初中函数易错题50题专题训练含答案解析

初中函数易错题50题专题训练含答案解析

一、解答题

1.已知二次函数的顶点坐标为(2,1),且其图象经过点

(1)求此二次函数的解析式.

(2)试判断点(5,-8)是否在该函数图象上.

2.抛物线)，=-^+(m-1)4+加与)，轴交点坐标是(0,3).

⑴求出m的值并画出这条抛物线；

⑵求抛物线与工轴的交点和抛物线顶点的坐标；

(3)当x取什么值时，y的值随X值的增大而减小？

3.在矩形ABCD中，AB=6cm.BC=12cm,点P从点A出发沿AB以lcm/s的速度

向点B移动；同时，点Q从点B出发以2cm/s的速度向点C移动.

(1)写出△DPQ的面积s与时间t的函数关系式.

(2)几秒钟后乙DPQ的面积等于28cm2.

4.某渔业公司为了解投资收益情况，调查了旗下的养鱼场和远洋捕捞队近10个月的

利润情况.根据收集的数据得知，近10个月总投资养鱼场1千万，获得的月利润频

数分布表如下：

月平均利润(单位：千万元)-0.2-0.100.10.3

频数21124

近10个月总投资远洋捕捞队I千万，获得的月利润频数分布表如下:

月平均利润(单位：千万元)—0.3-0.10.10.30.5

频数12232

(1)根据上述数据，分别计算近10个月养鱼场和沅洋捕捞队的月平均利润：

(2)公司计划用6千万的资金投资养鱼场和远洋捕捞队，受养鱼场和捕捞队规模大

小的影响，要求投资养鱼场的资金不少于投资远洋捕捞队的资金的2倍.根据调查数

据，给出公司分配投资资金额的建议，使得公司投资这两个项目的月平均利润之和最

大.

5.已知反比例函数凹="的图象与一次函数y2=or+b的图象交于点4(1,4)和点8

x

(m,-2).

(1)求小的值及一次函数的关系式；

(2)如果点。与点A关于x轴对称，求AABC的面积.

6.已知二次函数y=o?+云+c的图象经过(0,-2),(-1,-1),(I,1)三点.

(1)求这个函数的解析式；

(2)写出此抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值.

7.如图，平行四边形A6c。中，AB=4,8c=2.若把它放在平面直角坐标系中，使

48在x轴上，点C在y轴上，如果点4的坐标为(一3,0),求点BC,。的坐标.

8.在烧开水时，水温达到100C就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腌”实验时记

录的数据:

时间(分)02468101214

温度(尸)3044587286100100100

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？

(3)时间推移2分钟，水的温度如何变化？

(4)时间为8分钟时，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？

9.我区注重城市绿化提高市民生活质量，新建林荫公园计划购买甲、乙两种树苗共

800株，甲种树苗每株12元，乙种树苗每株15元.相关资料表明：甲、乙两种树苗

的成活率分别为85%、90%.

(1)若购买这两种树苗共用去10500元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？

(2)若要使这批树苗的总成活率不低于88%,则甲种树苗至多购买多少株？

(3)在(2)的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用.

10.我们经历了“确定函数的表方式-利用函数图象研究其性质-运用函数解决问题”

的学习过程在画函数图象时，我们通过描点的方法画出了所学的函数图象同时，我们

也学习了绝对值的意义：⑷=［融］")小，结合上面经历的学习过程，解决下面问题：

［-a(a<0)

(1)若一次函数)，=履+匕的图象分别经过点A(-1,1),8(2,2),请求出此函数表达

式；

(2)在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数y=|x|和'=履+匕的图象；

(3)根据这两个函数图象直接写出不等式8的解集.

y

i…i•…・£!：2：

2：2J!2£llllllll

：1

1SIISXKI

-;-一ssstsst:

21:.:

:：：：2t

::::I：：：：：：：：

12：：S：tI

1iiQ：：：：：：：：

2SS：：2S2

st：：：

1，,…CM…。♦…

：-：：-：：：

:::

1j

lilt

?xiii

IxX

?t(?|11FJj

11.如图，已知抛物线丁=-9-4工，点P是第一象限内抛物线上一个动点，作小_Lx

轴于点A,点8是第一象限内抛物线上的另一个点（点8在A0的右侧），且3P=而,

作BC_Lx轴于点C.

（1）当点尸是抛物线的顶点时：求点8的坐标；

（2）当点8关于AP的对称点?恰好落在丁轴上时，求0A的长.

12.如图，某公路隧道横截面为抛物线形，其最大高度为6米，底部宽度OM为12

米，现以点。为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若要搭建一个由矩形A8CZ）的三条边AD-DC-CB组成的“支撑架”，使C、。两

点在抛物线上，人、R两点在地面OW上，则这个"支撑架''总长的最大值是多少？

13.如图，抛物线），=2/+6+。与丁轴交于点40.2）,对称轴为直线x=-2,平行于

上轴的直线与抛物线交于B、C两点，点3在对称轴左侧，BC=6.

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点尸在工轴上，直线C尸将疑。面积分成4:5两部分，直线CQ与AB交于点

Q,请求出点。的坐标.

14.某种商品每件的进价为20元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-力

件，获得的利润是y元.

（1）写出y与x之间的函数解析式；

⑵应如何定价才能使利润最大？最大利润是多少元？

15.有一家苗圃计划种植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润”（万

元）与投资成本工（万元）满足如图1所示的二次函数》=加；种植柏树的利润”

（万元）与投资成本x（万元）满足如图2所示的正比例函数第=".

（1）请分别直接写出利润V（万元）与利润”（万元）关于投资成本X（万元）的函

数关系式；

（2）若这家苗圃投资4万元种植桃树，投资6万元种植柏树，则可获得的总利润是多

少万元？

（3）若这家苗圃种植桃树和柏树投入总成本20万元，且桃树的投资成本不低于2万

元，且不高于12万元，则苗朋最少能获得多少总利润？最多可获得多少总利润？

16.如图，抛物线丁=-；/+云+c与x轴交于48（4,0）两点，与>'轴交于点C,直

线），=-gx+〃经过点爪C,点。是直线5c上的动点，过点"作DQJ_x轴，垂足为

Q,交抛物线于点P.

(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；

(2)当点P位于直线上方且，,PBC面积最大时，求P的坐标；

(3)将。点向右平移5个单位长度得到点E,当线段OE与抛物线只有一个交点时，请

直接写出。点横坐标机的取值范围_______.

17.三、解答题

12.已知二次函数)=2^+4工一6.

(1)将其化成y=a(x-h)2-1-k的形式；

(2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标：

(3)求图象与两坐标轴的交点坐标；

(4)画出函数图象：

(5)说明其图象与抛物线y=N的关系；

(6)当x取何值时，y随x增大而减小；

(7)当x取何值时，y>0,y=0,yVO；

(8)当x取何值时，函数)，有最值?其最值是多少？

(9)当)，取何值时，-4VxV0；

(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积.

18.已知二次函数y=/+2x+M的图象G与x轴有且只有一个公共点.

①求G的顶点坐标；

②将C向下平移若干个单位后，得抛物线。2,如果与X轴的一个交点为A(-3。),

求G的函数关系式，并求G与X轴的另一个交点坐标；

(2)若P(几yj,。(2,%)是G上的两点，且乃>%,求实数〃的取值范围.

19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数乂=履+人与反比例函数必=一的图象交于

x

4、B两点(点A在第一象限，点B在第三象限)，与x轴、y轴分别交于C,。两点，

AE1)，轴于点E.已知点8的坐标是(一3,-4),AE=6.

⑴求反比例函数与一次函数的解析式；

⑵当X为何值时，，>%，请直接写出X的取值范围.

20.为了净化空气，美化校园环境，某学校计划种植4,B两种树木.已知购买20棵

A种树木和15棵B种树木共花费2680元；购买10棵A种树木和20棵8种树木共花

费2240元.

⑴求A,8两种树木的单价分别为多少元.

(2)如果购买A种树木有优惠，优惠方案是:购买A种树木超过20棵时，超出部分可以

享受八折优惠.若该学校购买机(m>0,且加为整数)棵4种树木花费卬元，求卬与

机之间的函数关系式.

⑶在(2)的条件下，该学校决定在A,B两种树木中购买其中一种，且数量超过20

棵，请你帮助该学校判断选择购买哪种树木更省钱.

21.如图，写出表示下列各点的有序数对：

43,);8(5,2)；

C(____,)；D(____,_)；

E(_,)；F(,_)；

G(,)；H[,_)；

/(,).

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

23456789101

22.已知抛物线y=-2f+。〃-3)X-8.

(1)若抛物线的对称轴为)'轴：求用的值;

(2)若抛物线的顶点在“正平轴上，求顶点坐标.

23.已知函数y=2y/-”，y/与x+1成正比例，”与x成反比例，当x=l时，)，=4,

当x=2时，y=3,求y与x的函数关系式.

24.在同一坐标系中，作出函数y=-2x与y=gx+l的图象.通过图象你能说出它们的交点

坐标是什么吗？在图上标出此点.

个y

25.某市为鼓励市民节约用水，自来水公司按分段收费标准收费，如图反映的是每月

水费y(元)与用水量”(吨)之间的函数关系.

(1)当用水量210吨时，求》关于x的函数解析式(并写出定义域)；

(2)按上述分段收费标准，小明家四、五月份分别交水费42元和27元，问五月份比四

月份节约用水多少吨？

26.抛物线＞，=/+笈+。与x轴交于A(TO),8(3,0)两点，点P是直线8C下方的抛

物线上一个动点.

⑴求上述抛物线的解析式；

(2)求4BCP面积最大值和此时点尸的坐标，

(3)在(2)的条件下，点P是不是到BC距离最远的点？如果是，请说明理由：如果不

是，请找到满足条件的尸点.

27.在平面直角坐标系xoy中，抛物线丁=/+b+。经过点人(0,-3),B(4,5).

(1)求此抛物线表达式及顶点M的坐标；

(2)设点M关于y轴的对称点是N,此抛物线在A,B两点之间的部分记为图象

W(包含A,B两点)，经过点N的直线1：¥=小+〃与图象W恰一个有公共点，结合图

象，求m的取值范围.

28.小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑

行，小李骑摩托车比小张晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两

人距离乙地的路程y(米)与小张出发后的时间x(分)之间的函数图象如图所示.

(1)小张骑自行车的速度:小李出发后分钟到达甲地；

(2)小张出发后分与小李相遇：

(3)求小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.

(I)写出H的坐标.

(2)若抛物线经过点A(0,3),求证：该抛物线恒在直线y=-2x・1上方.

30.如图，已知抛物线y=+bx+c经过“BC的三个顶点，其中点40,3),点

4

B(-12J5),AC〃x轴，点尸是直线AC下方抛物线上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点尸且与丁轴平行的直线/与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形

AECP的面积最大时，求点。的坐标；

(3)当点尸为抛物线的顶点时：在直线AC上是否存在点。，使得以C、尸、。为顶

点的三角形与相似，若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

31.如图，抛物线丁=公2+公+3与x轴的交点为A和3,其中点A（-1,O）,且点

0（2,3）在该抛物线上.

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）点P是线段A8上的动点（点P不与点A,B重合），过点P作尸轴交该抛

物线于点。，连接AQ,DQ,记点P的横坐标为Z.若-1KY2时，求△A。。面积的

最大值.

32.近年来，“互联网+”很好的解决了农产品销售问题，既能帮助农民增收，推动乡

村产业振兴，又能让新鲜农产品通过网络快速走进千家万户.小明家种的苹果也有部

分通过网络销售，已知购买苹果的总价y（元）与购买苹果的数量工（千克）之间的关

系如图所示.请根据图象回答下列问题：

（1）图中A点表示的意义是什么？

（2）购买4千克苹果需要多少钱？

(3)请计算支付65元可以购买苹果多少千克？

33.已知点在以y轴为对称轴的抛物线y=f+av+4上，求26-〃的最大值.

34.抛物线产-丁+2r+3与X轴的交点为A,B,与y轴的交点为C,顶点为D.

(1)求出点A、B、。的坐标；

(2)抛物线上是否存在点尸，使的面积是的面积的2倍？若存在，请求

出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.

35.已知二次函数y=ax2的图象经过A(2,-3)

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)请写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向.

36.A城有肥料2001,B城有肥料300t.现要把这些肥料全部运往C、。两乡，C乡

需要肥料24S,力乡需要肥料2601,其运往C、Q两乡的运费如表：

两城/两乡5(元八)D/(元八)

A2024

B1517

设从A城运往。乡的肥料为从A城运往两乡的总运费为X元，从3城运往两乡的

总运费为为元.

(1)分别写出M、力与1之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围)；

(2)若A、8运往两乡的总运费相等，求x的值；

(3)若从8城运往两乡的总运费不得超过4800元，怎样调运使两城总费用的和最

少？并求出最小值.

37.已知关于x的二次函数y=x2-(2m-l)x+m2+3m+4.

⑴探究m取不同值时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数情况；

⑵设二次函数的图象与x轴的交点为A(xl,0),B(x2,0),且xl2+x22=5,与y轴的

交点为C,它的顶点为M,求直线CM的表达式.

38.如图，己知直角梯形OABC的边OA在)，轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，

OA=AB=2,。。=3,过点8作BD_L8C,交OA于点D.将ND8c绕点B按顺时针方向

旋转，角的两边分别交)，轴的正半轴、工轴的正半轴于E和产.

(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时，求b的长；

(3)连接七兄设△8E”与AMC的面积之差为S,问：当Cr为何值时S最小，并求

出这个最小值.

39.某服装厂现有A种布料70m,B种布料52m,现计划用这两种布料生产M,N两

种型号的时装80套，已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6m,B种布料0.9m,

可获利45元，做一套N型号的时装需要A种布料l.lm,B种布料0.4m,可获利50

元，若设生产N型号的时装套数为X,用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利

润为y元.

(1)求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.

(2)该服装厂在生产这批时装中，当生产N型号的时装多少套时，所获利润最大？

最大利润是多少？

40.如图，已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于

A、D),Q是BC边上的任意一点.连AQ、DQ,过P作PE〃DQ交AQ于E,作

PF〃AQ交DQ于F.

(1)求证：△APE^AADQ；

(2)设AP的长为x,试求4PEF的面积SAPEF关于x的函数关系式，并求当P在何处

时，SAPEF取得最大值？最大值为多少？

(3)当Q在何处时，AADQ的周长最小？(须给出确定Q在何处的过程或方法，不

必给出证明)

41.如图，已知抛物线)，=-/+公+。与x轴交于点4(-1,0)和点3(3,0),与y

轴交于点C,连接5c交抛物线的对称轴于点。是抛物线的顶点.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)直接写出点C和点。的坐标；

(3)若点P在第一象限内的抛物线上，KS^ABP=4SAC0E,求尸点坐标；

(4)在平面内，是否存在点M使点A、B、C、M构成平行四边形，如果存在，直接

写出M坐标：如果不存在，请说明理由.

42.如图，二次函数丫=-/+3%+用的图象与x轴的一个交点为8(4,0),另一个交点

为A,且与y轴相交于。点

(1)求〃，的值及。点坐标；

(2)在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得它与B,。两点构成的三角形

面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由

(3)尸为抛物线上一点，它关于直线8C的对称点为Q,当四边形尸8QC为菱形时，

求点P的坐标(直接写出答案)；

43.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2ax-3a(a>0)与x轴交于A,B两点

(点A在点B的左侧).

(1)求抛物线的对称轴及线段AB的长；

(2)抛物线的顶点为P,若NAPB=120。，求顶点P的坐标及a的值；

(3)若在抛物线上存在一点N,使得NANB=90。，结合图象，求a的取值范围.

44.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线尸经过点A(-2,

0).与点(7(0,4).与x轴的正半轴交于点瓜

y

⑴求抛物线的表达式；

(2)如果。是抛物线上一点，4。与线段相交于点E,且A。将四边形4BOC分成面

积相等的两部分，求D隼E的值；

AE

⑶如果P是x轴上一点，ZPCB=ZACO,求NPCO的正切值.

45.已知抛物线产-V+2x+3,与3轴交于点A,B(A在8的左边)，与)，轴交于点

C,点尸为抛物线上一个动点，横坐标为加，点。为抛物线上另一个动点，横坐标为

⑴直接写出点4,B,C的坐标.

⑵将抛物线上点P与点4之间的部分记作图像G,当图像G的函数值)，的取值满足

0<y<4,求出机的取值范围.

(3)当点尸在第一象限时，以PGCA为邻边做平行四边形PCAO,四边形PCAO的面

积记为S,求出S关于〃，的函数表达式，并写出机的取值范围.

(4)当以点七6加，〃?)点尸6)为端点的线段与抛物线PQ之间的部分(包括

P、Q)有交点时，直接写出机的取值范围.

46.如图，已知抛物线y=云+c与4轴交于点A(-4,0)和点3(1,0),与y轴交于

点C,过点A的直线y=，我+〃交抛物线的另一个点为点E点E的横坐标为2.

⑴求。和c的值.

(2)点?在直线A七下方的抛物线上任一点，点尸的横坐标为/，过点尸作尸尸轴，交

AE于点尸，设尸尸=乩求出d与f的函数关系式，并直接写出，的取值范围.

⑶在(2)问的条件下，过点尸作PK_LAE,垂足为点K,连接PE、若尸尸把"KE分

成面积比为1:12的两个三角形，求出此时，的值.

47.如图，抛物线y=ax?+bx+c经过原点0,与x轴交于另一点N,直线y=kx+4

与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于点B(l,m)、C(2,2).

2.若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x,y),设NP0N=a,求当△PON的面积最

大时tan)的值.

3.若动点P保持(2)中的运动线路，问是否存在点P,使得APOA的面积等于

Q

△PON的面积的石？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

48.如图，抛物线与x轴交于A,A两点，点A在点B的左边,与N轴交于点C,点

。是抛物线的顶点，且4-6,0),D(-2,-8).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A,C重合，过点P作x轴的

垂线交AC于点E,求AACP面积的最大值及此时P点坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点使得AACM为直角三角形？若存在，求出

点M的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案:

1.(1)J=-X2+4X-3

（2）点（5,-8）在该函数图象上

【分析】（1）根据（2,1）为顶点设出二次函数的顶点式，再代入即可得出答案；

（2）将x=5代入函数解析式求出y的值即可判断.

【详解】（1）解：•・•二次函数的顶点坐标为（2J）,

，设二次函数的解析式是y=a（x-2）2+1,

又图象经过点

代入得：一8=々（—1—2）~+1,

解得：a=-\,

・••函数解析式为：y=—（彳-2）2+1=-X2+4X-3；

（2）将x=5代入解析式得y=-5?+4x5-3=-8,

・••点（5,-8）在该函数图象.

【点睛】本题考查的是待定系数法求函数解析式以及判断二次函数图象上点的坐标特征,

解题关键是根据顶点坐标设出顶点式.

2.（1）m=3,见解析

⑵抛物线与x轴的交点为（T0）,（3,0）,顶点坐标为（1,4）

⑶当x>l时，y的值随x值的增大而减小

【分析】（1）把（0,3）代入解析式，可求出机的值，再画出抛物线解析式，即可求解；

（2）直接观察抛物线图象，即可求解；

（3）直接观察抛物线图象，即可求解.

【详解】（1）解：・・・），=-9+（m-1）X+，〃与丁轴交点坐标是（0,3）,

/.m=3,

:，抛物线的解析式为y=-丁+2x+3.

答案第1页，共54页

列表如下:

函数图象如图：

(2)解：由函数图象得，抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0),顶点坐标为(1,4)；

(3)解：由函数图象可知，当工>1时，y的值随x值的增大而减小.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题

的关键.

3.(1)苫=华一创绵瀚；(2)2或4

【详解】试题分析：(1)用t表示出线段的长,然后根据S=S矩形ABCD・SAPBQSAAPD-SACDQ

代入化简即可；(2)令S=28,然后解方程即可.

试题解析：(1)第t秒钟时，AP=t,故PB=(6-t)cm,BQ=2tcm,CQ=12-2t,故SAPBQ=

2

CDQ

y-(6-t)-2t=-t+6t,SAAPD=y-12-t=6t,SA=,(12-2t)-6=36-6t,〈S矩形

ABCD=6X12=72

22

•'•S=S矩形ABCD-SAPBQ-SAAPD-SACDQ=72-(-t+6t)-6t-(36-6t)=-t-6t+36(0<t<6)；

(2)令S=28,所以¥6+36=28,所以t2+6t-8=0,解得t=2或t=4.

考点：二次函数的应用

答案第2页，共54页

4.（1）近1（）个月养鱼场的月平均利润为：0.09（千万元），近10个月远洋捕捞队的月平

均利润为：0.16（千万元）：（2）投资养鱼场4千万元，投资远洋捕捞队2千万元，两个项

目的月平均利润之和最大.

【分析】（1）由频率分布直方图能求出近10个月养鱼场的月平均利润和近10个月远洋捕

捞队的月平均利润；

（2）设公司投资养鱼场x千万元，则投资远洋捕捞队6-x千万元，根据题意求出x的取值

范围，再设两个项目的利润之和为z,求出z区最大值时对应的x的值即可.

【详解】解：Q）近10个月养鱼场的月平均利润为:

-0.2x2+(-0.1)x1+0x1+0.1x2+03x4

=0.09（千万元）,

10

近10个月远洋捕捞队的月平均利润为:

-0.3xl+(-0.1)x2+0.1x2+03x3+0.5x2

1=U.10（千万元）;

10

（2）设公司投资养鱼场x千万元，则投资远洋捕捞队6-x千万元,

•••投资养鱼场的资金不少于投资远洋捕捞队的资金的2倍,

x>2（6-x）,

解得x",

设两个项目的利润之和为Z,贝iJz=0.09x+0.16（6-力=-0.07工+0.96,

要使投资这两个项目的月平均利润之和最大，则x越小越好，

Vx>4,

・・・x取4时,z有最大值0.68千万元,

则投资养鱼场4千万元，投资远洋捕捞队2千万元，两个项目的月平均利润之和最大.

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性

质的合理运用以及不等式知识的运用.

5.（1）m=-2,一次函数解析式为y=2x+2；（2）12

【分析】（1）由点A在反比例函数的图象上，可求得Z的值，再由点8在反比例函数的图

象上，可求得相的值，把A、8两点的坐标分别代入一次函数解析式中，解方程组即可求

得八方的值，从而求得一次函数解析式；

（2）画出示意图，由对称性可求得点C的坐标，由AC垂直于x轴，以AC为底，点8到

4c的距离为高，即可求得△ABC的面积.

答案第3页，共54页

【详解】(1)•・•点A在反比例函数y=人的图象上

X

・・.4」

1

：.k=4

4

即反比例函数解析式为另=:

4

'：B(w?,・2)在其=一上

x

.。4

••-2=—

m

/.m=-2

・••一次函数y2=or+b的图象过点A(1,4)和点8(-2,-2)

a+b=4

—2a+b=—2

，一次函数解析式为y=2x+2

(2)点A关于x轴对称的点C的坐标为(1,-4),则AC_Lx轴，过点8作BO_LAC于。,

如图所示

则AC=8,80=3

/.SMfiC=iACxAD=ix8x3=12

【点睛】本题考查了图形与坐标，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象与点的

坐标特征，求三角形面积，关键是掌握点在函数图象上的坐标特征，求得机的值.

6.(l)y=2X2+X-2

答案第4页，共54页

(2)抛物线的开口象上，对称轴为直线x=・，，顶点坐标为(・，，・?)，当后

4484

时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大增大，当时，y取最小值-

448

【分析】(1)用待定系数法直接可得函数的解析式；

(2)配成顶点式，根据二次函数性质可得答案.

(1)

解：把(0,-2),(-1,-1)>(1»1)代入y=or?+bx+c得：

c=-2

«a-b+c=-\

a+b+c=1

a=2

解得，b=\,

c=-2

・•・这个函数的解析式为y=2/+1-2；

(2)

“24厂2=21+/*

・•・抛物线的开口象上，对称轴为直线x=1顶点坐标为(-：1,-=17),

448

当后-，时，)，随”的增大而减小，当时，)，随x的增大增大，

44

当“一：1时，)，取最小值-|7?.

4o

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出二次函数解析

式.

7.点B,C,D的坐标分别为(1,0),(0,6)和(一4,石).

【详解】分析：首先根据AB的长度和点A的坐标得出点B的坐标，根据BC和OB的长

度以及直角三角形的勾股定理求出OC的长度，从而得出点C的坐标，根据平行四边形的

性质得出点D的坐标.

详解：・・・AB=4,点A的坐标为(-3,0),设点B的坐标为(b,0),

则b—(—3)=b+3=4,・・・b=L，点B的坐标为(1,0).设点C的坐标为(0,c),

由OB=1,BC=2,得OC=^KR：=X/2?T：=S，,点C的坐标为(0,yfi).

答案第5页，共54页

•・・CD〃AB,，点D的坐标为(-4,\[3).

.,.点B,C,D的坐标分别为(1,0),(0,J5)和(一4,5).

点睛：本题主要考查的是平面直角坐标系以及平行四边形的性质，属于基础题型.根据线

段长度以及直角三角形的勾股定理求出点B和点C的坐标是关键.

8.(1)上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；(2)水的

温度随着时间的增加而增加，至打00℃时恒定；(3)时间推移2分钟，水的温度增加14℃,

到10分钟时恒定；(4)时间为8分钟时，水的温度是86C,时间为9分钟时，水的温度是

93℃.

【分析】(1)在函数中，给一个变量。一个值，另一个变量y就有对应的值，则c是自变

量，y是因变量，据此即可判断即可；

(2)根据表格中数据得出水的温度变化规律即可；

(3)运用表格中数据得出水的温度变化规律解答即可；

(4)根据表格中数据得出8分钟时的水温，然后根据变化规律解答即可.

【详解】解：(1)上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变

量；

(2)水的温度随着时间的增加而增加，到I00C时恒定；

(3)时间推移2分钟，水的温度增加14度，到10分钟时恒定；

14

(4)由表格可知：时间为8分钟时，水的温度为86℃；在9分钟时，水的温度为86+方

=93℃.

【点睛】本题主要考查了常量与变量，自变量与因变量等知识点，根据表格中数据分别分

析得出规律是解答本题的关键.

9.(1)购买甲种树苗500株，乙种树苗300株；

⑵甲种树苗至多购买320株；

(3)购买甲种树苗320株，乙种树苗480株，即可满足这批树苗的成活率不低于88%,又使

购买树苗的费用最低，其最低费用为11040元

【分析】(1)根据关键描述语“购买甲、乙两种树苗共800株，”和“购买两种树苗共用

21000元”，列出方程组求解.

(2)先找到关键描述语”这批树苗的成活率不低于88%”，进而找到所求的量的等量关系，

答案第6页，共54页

列出不等式求出甲种树苗的取值范围.

（3）再根据题意列出购买两种树苗的费用之和与甲种树苗的函数关系式，根据一次函数的

特征求出最低费用.

【详解】（1）设购买甲种树苗x株，则乙种树苗丁株，由题意得：

x+y=800

{12x+15y=10500

x=5000

解得{

y=3000

答：购买甲种树苗500株，乙种树苗300株.

（2）设甲种树苗购买z株，由题意得：

85%z+90%（800-z）>800x88%,

解得把320.

答：甲种树苗至多购买320株.

（3）设购买两种树苗的费用之和为则

m=12z+15（800-z）=12000-3z,

在此函数中，，〃随z的增大而减小，

所以当z=320时，m取得最小值，其最小值为12000-3x320=11040元，

答：购买甲种树苗320株，乙种树苗480株，即可满足这批树苗的成活率不低于88%,又

使购买树苗的费用最低，其最低费用为11040元.

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，

将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解.本题难点

是求这批树苗的成活率不低于88%时，甲种树苗的取值范围.

14

10.（1）y=-x+—；（2）见解析；（3）-l<x<2

【分析】（1）根据待定系数法可以求得该函数的表达式；

（2）根据函数表达式可以画出该函数的图象；

（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集.

-k+b=\

【详解】解：（1）由题意得

2k+b=2'

1_

k

3

4

b

3

答案第7页，共54页

14

，此函数表达式为：J=1x+-；

(2)画出函数y=|x|和y=Ax+b的图象如图:

(3)由图象可知，不等式口区"+方的解集为-1人2.

【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法及函数的图

像与不等式的解的联系.

12

11.(1)5(2+72,2)；(2)—

【分析】(1)先把抛物线化成顶点式求出P的坐标，然后根据8尸=班，得到B的纵坐标为

2,代入抛物线解析式求解即可得到答案；

(2)由点3关于AP的对称点"恰好落在》轴上，则点8的横坐标是点尸的横坐标的2

倍.设点尸的坐标为((。,-/+4。)3>0),则点8的坐标为(2。,-4/+84，然后根据

BP=BA,得到3的纵坐标为P的纵坐标的一半，贝1]-/+4。=2(-4«2+&/),解方程即可.

【详解】解：(1);点。是抛物线、=「？+4%=-(%—2)2+4的顶点

・・•尸(2,4).

BP=BAf

二•点8的纵坐标为2.

点8是第一象限内抛物线上的点，

4-y=-x2+4x=2,

解得X=2±\/5

丁点5在AP的右侧,

:.x=2+>/2»

8(2+技2).

答案第8页，共54页

（2）♦•点5关于AP的对称点皆恰好落在y轴上，

.1•点B的横坐标是点P的横坐标的2倍.

设点P的坐标为（（〃,-/+4〃）（々＞0）,

则点8的坐标为（2a,-4/+8。）

BA=BP,

「•点P的纵坐标是点B的纵坐标的2倍，

/.-a2+4a=2（-4a2+8a）,

解得4=1/2，％=°（不合题意，舍去），

.的长是].

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，二次函数的顶点坐标，轴对称的性质，解题

的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

12.（1）y=~x2+2x；（2）15米

6

1O

【分析】（1）根据题意可得：抛物线的对称轴为x=^=6，点M（12,0）,点尸（6,6）,

可设抛物线的解析式为y=a（K-6）2+6（aw0）,再将点M（12,0）代入，即可求解；

（2）设点A（/区0）,则8（12-皿0）,,。卜，一,加+2机），可

得到AO+CO+8C=-g"?2+2〃?+]2,再利用二次函数的性质，即可求解.

1O

【详解】解：（1）根据题意得：抛物线的对称轴为X=£=6，点”（12,0），点

尸（6,6）,

・・・设抛物线的解析式为），=。（1-6）2+6（力0）,

将点”（12,0）代入，得：a（12-6|2+6=0,

解得：…!，

6

2

，抛物线的解析式为丁=一!（X-6『+6,BPy=-lx+2x；

OO

（2）设点4（/小0）,则8（12-皿0）,cl12-+2m|,D\+2m],

工这个“支撑架”总长为

答案第9页，共54页

AD+CD+8C=(一362+26)+(12—加一6)+(—、加2+26)

=--m2+2m+\2

3

=-1(^-3)2+15,

V-i<0,

3

，当加=3时，AD+CD+BC有最大值，最大值为15,

即这个"支撑架''总长的最大值是15米.

【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性

质，并会利用数形结合思想解答.

13.(1)y=2f+8.i+2；(2)外一矿司或1一至旬

【分析】(1)根据对称轴直线工=-2求出b,把点A(0,2)代入抛物线解析式求出c,即可

求出抛物线解析式；

(2)先求出点B、C的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，作出直线。，与

AB交于点Q,过。作。”，丁轴，与》轴交于点与)，轴交于点“，得到

△A。"s进而得到Q":=AQ:A8,直线CP将^ABC面积分成4:5两部分，

分别得到AQ:Q8=4:5或AQ:Q6=5:4两种情况，分别求出Q横坐标，进而求出Q坐

标.

【详解】解：⑴由题意得：a=2,A=-A=_,=2,

2a2e

解得：b=8,c=2,

则此抛物线的表达式为y=2W+&+2；

(2),・•抛物线对称轴为直线x=-2,BC=6,

]

:.2

xc-xB=6

解得:仁；

即点8横坐标为一5,点C横坐标为1,

把X=1代入抛物线表达式得：y=i2,

AB(-5,12),C(l,12).

由点A的坐标为(0,2),设直线A8的表达式为y=履+2,

答案第10页，共54页

把点4坐标代入得：k=-2,

即直线AB的表达式为y=-2x+2.

作出直线CP,与A8交于点。，过点。作轴，与丁轴交于点H,与y轴交于点

M,

可得△AQ”SZ\A8M,

=AQ.AB.

•・•点P在“轴上，直线CP将JWC面积分成4:5两部分,

：.AQ:QB=4:5（如图①）或AQ:Q8=5:4（如图②）,

即AQ:43=4:9或AQ:AB=5:9.

VBM=5,

・•・。〃=2/()或0/=告25.

如图①，当。〃二20/时，

把］=一9代入直线A8表达式得：J=

此时。卜2丁0,58旬1；

如图②，当Q"哼时，把段得代入直线AB表达式得：y=y,

u-J25681

此时

综上可知，点Q的坐标为卜与，藁)或H，?).

【点睛】本题为二次函数综合题，综合性强，难度大.熟练掌握二次函数性质，深刻理解

答案第H页，共54页

坐标系内求点的坐标方法，添加辅助线构造相似是解题关键.

14.(l)y=-x7+120x-2000

(2)定价为60元才能使利润最大？最大利润是1600元.

【分析】(1)根据利润等于单件利润乘以销量即可得到答案：

(2)把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案.

【详解】(1)解：由题意得至ijy=(x-20)(100—x)=-V+i20x—2000

即y与”之间的函数解析式为y=—丁+120x-2000；

(2)解：y=-x2+120A-2000=-(x-60)2+1600,

V«=-l<0.

・