中考数学几何专项冲刺专题04垂直模型巩固练习（提优）含答案及解析

垂直模型巩固练习（提优）1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，求BD的长．2．已知：如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）求AE的长；（3）求线段DG的长．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．4．（1）如图1，将两个全等的三角板如图摆放，其中△ABC和△ADE的直角顶点重合在点A处，∠ADE＝∠ABC＝60°，且点D在AC上，点B在AE上，∠C＝∠E＝30°，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，BC和DE相交于点F．求证：CF＝EF．（2）如图2，将这两个三角板如图摆放，直角顶点A仍然重合，BC与DE相交于点F，AC与DE交于点M，AE和BC交于点N．猜想CF和EF还相等吗？说明理由．（3）如图3，在（2）的基础上，若∠DAM＝30°．求证：线段DF和AC互相垂直平分．5．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB＝4，AD＝8，求MD的长．6．如图，AD为△ABC的高，点H为AC的垂直平分线与BC的交点，HC＝AB．（1）如图1，求证：∠B＝2∠C；（2）如图2，若2∠DAF＝∠B﹣∠C①求证：AC＝BF+BA；②直接写出的值．7．已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）证明：PE＝PF；（2）若PF＝26，sinA＝，求EF的长．8．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝2，BE＝1．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．9．已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC、CD上，连接AE、EF、AF，且∠DAE＝∠AEF．（1）求证：EF＝BE+DF；（2）线段AF的垂直平分线交AD于点G，连接FG，求证：∠EFG＝90°；（3）在（2）的条件下，若tan∠DFG＝，EF＝，求S△AEF．10．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连结AC，将△ACE沿AC翻转得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若B为OG的中点，CE＝，求⊙O的半径长；（3）①求证：∠CAG＝∠BCG；②若⊙O的面积为4π，GC＝2，求GB的长．11．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为边AB上一点，DO垂直平分CE于点O，以CE为直径作⊙O，交BC于点F．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若CD•CF＝12，求⊙O的半径长；（3）在（2）的条件下，若AE＝OD，求AD的长．垂直模型巩固练习（提优）1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，求BD的长．【解答】BD＝【解析】连接AD，∵AB的垂直平分线交AB于E，∴AD＝BD，设BD＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ACD中，∵AC＝3，CD＝8﹣x，AD＝x，∴AC2+CD2＝AD2，即32+（8﹣x）2＝x2，解得x＝，即BD＝．2．已知：如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）求AE的长；（3）求线段DG的长．【解答】（1）见解析；（2）AE＝1；（3）DG＝5【解析】（1）证明：如图连接AD、BD．∵∠DCE＝∠DCB，DE⊥CA，DF⊥CB，∴DE＝DF，∠AED＝∠DFB＝90°，∵DG垂直平分AB，∴DA＝DB，在RT△DEA和RT△DFB中，，∴△DEA≌△DFB，∴AE＝BF．（2）设AE＝BF＝x，在RT△CDE和RT△CDF中，，∴△CDE≌△CDF，∴CE＝CF，∴6+x＝8﹣x，∴x＝1，∴AE＝1．（3）∵△DEA≌△DFB，∴∠ADE＝∠BDF，∴∠EDF＝∠ADB，∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵∠CED＝∠CFD＝∠ECF＝90°，∴∠EDF＝90°，∴∠ADB＝90°，∵AG＝GB，∴DG＝AB＝5．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．【解答】（1）DE⊥DP，理由见解析；（2）DE＝4.75【解析】（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．4．（1）如图1，将两个全等的三角板如图摆放，其中△ABC和△ADE的直角顶点重合在点A处，∠ADE＝∠ABC＝60°，且点D在AC上，点B在AE上，∠C＝∠E＝30°，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，BC和DE相交于点F．求证：CF＝EF．（2）如图2，将这两个三角板如图摆放，直角顶点A仍然重合，BC与DE相交于点F，AC与DE交于点M，AE和BC交于点N．猜想CF和EF还相等吗？说明理由．（3）如图3，在（2）的基础上，若∠DAM＝30°．求证：线段DF和AC互相垂直平分．【解答】（1）见解析；（2）相等，理由见解析；（3）见解析【解析】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE∴AC﹣AD＝AE﹣AB，即CD＝EB，在△CDF和△EBF中，，∴△CDF≌△EBF（AAS）∴CF＝EF；（2）相等．理由如下：∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠EAD﹣∠CAE，即∠BAN＝∠DAM，在△BAN和△DAM中，，∴△BAN≌△DAM（ASA）∴AN＝AM，∴AC﹣AM＝AE﹣AD，即CM＝EN，在△CMF和△ENF中，，∴△CMF≌△ENF（AAS）∴CF＝EF；（3）证明：连接AF，当∠DAM＝30°时，∠AMD＝180°﹣∠D﹣∠DAM＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC⊥DF，即∠AMD＝∠AMF＝∠CMF＝90°，∠CAN＝∠DAE﹣∠DAM＝90°﹣30＝60°，在△ACF和△AEF中，，∴△ACFA≌△AEF（SSS），∴∠CAF＝∠EAF，∴∠CAF＝∠EAF＝∠CAN＝30°，在△ADM和△AFM中，，∴△ADM≌△AFM（ASA）∴DM＝FM，即AC平分DF，在△CFM和AFM中，∴△CFM≌AFM（ASA）∴AM＝CM，即DF平分AC，综上所述，AC和DF互相垂直平分．5．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB＝4，AD＝8，求MD的长．【解答】（1）见解析；（2）MD长为5【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，∵在△DMO和△BNO中∴△DMO≌△BNO（ASA），∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形；（2）∵四边形BMDN是菱形，∴MB＝MD，设MD长为x，则MB＝DM＝x，在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2即x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，答：MD长为5．6．如图，AD为△ABC的高，点H为AC的垂直平分线与BC的交点，HC＝AB．（1）如图1，求证：∠B＝2∠C；（2）如图2，若2∠DAF＝∠B﹣∠C①求证：AC＝BF+BA；②直接写出的值．【解答】（1）见解析；（2）①见解析；②2【解析】证明：（1）连接AH∵H为AC的垂直平分线与BC的交点∴HA＝HC＝AB∴∠B＝∠AHC＝2∠C（2）①∵2∠DAF＝∠B﹣∠C∴∠DAF＝∠B﹣∠C在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠FAC﹣∠C∴90°﹣∠FAC﹣∠C＝∠B﹣∠C∴∠FAC＝90°﹣∠B﹣∠C＝∠BAC，即AF平分∠BAC在AC上截取AG＝AB，连接FG∴△BAF≌△GAF（SAS），∴BF＝FG∴∠B＝∠AGF∵∠B＝2∠C∴∠AGF＝2∠C∴∠GFC＝∠C∴FG＝GC∴AC＝AG+GC＝BF+BA②在DB上截取DM＝DF，连接AM∴△ADF≌△ADM（SAS）∴∠DAF＝∠DAM∴∠MAC＝2∠DAF+∠FAC＝∠B﹣∠C+（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°+∠B﹣∠C又∠AMC＝∠AFM＝∠C+∠FAC＝∠C+∠BAC＝∠C+（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣∠B+∠C∵∠B＝2∠C∴∠MAC＝∠AMC＝90°﹣∠C∴AC＝MC∴＝2．7．已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）证明：PE＝PF；（2）若PF＝26，sinA＝，求EF的长．【解答】（1）见解析；（2）EF＝20【解析】（1）∵PE是⊙O的切线，∴∠PEO＝90°，∴∠PEF＝90°﹣∠AEO，∠PFE＝∠AFB＝90°﹣∠A，∵OE＝OA，∴∠A＝∠AEO，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF；（2）过点P作PG⊥EF于点G，∴∠PGF＝∠ABF＝90°，∵∠PFG＝∠AFB，∴∠FPG＝∠A，∴FG＝PF•sinA＝26×＝10，∵PE＝PF，∴EF＝2FG＝20．8．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝2，BE＝1．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．【解答】（1）见解析；（2）见解析【解析】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝×2＝，设OC＝x，∵BE＝1，∴OE＝x﹣1，在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，∴x2＝（x﹣1）2+（）2，解得：x＝2，∴OA＝OC＝2，OE＝2，∴AE＝3，在Rt△AED中，AD＝，∴AD＝CD，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∵AD＝CD，∴平行四边形FADC是菱形；（2）连接OF，AC，∵四边形FADC是菱形，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠FCA，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FAC+∠OAC＝∠FCA+∠OCA，即∠OCF＝∠OAF＝90°，即OC⊥FC，∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．9．已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC、CD上，连接AE、EF、AF，且∠DAE＝∠AEF．（1）求证：EF＝BE+DF；（2）线段AF的垂直平分线交AD于点G，连接FG，求证：∠EFG＝90°；（3）在（2）的条件下，若tan∠DFG＝，EF＝，求S△AEF．【解答】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）过点A作AH⊥EF于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠DAE＝∠AEF，∴∠BEA＝∠AEF，在△ABE和△AHE中，∵，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴AB＝AH，BE＝HE，∴AH＝AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），∴DF＝HF，∵EF＝HE+HF，∴EF＝BE+DF；（2）如图2，由题意知GA＝GF，∴∠GAF＝∠GFA，由（1）知∠AFE＝∠AFD，∵∠FAD+∠AFD＝90°，∴∠GFA+∠AFE＝90°，∴∠EFG＝90°；（3）由tan∠DFG＝可设DG＝3x，DF＝4x，则，EH＝DF＝4x，∴BC＝CD＝AD＝8x，∴CF＝CD﹣DF＝4x，∵EF＝，∴BE＝EH＝EF﹣FH＝﹣4x，则EC＝BC﹣BE＝8x﹣（﹣4x）＝12x﹣，在Rt△ECF中，由EF2＝EC2+CF2得（）2＝（12x﹣）2+（4x）2，解得：x1＝0（舍），x2＝1，即AH＝AD＝8x＝8，∴S△AEF＝EF•AH＝××8＝．10．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连结AC，将△ACE沿AC翻转得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若B为OG的中点，CE＝，求⊙O的半径长；（3）①求证：∠CAG＝∠BCG；②若⊙O的面积为4π，GC＝2，求GB的长．【解答】（1）见解析；（2）2；（3）①见解析；②GB＝2【解析】（1）证明：连接OC，如图，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵△ACE沿AC翻折得到△ACF，∴∠OAC＝∠FAC，∠F＝∠AEC＝90°，∴∠OCA＝∠FAC，∴OC∥AF，∴∠OCG＝∠F＝90°，∴OC⊥FG，∴直线FC与⊙O相切；（2）连接BC．∵点B是Rt△OCG斜边的中点，∴CB＝OG＝OB＝OC，∴△OCB是等边三角形，且EC是OB上的高，在Rt△OCE中，∵OC2＝OE2+CE2，即OC2＝OC2+（）2，∴OC＝2，即⊙O的半径为2．（3）①∵OC＝OB，∴∠CBA＝∠OCB，∵∠CAG+∠CBA＝90°，∠BCG+∠BCO＝90°，∴∠CAG＝∠BCG．②∵4π＝π•OB2，∴OB＝2，由①可知：△GCB∽△GAC，∴，即，∴，解得GB＝2．11．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．【解答】见解析【解析】证明：连接DF，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠BCE＝∠CAE．∵AC⊥BC，BF∥AC．∴BF⊥BC．∴∠ACD