P处开始摆动，摆动到最高点A时，测得A到OP的距离为3米，距离地面2.3米．（1）求小球摆动到垂直于OA位置时A′到OP的距离；（2）求A′到地面的距离，写出必要的推理过程．35．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．36．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在边AC的延长线上，DE与BC相交于点P．若BD＝CE，求证：PD＝PE．37．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF＝2CD．38．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，且∠ABC＝∠DBE＝90°（1）试说明：AD＝CE；（2）试判断AD和CE的位置关系，并说明理由．39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长AC至点E，过点E作EF⊥AC，使EF＝BC，连接BF交CE于点D．（1）求证：CD＝ED；（2）若G是AC上一点，满足AG＝2CD，连接FG，请你判断∠FGE和∠ABC的关系，并证明你的结论．一十九．角平分线的性质（共2小题）40．如图，∠AOB=30°，OE平分∠AOB，EF∥OB，CE⊥OB于点C．若EC＝6，则OF的长是（）A．6 B．9 C．63 41．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ACD＝∠B，CE平分∠BCD，交AB于点E，点F在CE上，连接AF，且CF＝EF．求证：AF平分∠BAC．二十．线段垂直平分线的性质（共1小题）42．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，AE垂直平分线段BD，垂足为F，交AC于点D，连接DE．（1）若AB＝6，△DEC的周长为7，求△ABC的周长；（2）若∠ABD＝15°，∠C＝45°，求∠CED的度数．二十一．等腰三角形的性质（共3小题）43．等腰三角形的周长为20cm，其中一边长为6cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．6cm或7cm B．6cm或8cm C．7cm或8cm D．6cm或14cm44．等腰三角形有一个角是36°，则它的顶角度数是．45．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，点D是△ABC内的一点，连接BD，CD．若∠1＝∠2，则∠D的度数为．二十二．等腰三角形的判定（共1小题）46．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的高线，CE是∠ACB的平分线．（1）若∠A＝56°，求∠BEC的度数；（2）求证：BE＝BF．二十三．等腰三角形的判定与性质（共1小题）47．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5二十四．作图—应用与设计作图（共1小题）48．如图，两条公路OA与OB相交于点O，在∠AOB的内部有两个小区C与D，现要修建一个市场P，使市场P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两个小区C、D的距离相等．（1）市场P应修建在什么位置？（请用文字加以说明）（2）在图中标出点P的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．二十五．命题与定理（共5小题）49．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列命题中假命题是（）A．BF＝CF B．BF＝CD C．∠BFC＝120° D．点F到AB、AC距离相等50．下列命题中，属于假命题的是（）A．如果a，b都是正数，那么ab＞0 B．如果a2＝b2，那么a＝b C．如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 D．同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行51．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．直角三角形的两个锐角互余 B．两直线平行，内错角相等 C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D．若x＝y，则x2＝y252．命题“若|m|＝|n|，则m＝n”的逆命题是．53．命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是，结论是，它是一个（填“真”或“假”）命题．二十六．作图-轴对称变换（共1小题）54．在平面直角坐标系中，点A、点B、点C、点O都在以边长为1的小正方形组成网格的格点上，△ABC的位置如图所示．（1）在图中画由△ABC关于y轴对称的△A′B′C′并写出点B′的坐标．（2）求出△ABC的面积．二十七．翻折变换（折叠问题）（共1小题）55．如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．40° B．80° C．90° D．140°二十八．坐标与图形变化-平移（共1小题）56．如图，点A（﹣1，0），点B（0，2），线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′（2，a），点B′（b，1），则a﹣b的值是（）A．4 B．﹣2 C．2 D．﹣4二十九．随机事件（共1小题）57．有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，从中同时抽取两张，则下列事件为必然事件的是（）A．两张卡片的数字之和等于2 B．两张卡片的数字之和大于2 C．两张卡片的数字之和等于6 D．两张卡片的数字之和大于7三十．列表法与树状图法（共1小题）58．一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．（1）甲坐在①号座位的概率是；（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．

参考答案与试题解析题号1345891216192223答案DCACCCDAACD题号2430313240434749505155答案BCDADBDBBDB题号5657答案DB一．规律型：点的坐标（共1小题）1．如图，在平面直角坐标系中，点A从A1（﹣4，0）依次跳动到A2（﹣4，1），A3（﹣3，1），A4（﹣3，0），A5（﹣2，0），A6（﹣2，3），A7（﹣1，3），A8（﹣1，0），A9（﹣1，﹣3），A10（0，﹣3），A11（0，0），……，按此规律，则点A2023的坐标为（）A．（2023，0） B．（805，0） C．（804，1） D．（805，1）【分析】根据图形的变化，找到规律，再计算求解．【解答】解：由题意得：10个为一个周期，∵2023÷10＝202……3，∴202×4＝808，808+1＝809，﹣4+809＝805，∴A2023的坐标为（805，1），故选：D．【点评】本题考查了坐标的变化规律，找到变化规律是解题的关键．二．函数自变量的取值范围（共1小题）2．若函数x+3x−3在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是x≥﹣3且x≠3【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．【解答】解：由题意得：x+3≥0且x﹣3≠0，解得：x≥﹣3且x≠3，故答案为：x≥﹣3且x≠3．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．三．一次函数的图象（共1小题）3．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，函数y＝bx+k的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象可知k＞0，b＜0，然后根据一次函数是性质即可判断．【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可知k＞0，b＜0，所以一次函数y＝bx+k的图象应该见过一、二、四象限，故选：C．【点评】本题考查一次函数的图象，熟知一次函数的性质是解答此题的关键．四．一次函数的性质（共3小题）4．若一次函数y＝kx+1在﹣2≤x≤2的范围内y的最大值比最小值大8，则下列说法正确的是（）A．k的值为2或﹣2 B．y的值随x的增大而减小 C．k的值为1或﹣1 D．在﹣2≤x≤2的范围内，y的最大值为3【分析】将x的代入求出y的数据，求解即可．【解答】解：当x＝2时，y＝2k+1，当x＝﹣2时，y＝﹣2k+1，当k＞0时，y随x的增大而增大，则由题意可得：2k+1﹣（﹣2k+1）＝8，∴k＝2，此时在﹣2≤x≤2的范围内，y的最大值为2k+1＝5，当k＜0时，y随x的增大而减小，则由题意可得：﹣2k+1﹣（2k+1）＝8，∴k＝﹣2，此时在﹣2≤x≤2的范围内，y的最大值为﹣2k+1＝5，故选：A．【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．5．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二，三，四象限，则一次函数y＝bx﹣k的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，【解答】解：∵一次函数y＝kx+b经过第二，三，四象限，∴k＜0，b＜0，∴﹣k＞0，所以一次函数y＝bx﹣k的图象经过一、二、四象限，故选：C．【点评】本题考查了一次函数的性质，先利用一次函数的性质确定k，b的取值是关键．6．已知一次函数y＝（k﹣1）x+2．若当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣2，则k的值为5或﹣1．【分析】根据函数的增减性，再由x的取值范围得出x＝2时，y＝﹣2或x＝﹣1时，y＝﹣2，分别代入函数解析式得出k的值即可．【解答】解：当k﹣1＞0时，函数y随x的增大而增大，∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，∴﹣2＝﹣（k﹣1）+2，解得：k＝5；当k﹣1＜0时，函数y随x的增大而减小，∴当x＝2时，y＝﹣2，∴﹣2＝2（k﹣1）+2，解得：k＝﹣1；∴k的值为5或﹣1．故答案为：5或﹣1．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．五．一次函数图象与系数的关系（共1小题）7．已知y关于x的一次函数y＝（2m﹣4）x+1﹣3m的图象过第二、三、四象限，则m的取值范围是13＜m【分析】根据一次函数y＝（2m﹣4）x+1﹣3m的图象过二、三、四象限，可以得到2m−4＜01−3m＜0【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣4）x+1﹣3m的图象过二、三、四象限，∴2m−4＜01−3m＜0解得13＜故答案为：13＜【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．六．一次函数图象上点的坐标特征（共4小题）8．关于一次函数y＝kx+1（k＞0），下列说法正确的是（）A．该函数图象有可能经过点（1，1） B．该函数图象有可能经过点（﹣1，1） C．该函数图象有可能经过点（﹣1，﹣1） D．该函数图象有可能经过点（1，﹣1）【分析】将各选项中的点的坐标代入一次函数解析式中，可求出k的值，取使得k＞0的选项即可．【解答】解：A．当一次函数y＝kx+1的图象经过点（1，1）时，1＝k+1，解得：k＝0，选项A不符合题意；B．当一次函数y＝kx+1的图象经过点（﹣1，1）时，1＝﹣k+1，解得：k＝0，选项B不符合题意；C．当一次函数y＝kx+1的图象经过点（﹣1，﹣1）时，﹣1＝﹣k+1，解得：k＝2，选项C符合题意；D．当一次函数y＝kx+1的图象经过点（1，﹣1）时，﹣1＝k+1，解得：k＝﹣2，选项D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入各选项中点的坐标，求出k值是解题的关键．9．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（3，y3）都在直线y=−12x+2上，则y1，y2，A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1【分析】根据一次函数的性质判断即可．【解答】解：∵直线y=−12x+2中，∴y随x的增大而减小，由于（﹣1，y1），（﹣2，y2），（3，y3）都在直线y=−1∵﹣2＜﹣1＜3，∴y2＞y1＞y3，故选：C．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的增减性是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+2上，则m的值为2．【分析】由点A的坐标及点A，B关于x轴对称，可得出点B的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．【解答】解：∵点A的坐标为（4，m），∴点A关于x轴的对称点B的坐标为（4，﹣m）．∵点B在直线y＝﹣x+2上，∴﹣m＝﹣1×4+2，解得：m＝2，∴m的值为2．故答案为：2【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于m的一元一次方程是解题的关键．11．某一次函数的图象经过点A（3，6），B（﹣2，1）和C（m，﹣1），求m的值．【分析】把点A（3，6），B（﹣2，1）代入解析式，利用待定系数法求一次函数解析式，然后把点C（m，﹣1）代入得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b，把点A（3，6），B（﹣2，1）分别代入得3k+b=6−2k+b=1解得k=1b=3所以一次函数解析式为y＝x+3；∵点C（m，﹣1）在一次函数y＝x+3图象上，∴﹣1＝m+3，解得m＝﹣4．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．七．一次函数图象与几何变换（共1小题）12．把直线y＝3x向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（）A．y＝3（x+1） B．y＝3x+1 C．y＝3（x﹣1） D．y＝3x﹣1【分析】根据一次函数的平移性质“上加下减”，可直接判断向下平移1个单位长度后新的解析式．【解答】解：根据“上加下减”，可知把直线y＝3x向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为：y＝3x﹣1，故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，平移法则“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．八．待定系数法求一次函数解析式（共2小题）13．已知y+1与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0．（1）求y与x之间的关系式；（2）求（1）中的函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（1）利用正比例函数的定义，设y+1＝k（x﹣2），然后把已知点的坐标代入求出k，从而得到y与x的关系式；（2）先利用（1）中的解析式确定函数与坐标轴的两交点的坐标，然后利用三角形面积公式求解．【解答】解：（1）设y+1＝k（x﹣2），把x＝1，y＝0代入得k×（1﹣2）＝1，解得k＝﹣1，∴y+1＝﹣（x﹣2），∴y与x之间的关系式为y＝﹣x+1；（2）当x＝0时，y＝﹣x+1，∵函数y＝﹣x+1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，1），∴函数y＝﹣x+1的图象与坐标轴围成的三角形的面积=12×【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．14．已知一次函数y＝（2m+1）x﹣m﹣1，（1）若该函数图象经过（1，1），求m的值；（2）若函数图象在y轴上的截距为3，求一次函数的表达式；（3）在（2）的前提下，当﹣3≤x≤2时，求函数的最大值．【分析】（1）把已知点的坐标代入y＝（2m+1）x﹣m﹣1可求出m的值；（2）利用截距的定义得到m﹣1＝3，则可得到m的值，从而得到一次函数解析式；（3）分别计算自变量为﹣3和2对应的函数值，从而得到函数的最大值．【解答】解：（1）把（1，1）代入y＝（2m+1）x﹣m﹣1得2m+1﹣m﹣1＝1，解得m＝1，即m的值为1；（2）∵函数图象在y轴上的截距为3，∴﹣m﹣1＝3，解得m＝﹣4．∴一次函数的表达式为y＝﹣7x+3；（3）当x＝﹣3时，y＝﹣7x+3＝24；当x＝2时，y＝﹣7x+3＝﹣11，∴当﹣3≤x≤2时，函数的最大值为24．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．九．待定系数法求正比例函数解析式（共1小题）15．已知点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离分别是4，3，则经过点P的正比例函数表达式为y=−43x【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可．【解答】解：∵点P在平面直角坐标系中的第二象限内，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，∴点P的横坐标为﹣3，纵坐标为4，∴点P的坐标为（﹣3，4）．经过点P的正比例函数表达式为y=−43故答案为：y=−43【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．一十．一次函数与一元一次不等式（共3小题）16．如图，一次函数y＝kx+b与x轴，y轴分别交于A（2，0），B（0，1）两点，则不等式kx+b＞1的解集是（）A．x＜0 B．x＜1 C．x＜2 D．x＞2【分析】由一次函数y＝kx+b的图象过点（0，1），且y随x的增大而减小，从而得出不等式kx+b＞1的解集．【解答】解：由一次函数的图象可知，此函数是减函数，即y随x的增大而减小，∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点（0，1），∴当x＜0时，有kx+b＞1．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．17．已知一次函数y=−12x+b经过点B（0，1），与x（1）求b的值和点A的坐标；（2）画出此函数的图象；（3）观察图象，当−1＜−12x+b＜1时，x的取值范围是0＜【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数的解析式中，即可得出b的值，从而求出一次函数的解析式，令y＝0时，得出x的值即可得出点A的坐标；（2）根据点A和点B的坐标确定位置，作直线AB即可；（3）根据图象，即可确定x的取值范围．【解答】解：（1）∵一次函数y=−12x+b∴b＝1．∵当y＝0时，−1解得x＝2．∴A（2，0）．（2）由（1）知，A（2，0），B（0，1），画图如下：直线AB即为所求；（3）由图知，当−1＜−12x+b＜1时，x故答案为：0＜x＜4．【点评】本题考查了图形与坐标、一次函数的解析式、一次函数的图象及性质，正确画出图象是解题的关键．18．如图，直线y＝kx+b经过点A（0，5），与直线y=12x相交于点B，并与x轴相交于点C（1）求点B的坐标和k，b的值；（2）直接写出当kx+b＞12x【分析】（1）因为B是直线y=12x上一点，且B的横坐标为2，代入解析式中，求得B点坐标，再将A，B两点坐标代入到直线y＝kx+b中，求得k和（2）根据图象即可求得．【解答】解：（1）令x＝2，则y=12∴B的坐标为（2，1），将A，B两点坐标代入到直线y＝kx+b中得2k+b=1b=5解得k=−2b=5∴B的坐标为（2，1），k＝﹣2，b＝5；（2）观察图象，当kx+b＞12x时，x【点评】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．一十一．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题）19．如图，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列说法错误的是（）A．关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x≤1 B．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1 C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大 D．关于x，y的方程组y−mx=0y−kx=b的解是【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．【解答】解：A、关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x≥1，原说法错误，符合题意；B、关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1，正确，不符合题意；C、当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大，正确，不符合题意；D、关于x，y的方程组y−mx=0y−kx=b的解是x=1故选：A．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．一十二．两条直线相交或平行问题（共2小题）20．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与直线y=23x−2【分析】根据题意一次函数为y=23x+【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与直线y=2∴k=2∵函数图象与x轴交于点（3，0），∴0=23∴b＝﹣2．∴一次函数的表达式为y=23【点评】本题考查了两条直线平行问题，能用待定系数法求出一次函数的解析式是解此题的关键．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数y=−23x的图象交于点B（1）求a的值及一次函数y＝kx+b的表达式；（2）设一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点为C，一次函数y＝kx+b的图象上是否存在点D，使得三角形OCD的面积为10？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先确定B的坐标，然后根据待定系数法求解析式；（2）先求得C的坐标，然后根据题意求得平移后的直线的解析式，把C的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得D的值．【解答】解：（1）∵正比例函数y=−23x的图象经过点B∴2=−23a∴B（﹣3，2），∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），B（﹣3，2），∴−2k+b=4−3k+b=2，解得，k=2∴一次函数y＝kx+b的解析式为y＝2x+8；（2）∵一次函数y＝2x+8的图象与x轴交于点C，∴C（﹣4，0），∴OC＝4，一次函数y＝kx+b的图象上存在点D，使得三角形OCD的面积为10，∴S△OCD∴|yD|＝5，点D纵坐标为5或﹣5，当y＝5时，5＝2x+8，解得x＝﹣1.5，当y＝﹣5时，﹣5＝2x+8，解得x＝﹣6.5，∴D（﹣1.5，5）或（﹣6.5，﹣5）．【点评】本题考查了两条直线相交的问题，应用的知识点有：待定系数法，直线上点的坐标特征，坐标与图形性质，利用数形结合思想求解是解答的关键．一十三．一次函数的应用（共6小题）22．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论中错误的是（）A．乙的速度为5米/秒 B．乙出发8秒钟将甲追上 C．当乙到终点时，甲距离终点还有96米 D．a对应的值为123【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，乙的速度为：500÷100＝5（米/秒），故选项A正确；甲的速度为：8÷2＝4（米/秒），设乙出发x秒将追上甲，5x＝8+4x，得x＝8，故选项B正确；当乙到终点时，甲距离终点还有：500﹣（100+2）×4＝92（米），故选项C错误；a＝500÷4﹣2＝125﹣2＝123，故选项D正确；故选：C．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．23．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（）A．乙用16分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走1500米才到达终点 C．甲乙两人之间的最远距离是300米 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟【分析】根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答．【解答】解：根据图象，甲步行4分钟走了240米，∴甲步行的速度为240÷4＝60（米/分钟），由图象可知，甲出发16分钟后乙追上甲，则乙用了16﹣4＝12（分钟）追上甲，故A不符合题意；∴乙的速度为16×60÷12＝80（米/分钟），则乙走完全程的时间为2400÷80＝30（分钟），乙追上甲剩下的路程为：80×18＝1440（米），∴乙追上甲后，再走1440米才到达终点，故B不符合题意；当乙到达终点时，甲步行了60×（30+4）＝2040（米），∴甲离终点还有2400﹣2040＝360（米），故甲乙两人之间的最远距离是360米，故C不符合题意．乙休息的时间为360÷60＝6（分钟），故甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查函数图象，解答的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件．24．甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为36米的时刻不可能是（）A．5分钟 B．9分钟 C．11分钟 D．17分钟【分析】根据题意得甲的路程y甲与时间x的函数关系式为y甲＝12x+60（0≤x≤20），乙的路程y乙与时间x的函数关系式为y乙=15x(0≤x≤4)24x−36(4＜x≤14)，根据由甲、乙两人距地面的高度差为36米，得|y甲﹣y乙|＝36，分0≤x≤4时，4＜【解答】解：由图象可得，甲的路程为240米，时间为20分钟，可得甲的速度为240÷20＝12米/分钟，当0≤x≤4时，乙的路程为60米，时间为4分钟，可得当0≤x≤4时，乙的速度为60÷4＝15米/分钟，当4＜x≤14时，由乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，可得当4＜x≤14时，乙的速度为24米/分钟，即甲的路程y甲与时间x的函数关系式为y甲＝12x+60（0≤x≤20），乙的路程y乙与时间x的函数关系式为y乙由甲、乙两人距地面的高度差为36米，得|y甲﹣y乙|＝36，当0≤x≤4时，（12x+60）﹣15x＝36，解得x＝8（不合题意，舍去）；当4＜x≤14时，|（12x+60）﹣（24x﹣36）|＝36，解得x＝5或x＝11；当14＜x≤20时，300﹣（12x+60）＝36，解得x＝17，综上所述，x的值为5或11或17，得不可能为9，故答案为：B．【点评】本题考查了一次函数的应用，绝对值方程，解一元一次方程，本题的关键是从图象中得到甲和乙的路程关于时间的函数关系式，甲的路程是一次函数，乙的路程是分段函数，利用分类讨论思想列出方程解题．25．二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．为保护环境，某市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需750万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车4辆，共需1040万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1500万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次，则该公司有几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需750万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车4辆，共需1040万元”可列出二元一次方程组解决问题；（2）设购买A型公交车m辆，则B型公交车（10﹣m）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1550万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次”可列出不等式组探讨得出答案即可得到购车方案，利用一次函数的性质可求最少总费用．【解答】解（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得：2x+3y=7503x+4y=1040解得x=120y=170∴A型公交车每辆需120万元，B型公交车每辆需170万元；（2）设购买A型m辆，购买B型（10﹣m）辆，得120m+170(10−m)≤150060m+100(10−n)≥720∴4≤m≤7，且m为自然数，∴m＝4或5或6或7，所以共有三种采购方案；方案一：采购A型4台，采购B型6台；方案二：采购A型5台，采购B型5台；方案三：采购A型6台，采购B型4台；方案四：采购A型7台，采购B型3台；设总费用为W元，则W＝120m+170（10﹣m），即W＝﹣50m+1700（4≤m≤6，且m为正整数），∵W随m的增大而减小，∴当采购A型7辆，采购B型3辆时，费用最低，最低费用为：﹣50×7+1700＝1350（万元）．答：该公司有四种购车方案，当采购A型7辆，采购B型3辆时，费用最低最低费用为1350万元．【点评】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．26．天气寒冷，某商场计划采购空调、电热水器共80台．进价和售价见表．空调电热水器进价（元/台）28001600售价（元/台）35001900设商场计划购进空调x台，空调和电热水器全部销售后商场获得的利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）若该商场计划最多投入资金18万元用来采购这些空调、电热水器，并且全部销售后利润超过4万元，则该商场有哪几种进货方案？（3）在（2）的条件下，选择哪种进货方案，商场获利最大，最大利润是多少元？【分析】（1）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，总利润＝空调的利润+电热水器的利润，即可求出y与x的函数关系式；（2）根据总数量为80台，最多投入资金18万元，全部销售后利润超过4万元，得到一元一次不等式组，求出满足题意的x的正整数值即可；（3）利用y与x的函数关系式的增减性和（2）中求得的满足题意的x的范围来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可．【解答】解：（1）由题意得：y＝（3500﹣2600）x+（1900﹣1600）（80﹣x）＝700x++300（80﹣x）＝400x+24000（0≤x≤80），答：y与x的函数关系式为：y＝400x+24000（0≤x≤80）；（2）由题意得：(3500−2800)x+(1900−1600)(80−x)＞400002800x+1600(80−x)≤180000解得：40＜x≤431∵x为正整数，∴x＝41，42，43，即商场有三种方案可供参考：方案1：购空调41台，购电热水器39台；方案2：购空调42台，购电热水器38台；方案3：购空调43台，购电热水器37台；（3）∵y＝400x+24000（0≤x≤80），k＝400＞0，∴y随x的增大而增大，即当x＝43时，y有最大值，y最大＝400×43+24000＝17200+24000＝41200（元），答：在（2）的条件下，选择方案3进货方案：购空调43台，购电热水器37，商场获利最大，最大利润是41200元．【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式组的应用，解题的关键是自变量的取值范围和k值的灵活运用．27．2023年暑期某地发生水灾，防洪救援部门准备安排30辆货车装运甲、乙、丙三种物资共150吨前往灾区救援，按计划30辆货车都要装运，每辆货车只能装运同一种物资且必须装满．已知每辆货车单独装甲种物资可装8吨，单独装乙种物资可装6吨，单独装丙种物资可装4吨．（1）设装运甲种物资的车辆数为x辆，装运乙种物资的车辆数为y辆，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种物资的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有哪几种？（3）若购买甲种物资需每吨3万元，乙种物资每吨4万元，丙种物资每吨5万元，在（2）的条件下，该公司此次购买捐赠物资至少花费多少万元？【分析】（1）根据题意，用x和y表示出装运丙种物资的车辆数，再根据物资的总量得到x和y之间的数量关系，将y表示成x的函数的形式即可；（2）根据（1）中得到的y与x之间的函数关系式，用x和y表示出装运丙种物资的车辆数，根据装运每种物资的车辆都不少于3辆列一元一次不等式组并求其解集，确定x的取值，分别求出对应的装运乙种物资和丙种物资的车辆数即可；（3）该公司此次购买捐赠物资花费w万元，根据题意将w表示为x的函数，根据w随x的增减变化情况及x的取值范围求出当x为何值时w最小，并求出此时w的最小值即可．【解答】解：（1）由题意可知，装运丙种物资的车辆数为（30﹣x﹣y）辆，∴8x+6y+4（30﹣x﹣y）＝150，经整理，得y＝15﹣2x，∴y与x之间的函数关系式为y＝15﹣2x．（2）由（1）得，装运丙种物资的车辆数为（x+15）辆，根据题意，得x≥315−2x≥3解得3≤x≤6，∵x为整数，∴x＝3、4、5或6．当x＝3时，y＝15﹣2×3＝9，30﹣3﹣9＝18（辆）；当x＝4时，y＝15﹣2×4＝7，30﹣4﹣7＝19（辆）；当x＝5时，y＝15﹣2×5＝5，30﹣5﹣5＝20（辆）；当x＝6时，y＝15﹣2×6＝3，30﹣6﹣3＝21（辆）；∴车辆的安排方案有4种：①装运甲种物资的车辆数为3辆，装运乙种物资的车辆数为9辆，装运丙种物资的车辆数为18辆；②装运甲种物资的车辆数为4辆，装运乙种物资的车辆数为7辆，装运丙种物资的车辆数为19辆；③装运甲种物资的车辆数为5辆，装运乙种物资的车辆数为5辆，装运丙种物资的车辆数为20辆；④装运甲种物资的车辆数为6辆，装运乙种物资的车辆数为3辆，装运丙种物资的车辆数为21辆．（3）该公司此次购买捐赠物资花费w万元，根据题意，得w＝3×8x+4×6（15﹣2x）+5×4（x+15）＝﹣4x+660，∵﹣4＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x＝6时，w最小，w＝﹣4×6+660＝636，∴该公司此次购买捐赠物资至少花费636万元．【点评】本题考查一次函数及一元一次不等式的应用，求出y与x之间的函数关系式是解答本题的关键．一十四．平行线的判定与性质（共1小题）28．如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，且DE∥AB，∠1＝∠2．（1）求证：DF∥AC；（2）若∠B＝40°，DF平分∠BDE，求∠C的度数．【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论；（2）根据角平分线定义和平行线的判定与性质即可求出结果．【解答】（1）证明：∵DE∥AB，∴∠A＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A，∴DF∥AC；（2）解：∵DE∥AB，∴∠FDE＝∠1，∵DF平分∠BDE，∴∠FDB＝∠FDE，∴∠1＝∠FDB，∴∠FDB=12（180°﹣∠B）∵DF∥AC，∴∠C＝∠FDB＝70°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．一十五．三角形三边关系（共1小题）29．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，这个三角形的周长是12和14．【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得5﹣3＜x＜5+3，解出x的范围，再确定x的值，最后求出周长即可．【解答】解：设第三边长为x，由题意得：5﹣3＜x＜5+3，2＜x＜8，∵第三边长是偶数，∴x＝4，6，∴三角形的周长是：3+5+4＝12，3+5+6＝14，故答案为：12和14．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．一十六．三角形内角和定理（共1小题）30．将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得∠1＝40°．则∠2的度数为（）A．45° B．55° C．65° D．75°【分析】根据图中的三角尺两个角是60度和45度，求出∠3的度数；再根据三角形的内角和是180度，求出∠2的度数．【解答】解：如图，∠3＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣40°﹣75°＝65°，故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据平角和三角形内角和的度数来解答．一十七．全等三角形的判定（共1小题）31．在△ABC中，AD⊥BC交边BC于点D，添加下列条件后，还不能使△ABD≌△ACD的是（）A．BD＝CD B．∠B＝∠C C．∠BAD＝∠CAD D．∠ABD＝∠CAD【分析】根据全等三角形的判定方法，解题即可．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝AD，当添加条件为BD＝CD，利用SAS，可以证明△ABD≌△ACD，故A不符合题意；当添加条件为∠B＝∠C，利用AAS，可以证明△ABD≌△ACD，故B不符合题意；当添加条件为∠BAD＝∠CAD，利用ASA，可以证明△ABD≌△ACD，故C不符合题意；当添加条件为∠ABD＝∠CAD，无法证明△ABD≌△ACD，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查添加条件证明三角形全等，掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．一十八．全等三角形的判定与性质（共8小题）32．如图，在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，连接BE、CD，则BE与CD之间的大小关系是（）A．BE＝CD B．BE＞CD C．BE＜CD D．大小关系不确定【分析】由∠BAD＝∠CAE推导出∠BAE＝∠DAC，而AB＝AD，AE＝AC，即可根据“SAS”证明△BAE≌△DAC，得BE＝CD，于是得到问题的答案．【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE，∴∠BAE＝∠DAC，在△BAE和△DAC中，AB=AD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE＝CD，故选：A．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出∠BAE＝∠DAC，进而证明△BAE≌△DAC是解题的关键．33．如图，已知BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∠BAD+∠C＝180°，BC＝12cm，AB＝6cm，那么AE的长度为3cm．【分析】证△BED≌△BFD得BE＝BF，证△AED≌△CFD得CF＝AE即可求解．【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴DE＝DF，∵∠BED＝∠BFD＝90°，BD＝BD，∴△BED≌△BFD，∴BE＝BF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝∠C，∵∠AED＝∠CFD＝90°，DE＝DF，∴△AED≌△CFD，∴CF＝AE，∵BC＝BF+CF＝BE+AE＝AB+2AE＝12cm，AB＝6cm，∴2AE＝6cm，∴AE＝3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推导是解题关键．34．小球悬挂处O点到地面l的距离是4米，小球从静止状态P处开始摆动，摆动到最高点A时，测得A到OP的距离为3米，距离地面2.3米．（1）求小球摆动到垂直于OA位置时A′到OP的距离；（2）求A′到地面的距离，写出必要的推理过程．【分析】（1）过A'作A'D⊥OP于点D，证明△OAD≌△AOC，进而得出A′D＝OC＝4﹣2.31.7（米）；（2）由OD＝AC＝3米，再用O点到地面l的距离是4米减去OD的长即可．【解答】解：（1）过A'作A'D⊥OP于点D，∵∠A'OA＝∠OCA＝90°，∴∠A′OD＝∠OAC，在△DOA和△AOC中，∠A′OA=∠OCA∠A′OD=∠OAC∴△OA′D≌△AOC（AAS），∴A′D＝OC＝4﹣2.3＝1.7（米），即小球摆动到垂直于OA位置时A′到OP的距离为1.7米；（2）由（1）知：OD＝AC＝3米，4﹣3＝1（米）．答：A′到地面的距离为1米．【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．35．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】先证△BDF≌△CEF（AAS），得出BF＝CF，则∠FBC＝∠FCB，得出∠ABC＝∠ACB，则AB＝AC．【解答】证明：∵∠ABE＝∠ACD，∴∠DBF＝∠ECF，在△BDF和△CEF中，∠DBF=∠ECF∠BFD=∠CFE∴△BDF≌△CEF（AAS），∴BF＝CF，DF＝EF，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；证明三角形全等是解题的关键．36．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在边AC的延长线上，DE与BC相交于点P．若BD＝CE，求证：PD＝PE．【分析】由“AAS”可证△PDF≌△PEC，可得PD＝PE．【解答】解：过点D作DF∥AC交BC于点F，∵AB＝AC，DF∥AC，∴∠B＝∠ACB＝∠DFB，∴CE＝DB＝DF，∠DFP＝∠ECP，在△PDF和△PEC中，∠DFP=∠ECP∠DPF=∠EPC∴△PDF≌△PEC（AAS），∴PD＝PE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．37．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF＝2CD．【分析】（1）先证∠EAF＝∠ECB，再结合∠AEF＝∠CEB＝90°且AE＝CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等量代换得出结论．【解答】证明：（1）∵CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝90°．∴∠AFE+∠EAF＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CFD+∠ECB＝90°，又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECB．在△AEF和△CEB中，∵∠EAF=∠ECBAE=CE∴△AEF≌△CEB（ASA）；（2）∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC∴CD＝BD，BC＝2CD．∴AF＝2CD．【点评】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键．38．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，且∠ABC＝∠DBE＝90°（1）试说明：AD＝CE；（2）试判断AD和CE的位置关系，并说明理由．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，得出∠ABD＝∠CBE，证岀△ABD≌△CBE，即可得出AD＝CE（2）△ABD≌△CBE得出∠BAD＝∠BCE，再由∠BAD+∠ABC+∠BGA＝∠BCE+∠AFC+∠CGF＝180°，得∠AFC＝∠ABC＝90°，即可证出结论【解答】（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∵∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，AB＝BC，BD＝BE，∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE．（2）解：AD⊥CE；延长AD分别交BC和CE于G和F，如图所示：∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD+∠ABC+∠BGA＝∠BCE+∠AFC+∠CGF＝180°，∵∠BGA＝∠CGF，∵∠BAD+∠ABC+∠BGA＝∠BCE+∠AFC+∠CGF＝180°，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长AC至点E，过点E作EF⊥AC，使EF＝BC，连接BF交CE于点D．（1）求证：CD＝ED；（2）若G是AC上一点，满足AG＝2CD，连接FG，请你判断∠FGE和∠ABC的关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACB＝90°，再利用平角定义可得∠DCB＝90°，从而可得∠E＝∠DCB＝90°，然后利用AAS证明△DEF≌△DCB，从而利用全等三角形的性质可得DE＝DC，即可解答；（2）利用（1）的结论可得CE＝2DC，从而可得AG＝CE，再利用等式的性质可得AC＝EG，然后利用SAS证明△FEG≌△BCA，从而利用全等三角形的性质可得∠FGE＝∠A，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A+∠ABC＝90°，从而利用等量代换可得∠FGE+∠ABC＝90°，即可解答．【解答】（1）证明：∵EF⊥AC，∴∠E＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCB＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠E＝∠DCB＝90°，在△DEF和△DCB中，∠E=∠DCB∠EDF=∠CDB∴△DEF≌△DCB（AAS），∴DE＝DC；（2）解：∠FGE+∠ABC＝90°，理由：∵CD＝DE，∴CE＝2DC，∵AG＝2DC，∴AG＝CE，∴AG+CG＝CE+CG，∴AC＝EG，在△FEG和△BCA中，EF=BC∠E=∠ACB∴△FEG≌△BCA（SAS），∴∠FGE＝∠A，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠FGE+∠ABC＝90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．一十九．角平分线的性质（共2小题）40．如图，∠AOB=30°，OE平分∠AOB，EF∥OB，CE⊥OB于点C．若EC＝6，则OF的长是（）A．6 B．9 C．63 【分析】过点E作EF⊥OA于点D，由角平分线的性质可知CE＝ED，再由EF∥OB可知∠EFD＝∠AOB＝30°，进而可得出结论．【解答】解：过点E作EF⊥OA于点D，∵OE平分∠AOB，CE⊥OB于点C，EC＝6，∴CE＝ED＝6，∵EF∥OB，∠AOB＝30°，∴∠EFD＝∠AOB＝30°，∴EF＝2ED＝12．故选：D．【点评】本题考查的是角平分线的性质及平行线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．41．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ACD＝∠B，CE平分∠BCD，交AB于点E，点F在CE上，连接AF，且CF＝EF．求证：AF平分∠BAC．【分析】由角平分线定义得到∠BCE＝∠DCE，由三角形外角的性质推出∠AEC＝∠B+∠BCE，∠ACE＝∠DCE+∠ACD，而∠B＝∠ACD，得到∠AEC＝∠ACE，由等腰三角形的性质推出AF平分∠CAE．【解答】证明：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠ACE＝∠DCE+∠ACD，∠B＝∠ACD，∴∠AEC＝∠ACE，∴AE＝AC，∵EF＝CF，∴AF平分∠CAE．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线定义，关键是由角平分线定义，三角形外角的性质推出∠AEC＝∠ACE．二十．线段垂直平分线的性质（共1小题）42．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，AE垂直平分线段BD，垂足为F，交AC于点D，连接DE．（1）若AB＝6，△DEC的周长为7，求△ABC的周长；（2）若∠ABD＝15°，∠C＝45°，求∠CED的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可将△DEC的周长转化为AC+EC的和，据此可解决问题．（2）根据线段垂直平分线的性质，结合等边对等角及外角定理即可解决问题．【解答】解：（1）因为BD垂直平分线段AE，所以BA＝BE，DA＝DE．又因为AB＝6，所以BE＝6．因为△DEC的周长为7，即DE+CE+CD＝7，所以AC+EC＝AD+DC+EC＝DE+DC+EC＝7，所以△ABC的周长为：AB+BC+AC＝AB+BE+EC+AC＝6+6+7＝19．（2）因为BD垂直平分线段AE，所以∠EBD＝∠ABD＝15°，又因为AB＝BE，所以∠BAE＝∠BEA=180°−30°又因为∠C＝45°，所以∠CAE＝75°﹣45°＝30°．因为DA＝DE，所以∠DEA＝∠DAE＝30°，所以∠CED＝180°﹣75°﹣30°＝75°．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．二十一．等腰三角形的性质（共3小题）43．等腰三角形的周长为20cm，其中一边长为6cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．6cm或7cm B．6cm或8cm C．7cm或8cm D．6cm或14cm【分析】分6cm是底边长与腰长两种情况讨论求解．【解答】解：当6cm是底边长时，腰长为（20﹣6）÷2＝7（cm），此时三角形三边长分别是6cm，7cm，7cm，能组成三角形，所以等腰三角形的底边长为6cm；当6cm是腰长时，底边长为20﹣6﹣6＝8（cm），此时三角形三边长分别是6cm，6cm，8cm，能组成三角形，所以等腰三角形的底边长为8cm；综上，该等腰三角形的底边长为6cm或8cm，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长．44．等腰三角形有一个角是36°，则它的顶角度数是36°或108°．【分析】等腰三角形一内角为36°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．【解答】解：（1）当36°角为顶角，顶角度数即为36°；（2）当36°为底角时，顶角＝180°﹣2×36°＝108°．故答案为：36°或108°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．45．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，点D是△ABC内的一点，连接BD，CD．若∠1＝∠2，则∠D的度数为115°．【分析】由等腰三角形的性质推出∠ABC＝∠ACB，又∠1＝∠2，得到∠ABD＝∠BCD，因此∠2+∠BCD＝∠1+∠ABD，求出∠∠2+∠BCD=12×【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠ABD＝∠BCD，∴∠2+∠BCD＝∠1+∠ABD，∵∠2+∠BCD+∠1+∠ABD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∴∠2+∠BCD=1∴∠D＝180°﹣65°＝115°．故答案为：115°．【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质得到∠2+∠BCD＝∠1+∠ABD．二十二．等腰三角形的判定（共1小题）46．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的高线，CE是∠ACB的平分线．（1）若∠A＝56°，求∠BEC的度数；（2）求证：BE＝BF．【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠ACB的度数，再根据角平分线的定义求出∠BCE的度数，即可求出∠BEC的度数；（2）先根据同角的余角相等证得∠A＝∠CBF，再根据三角形外角的性质得出∠BEF＝∠A+∠ACE，∠BFE＝∠CBF+∠BCE，即可得证．【解答】（1）解：∵∠ABC＝90°，∠A＝56°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣56°＝34°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠BCE=1∴∠BEC＝90°﹣∠BCE＝90°﹣17°＝73°；（2）证明：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBF＝90°，∵BD是斜边AC上的高线，∴∠BDA＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∴∠A＝∠CBF，∵∠BEF是△ACE的一个外角，∴∠BEF＝∠A+∠ACE，∵∠BFE是△CBF的一个外角，∴∠BFE＝∠CBF+∠BCE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等角对等边是解题的关键．二十三．等腰三角形的判定与性质（共1小题）47．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】延长BD交AC于E，如图，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判断△BCE为等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再证明EA＝EB＝2，然后计算AE+CE即可．【解答】解：延长BD交AC于E，如图，∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，∴△BCE为等腰三角形，∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，∵∠A＝∠ABD，∴EA＝EB＝2，∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．二十四．作图—应用与设计作图（共1小题）48．如图，两条公路OA与OB相交于点O，在∠AOB的内部有两个小区C与D，现要修建一个市场P，使市场P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两个小区C、D的距离相等．（1）市场P应修建在什么位置？（请用文字加以说明）（2）在图中标出点P的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．【分析】（1）直接利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质分析得出答案；（2）直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出答案．【解答】解：（1）点P应修建在∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线的交点处；（2）如图所示：点P即为所求．【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．二十五．命题与定理（共5小题）49．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列命题中假命题是（）A．BF＝CF B．BF＝CD C．∠BFC＝120° D．点F到AB、AC距离相等【分析】由等边三角形的性质推出∠CBF=12∠ABC＝30°，∠BCF=12∠ACB＝30°，得到∠CBF＝∠BCF，判定BF＝CF，求出∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝120°，由等边三角形的性质推出FD⊥AC，得到DC＜CF，而BF＝CF，因此CD＜BF，由吧等边三角形的性质推出F是△ABC的内心，得到F到【解答】解：∵△A