2024年沪教版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪教版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、化简的结果为（）

A.cos50°

B.cos50°-sin50°

C.sin50°-cos50°

D.±（cos50°-sin50°）

2、等差数列的前项和分别为和若则（）A.B.C.D.3、【题文】假设集合那么等于（）A.{4,8}B.{4,10}C.{0,4,8}D.{0,4,10}4、【题文】（2011•浙江）下列命题中错误的是（）A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5、【题文】已知函数的图象可能是（）6、【题文】设则A.B.C.D.7、已知tan娄脠=2

则sin2娄脠+sin娄脠cos娄脠鈭�2cos2娄脠=(

)

A.鈭�43

B.54

C.鈭�34

D.45

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、计算：=____。9、已知且则cos=_________10、设则的最大值为_________．11、【题文】已知函数f(x)＝则满足不等式f(f(x))>1的x的取值范围是________．12、【题文】在整数集合Z中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为[]，即[]k＝0，1，2，3，4。给出如下四个结论：

①2011∈[1]；

②－3∈[3]；

③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④若整数a，b属于同一‘类’，则(a－b)∈[0]。

其中，正确结论的代号是____。13、【题文】直线被圆截得的弦长为____．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)14、某地区有三座工厂分别位于△ABC的三个顶点，已知．为了处理三个工厂的污水；现要在△ABC区域内（不包括边界）且与B；C等距的一点O处建立一个污水处理厂，并铺设排污管道OA、OB、OC．

（1）设OA=xkm；若要使排污管道总长不超过11km，求x的取值范围；

（2）设∠OBC=θ；当排污管道总长取最小值时，求θ的值．

15、在直角坐标系中，已知点点在三边围成的区域（含边界）上（1）若求（2）设用表示并求的最大值.16、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品在该售价的基础上每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．(14分)（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？17、样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计：（1）求样本数据落在[6,10)内的频数.（2）求数据落在[2,10)内的概率18、【题文】（本小题12分）

已知集合请画出从集合到集合的所有函数关系，并写出每种函数关系中的定义域及值域.19、（1）计算

（2）化简．20、已知△ABC的顶点C在直线3x-y=0上；顶点A；B的坐标分别为（4，2），（0，5）．

（Ⅰ）求过点A且在x；y轴上的截距相等的直线方程；

（Ⅱ）若△ABC的面积为10，求顶点C的坐标．评卷人得分四、作图题(共2题，共6分)21、画出计算1++++的程序框图．22、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分五、证明题(共4题，共24分)23、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．24、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．25、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．26、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．评卷人得分六、综合题(共4题，共8分)27、已知抛物线y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为；求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．28、如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F，G，连接AF并延长交△BGF的外接圆于H；连接GH，BH．

（1）求证：△DFA∽△HBG；

（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE=3；CF：FB=1：2，求AB的长；

（3）在（2）的条件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．29、已知抛物线y=ax2-2ax+c-1的顶点在直线y=-上，与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，其中α＜β，且α2+β2=10．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设这个抛物线与y轴的交点为P；H是线段BC上的一个动点，过H作HK∥PB，交PC于K，连接PH，记线段BH的长为t，△PHK的面积为S，试将S表示成t的函数；

（3）求S的最大值，以及S取最大值时过H、K两点的直线的解析式．30、数学课上；老师提出：

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH．

同学发现两个结论：

①S△CMD：S梯形ABMC=2：3②数值相等关系：xC•xD=-yH

（1）请你验证结论①和结论②成立；

（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1；0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；

（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么xC、xD与yH有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】

===|sin50°-cos50°|

∵sin50°＞cos50°=sin40°

∴=sin50°-cos50°

故选：C．

【解析】【答案】首先将“1”写成sin250°+cos250°=1；然后根据二倍角公式将得出sin100°=2sin50°cos50°，最后化简即可．

2、C【分析】【解析】

因为等差数列的前项和分别为和若代入可知结果为【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】本题考查集合的运算。

由全集集合得

故正确答案为D【解析】【答案】D4、D【分析】【解析】由题意可知：

A；结合实物：教室的门面与地面垂直；门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；

B；假若平面α内存在直线垂直于平面β；根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；

C；结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线；再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；

D；举反例：教室内侧墙面与地面垂直；而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．

故选D．【解析】【答案】D5、B【分析】【解析】本题考查函数的图像变换。

对于函数的图象，可先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到，故选B。【解析】【答案】B6、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A7、D【分析】解：sin2娄脠+sin娄脠cos娄脠鈭�2cos2娄脠

=sin2娄脠+sin娄脠cos娄脠鈭�2cos2娄脠sin2胃+cos2胃

=tan2娄脠+tan娄脠鈭�2tan2胃+1

=4+2鈭�24+1=45

．

故选D．

利用sin2娄脠+cos2娄脠=1

令原式除以sin2娄脠+cos2娄脠

从而把原式转化成关于tan娄脠

的式子，把tan娄脠=2

代入即可．

本题主要考查了三角函数的恒等变换应用.

本题利用了sin2娄脠+cos2娄脠=1

巧妙的完成弦切互化．【解析】D

二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】【解析】试题分析：=考点：本题主要考查三角函数诱导公式，特殊角的三角函数值。【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

因为则cos=【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】当x≤0时，2x∈(0，1]，f(f(x))＝log22x＝x>1，不符合；当02x≤0，f(f(x))＝2log2x＝x>1，不符合；当x>1时，log2x>0，f(f(x))＝log2(log2x)>1，解得x>4.【解析】【答案】(4，＋∞)12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】①③④13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】三、解答题(共7题，共14分)14、略

【分析】

（1）设BC中点为D；由AB=AC及OB=OC知，O点在线段AD上。

km

设AO=x，则0＜x＜3（2分）

由OA+OB+OB≤11知（3分）

即

平方化简有：3x2-2x-1≤0（5分）又0＜x＜3

故0＜x≤1（6分）

（2）设∠OBC=θ，则

∴

则（8分）

令得

故k2≥3，又k＞0，故（10分）

则

此时有：即得

又故

故（12分）

（若由（1）知得平方化为x的二次方程△≥0得Lmin亦可．）

【解析】【答案】（1）设BC中点为D；由AB=AC及OB=OC知，O点在线段AD上，设OA=xkm，求出AD，若要使排污管道总长不超过11km，即OA+OB+OB≤11，解不等式即可求x的取值范围；

（2）设∠OBC=θ；求出排污管道总长的表达式，求出取最小值时的θ值即可．

15、略

【分析】试题分析：（1）本小题中因为思路一即化为坐标运算：从而求得x,y，即可求出其模长，思路二先化向量运算，再化坐标运算：即可求得模长；（2）本小题因为所以则两式相减得，m-n=y-x,令y-x=t,以下把问题转化为目标函数为t的线性规划问题加以解决.试题解析：（1）解法一：又解得x=2,y=2,即所以解法二：则所以所以（2）两式相减得，m-n=y-x,令y-x=t,由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m-n的最大值为1.考点：平面向量的线性运算与坐标运算；线性规划问题.【解析】【答案】（1）（2）1.16、略

【分析】【解析】试题分析：（1）（且为正整数）；（2）．当时，有最大值2402.5．且为正整数，当时，（元），当时，（元）当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；。考点：函数的实际应用。【解析】【答案】（1）（且为正整数）；（2）当售价定为每件55或56元，最大的月利润是2400元；17、略

【分析】(1)由于纵轴表示频率/组距，所以区间[6,10]上的频率等于此区间上对应矩形的面积.(2)落在区间[2,10]上的概率等于区间[1,6],[6,10]两个区间上矩形面积之和.【解析】

(1)由于组距为4，因此在[6,10)之间的频率为0.08×4＝0.32，其频数为0.32×200＝64.(2)落在[2,10)之间的概率为(0.02＋0.08)×4＝0.4.【解析】【答案】（1）64（2）0.418、略

【分析】【解析】本试题主要是考查而来集合与函数的关系的运用。必须满足集合A中的所有的元素；在集合B中有唯一的像即可，那么可知符合题意的有4种情况。

解：（每个3分；共12分）

定义域：定义域：定义域：定义域：

值域：值域：值域：值域：

【解析】【答案】定义域：定义域：定义域：定义域：

值域：值域：值域：值域：

19、略

【分析】

（1）利用指数幂的运算法则即可得出；

（2）利用分数指数幂的运算法则即可得出．

本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题．【解析】解：（1）原式=+10-1×（-2）+-3+

=

（2）原式=

==a0b0=1；20、略

【分析】

（Ⅰ）分点A且在x；y轴上的截距等于零和不等于零两种情况，分别用点斜式求得所求直线的直线方程．

（Ⅱ）设C（x0，3x0），先求出AB所在的直线方程，再顶点C到直线AB的距离d，由S△ABC=|AB|•d=10，求得x0的值；可得顶点C的坐标．

本题主要考查用待定系数法求直线的方程，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．【解析】解：（Ⅰ）当所求直线过原点时，k=∴y=x；即x-2y=0；

当截距不为0时；k=-1，∴y-2=-（x-4），即x+y-6=0．

∴所求直线方程为x-2y=0或x+y-6=0．

（Ⅱ）由顶点C在直线3x-y=0上，可设C（x0，3x0）；

可求直线AB的方程为3x+4y-20=0；

则顶点C到直线AB的距离d==|3x0-4|，且|AB|==5；

∴S△ABC=|AB|•d=10，即|3x0-4|=4，∴x0=0或x0=

故顶点C的坐标为（0，0）或（8）．四、作图题(共2题，共6分)21、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．22、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．五、证明题(共4题，共24分)23、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．24、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．25、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．26、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．六、综合题(共4题，共8分)27、略

【分析】【分析】（1）判定抛物线的顶点必在x轴的下方；根据开口方向，二次函数只要与x轴有两个交点即可．

（2）利用垂径定理；勾股定理可以求出

（3）利用三角形面积公式，以CD为底边，P到y轴的距离为高，可以求出．【解析】【解答】（1）证明：抛物线y=x2+4ax+3a2开口向上；且a＞0

又△=（4a）2-4×3a2=4a2＞0

∴抛物线必与x轴有两个交点

∴其顶点在x轴下方

（2）解：令x2+4ax+3a2=0

∴x1=-a，x2=-3a2

∴A（-a；0），B（-3a，0）

又圆M与y轴相切；

∴MA=2a

如图在Rt△MAC中，MA2=NA2+NM2即（2a）2=a2+（）2

∴a=±1（负值舍去）

∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3

（3）解：P（-2；-1），A（-1，0），C（0，3）

设直线PA的方程：y=kx+b，则-1=-2k+b

0=-k+b

∴k=1

b=1

∴y=x+1；令x=0得y=1

∴D（0；1）

∴S△CPA=S△PCD-S△CAD=×2×2-×2×1=128、略

【分析】【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理的推论可以证明三角形中的两个角对应相等；从而证明三角形相似；

（2）根据平行线分线段成比例定理得到AB和BG的比；再根据切割线定理列方程求解；

（3）根据勾股定理以及上述结论求得有关的边没再根据90°的圆周角所对的弦是直径，发现FG是直径，根据圆周角定理的推论把要求的角转换到直角三角形中，根据锐角三角函数的概念求解．【解析】【解答】证明：（1）∵∠HBG=∠HFG；∠HFG=∠AFD；

∴∠HBG=∠AFD．

∵∠BHG=∠BFG=∠CFD=∠ADG；

∴△DFA∽△HBG．（4分）

（2）∵CD∥AB；CD=AB；

∴．

即AG=3AB．

∵AE为⊙O的切线；

∴AE2=AB•AG．

∴AB=3．（8分）

（3）∵AD=BC=6；CF：FB=1：2；

∴CF=2；BF=4．

∵∠ABC=90°；

∴AF=．

∵AE2=AF•AH；

∴AH=FH=AH-AF=．

∴FH=AH-AF=．

∵∠FBG=90°，FG=；

∵FG为圆的直径；

∴HG=．

∴tan∠HBG=18．（12分）29、略

【分析】【分析】（1）把顶点A的坐标代入直线的解析式得出c=a+；根据根与系数的关系求出c=1-3a，得出方程组，求出方程组的解即可；

（2）求出P、B、C的坐标，BC=4，根据sin∠BCP==，和HK∥BP，得出=，求出PK=t；过H作HG⊥PC于G，根据三角形的面积公式即可求出答案；

（3）根据S=-（t-2）2+2求出S取最大值，作KK′⊥HC于K′，求出KK′和OK′，得到点K的坐标，设所求直线的解析式为y=kx+b，代入得到方程组求出即可．【解析】【解答】解：（1）由y=ax2-2ax+c-1=a（x-1）2+c-1-a得抛物线的顶点为

A（1；c-1-a）．

∵点A在直线y=-x+8上；

∴c-1-a=-×1+8；

即c=a+；①

又抛物线与x轴相交于B（α；0）；C（β，0）两点；

∴α、β是方程ax2-2ax+c-1=0的两个根．

∴α+β=2，αβ=；

又α2+β2=10，即（α+β）2-2αβ=10；

∴4-2×=10；

即c=1-3a②；

由①②解得：a=-；c=5；

∴y=-x2+x+4；

此时；抛物线与x轴确有两个交点；

答：这个抛物线解析式为：y=-x2+x+4．

（2）由抛物线y=-x2+x+4；

令x=0；得y=4，故P点坐标为（0，4）；

令y=0，解得x1=-1，x2=3；

∵α＜β；∴B（-1，0），C（3，0）；

∴BC=4，又由OC=3，OP=4，得PC=5，sin∠BCP==；

∵BH=t；∴HC=4-t．

∵HK∥BP，=，=；

∴PK=t

如图，过H作HG⊥PC于G，则HG=HC，

sin∠BCP=（4-t）•=（4-t）；

∴S=×t×（4-t）=t2+2t；

∵点H在线段BC上且HK∥BP；∴0＜t＜4．

∴所求的函数式为：S=-t2+2t（0＜t＜4）；

答：将S表示成t的函数为S=-t2+2t（0＜t＜4）．

（3）由S=-t2+2t=-（t-2）2+2（0＜t＜4）；知：

当t=2（满足0＜t＜4）时；S取最大值，其值为2；

此时；点H的坐标为（1，0）；

∵HK∥PB；且H为BC的中点；

∴K为PC的中点；