2024-2025学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）

第1页（共1页）2024-2025学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（4分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+3y﹣5＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝02．（4分）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（）A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰形曲线 C．蝴蝶形曲线 D．太极曲线3．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．掷一枚骰子，朝上一面的点数为6 B．同弧或等弧所对的圆周角相等 C．任意写一个数，这个数大于﹣1 D．两边对应成比例的两个三角形相似4．（4分）如图，点A是反比例函数图象上任意一点，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为（）A．3 B．6 C．12 D．不能确定5．（4分）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5），则AB的长度是（）A．3 B．4 C．5 D．66．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx2+k与的图象可能是（）A． B． C． D．7．（4分）四边形ABCD内接于⊙O，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：m：5：n，则m（）A．2m＝5n B．5m＝2n C．m+n＝180° D．m+n＝78．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，AC＝5，则AD的长为（）A．5 B． C． D．9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C，且OD经过AC中点E，连接DC并延长，若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为（）A．16° B．21° C．32° D．37°10．（4分）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，且t＞0，则t3﹣2t2﹣1的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．二.填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（4分）若＝，则＝．12．（4分）若点A（a，﹣4）与点B（7，b）关于原点成中心对称．13．（4分）将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移5个单位，所得到的抛物线的解析式为．14．（4分）乐乐抛一枚质地均匀的硬币9次，有6次正面朝上，当他抛第10次时．15．（4分）如图，A，B是双曲线y＝上的两点，交OB于D点，若△ADO的面积为3，则k的值为．16．（4分）如图，点E是边长为10的正方形ABCD的边BC上一动点，连接DE，连接AF，DF，连接EG，当AF+DF取最小值时．三.解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（8分）解方程：x2﹣3x+1＝0．18．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，连接CD，BE．（1）求证：△AEB≌△ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝97°，求∠BED的度数．19．（8分）小王和小李两名同学周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图．小王和小李分别从两入口进入参观．（1）参观结束后，小李从D出口走出的概率是．（2）参观结束后，通过画树状图或列表求小王和小李恰好从同一出口走出的概率．20．（8分）如图，AB与⊙O相切于点A，连接OB交⊙O于点C，连接AD，∠D＝30°．（1）求证：AD＝AB；（2）已知，求阴影部分的面积（结果保留根号和π）．21．（8分）如图，在△ABC中，AC＝3．（1）在AC上求作一点D，连接BD，使得△ABD∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）点M，N分别是BD、BC中点，若AD＝1，求22．（10分）如图，一次函数y＝mx+n与反比例函数的图象交于点A（﹣1，4），B（b，﹣2），与x轴交于点D．（1）求k，b的值；（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；（3）连接OA，OB，求△OAB的面积．23．（10分）根据以下销售情况，解决销售任务．销售情况分析总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：店面甲店乙店日销售情况每天可售出20件，每件盈利40元.每天可售出32件，每件盈利30元.市场调查经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件.情况设置设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元.任务解决任务1甲店每天的销售量件（用含a的代数式表示）．乙店每天的销售量件（用含b的代数式表示）．任务2总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元．24．（12分）如图，已知AB、AC是半径为1的⊙O的两条弦，且AB＝AC，连接OA、OC．（1）证明：∠ABO＝∠ACO；（2）试求的值；（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，若，求OD的长．25．（14分）如图1，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求搬物线C1的解析式；（2）若P是抛物线C1在第四象限上的一点，连接AP交线段BC于点K，是否存在点P，若存在，求出点P的坐标，请说明理由；（3）如图2，将抛物线C1向右平移一个单位长度得到抛物线C2，点M，N都在抛物线C2上，且分别在第四象限和第二象限，若∠NOy＝∠MOx

2024-2025学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析题号12345678910答案CDBADADDBA一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（4分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+3y﹣5＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0【解答】解：A、该方程中含有两个未知数；B、该方程是分式方程，故本选项不符合题意；C、符合一元二次方程的定义；D、当a＝0时，故本选项不符合题意．故选：C．2．（4分）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（）A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰形曲线 C．蝴蝶形曲线 D．太极曲线【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，故选：D．3．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．掷一枚骰子，朝上一面的点数为6 B．同弧或等弧所对的圆周角相等 C．任意写一个数，这个数大于﹣1 D．两边对应成比例的两个三角形相似【解答】解：A、掷一枚骰子，故选项不符合题意；B、同弧或等弧所对的圆周角相等是必然事件；C、任意写一个数，故选项不符合题意；D、两边对应成比例的两个三角形相似是随机事件．故选：B．4．（4分）如图，点A是反比例函数图象上任意一点，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为（）A．3 B．6 C．12 D．不能确定【解答】解：如图，连接OA，由反比例函数系数k的几何意义得，S△AOB＝|k|＝，又∵AB⊥y轴，∴S△ABC＝S△AOB＝3．故选：A．5．（4分）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5），则AB的长度是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵由题意可知线段平行，∴可以找到相似三角形，通过三角形相似可以得到相似比的等式，＝，，AB＝6．故选：D．6．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx2+k与的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：当k＞0时，函数y＝kx2+k的图象开口向上，顶点坐标在y轴正半轴上，此时，函数y＝、三象限，∴A选项中图形合适；当k＜3时，函数y＝kx2+k的图象开口向下，顶点坐标在y轴负半轴上，此时，函数y＝、四象限，∴无合适图形．故选：A．7．（4分）四边形ABCD内接于⊙O，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：m：5：n，则m（）A．2m＝5n B．5m＝2n C．m+n＝180° D．m+n＝7【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝∠B+∠D，∵∠A：∠B：∠C：∠D＝2：m：5：n，∴m+n＝7，故选：D．8．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，AC＝5，则AD的长为（）A．5 B． C． D．【解答】解：由旋转得，AC＝CE＝5，∠ACE＝90°，在Rt△ACE中，由勾股定理得＝，∴AD＝AE﹣DE＝﹣2．故选：D．9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C，且OD经过AC中点E，连接DC并延长，若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为（）A．16° B．21° C．32° D．37°【解答】解：连接OC，∵∠CAB＝16°，OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAB＝16°，∴∠COP＝∠CAB+∠OCA＝16°+16°＝32°，∵E为AC的中点，OA＝OC，∴∠DOC＝∠AOE＝AOC＝，∵OD＝OC，∴∠DCO＝∠D＝（180°﹣∠DOC）＝53°，∴∠BPC＝∠DCO﹣∠COP＝53°﹣32°＝21°，故选：B．10．（4分）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，且t＞0，则t3﹣2t2﹣1的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．【解答】解：由题意得，，∴，∴t是x2﹣x﹣6＝0的解，∴t2﹣t﹣2＝0，∴t3﹣4t2﹣1＝t（t2﹣t﹣1）﹣（t2﹣t﹣7）﹣2＝﹣2，故选A．二.填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（4分）若＝，则＝．【解答】解：∵＝，∴＝2﹣＝2﹣＝，故答案为：．12．（4分）若点A（a，﹣4）与点B（7，b）关于原点成中心对称﹣3．【解答】解：∵点A（a，﹣4）与点B（7，∴a＝﹣4，b＝4，∴a+b＝﹣7+7＝﹣3．故答案为：﹣3．13．（4分）将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移5个单位，所得到的抛物线的解析式为y＝2（x+3）2+5．【解答】解：由题知，将抛物线y＝2x2向左平移6个单位后，所得抛物线的解析式为y＝2（x+3）4，再将所得抛物线向上平移5个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝2（x+8）2+5．故答案为：y＝8（x+3）2+8．14．（4分）乐乐抛一枚质地均匀的硬币9次，有6次正面朝上，当他抛第10次时．【解答】解：根据题意可知，掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上，∴当他抛第10次时，正面朝上的概率为．故答案为：．15．（4分）如图，A，B是双曲线y＝上的两点，交OB于D点，若△ADO的面积为3，则k的值为8．【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，∵D为OB的中点，CD∥BE，∴CD是△OBE的中位线，即CD＝．设A（x，），则B（4x，），AD＝﹣，∵△ADO的面积为3，∴AD•OC＝3，∴（﹣）•x＝3，解得k＝2，故答案为：8．16．（4分）如图，点E是边长为10的正方形ABCD的边BC上一动点，连接DE，连接AF，DF，连接EG，当AF+DF取最小值时．【解答】解：如图1，过点F作FP⊥CB交CB的延长线于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝10，∠C＝∠ABC＝90°，∴∠C＝∠EPF＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，由旋转知，DE＝FE，∴∠DEC+∠PEF＝90°，∴∠PEF＝∠CDE，在△PEF与△CDE中，，∴△PEF≌△CDE（AAS），∴PF＝CE，PE＝CD，∴PE＝CB，∴PE﹣BE＝CB﹣BE，∴PB＝CE，∴PB＝PF，∵FP⊥CB，∴∠PBF＝45°，∴点F在∠ABP的平分线上，如图2，作点A关于直线BF的对称点M，此时，∵点A关于直线BF的对称点M，∴△AFB≌△MFB，∴BM＝AB＝AD＝10，∵AD∥CB，如图7，连接BD，∴四边形AMBD为平行四边形，∴BG＝AG＝AB＝2，设CE＝x，由图1知，PF＝PB＝CE＝x，∴PM＝BM﹣PB＝10﹣x，∵∠ABM＝∠FPM＝90°，∴PF∥AB，∴△MPF∽△MBG，∴＝，∴＝，解得：x＝，∴线段CE的长为．故答案为：．三.解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（8分）解方程：x2﹣3x+1＝0．【解答】解：x2﹣3x+5＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝8﹣4＝5＞7，∴x1＝，x2＝．18．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，连接CD，BE．（1）求证：△AEB≌△ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝97°，求∠BED的度数．【解答】（1）证明：∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°，∴AE＝AD，AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAD，∴△AEB≌△ADC（SAS），（2）解：∵△AEB≌△ADC，∴∠ADC＝∠AEB＝97°，∵AE＝AD，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝37°．19．（8分）小王和小李两名同学周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图．小王和小李分别从两入口进入参观．（1）参观结束后，小李从D出口走出的概率是．（2）参观结束后，通过画树状图或列表求小王和小李恰好从同一出口走出的概率．【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，∴参观结束后，小李从D出口走出的概率是．故答案为：．（2）列表如下：CDEC（C，C）（C，D）（C，E）D（D，C）（D，D） （D，E） E（E，C）（E，D）（E，E）共有8种等可能的结果，其中小王和小李恰好从同一出口走出的结果有3种，∴小王和小李恰好从同一出口走出的概率为．20．（8分）如图，AB与⊙O相切于点A，连接OB交⊙O于点C，连接AD，∠D＝30°．（1）求证：AD＝AB；（2）已知，求阴影部分的面积（结果保留根号和π）．【解答】（1）证明：连接OA，∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵∠D＝30°，OA＝OD，∴∠D＝∠DAO＝30°，∴∠B＝180°﹣∠D﹣∠DAO﹣∠OAB＝30°，∴∠D＝∠B，∴AD＝AB；（2）解：∵∠B＝30°，∠OAB＝90°，∴∠AOB＝60°，OB＝2OA，∵AB＝2，∴OA2+AB2＝OB5，即OA2+（2）2＝（2OA）5，∴OA＝2，∴阴影部分的面积为：△OAB的面积﹣扇形OAC的面积＝×2＝2﹣．21．（8分）如图，在△ABC中，AC＝3．（1）在AC上求作一点D，连接BD，使得△ABD∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）点M，N分别是BD、BC中点，若AD＝1，求【解答】解：（1）若△ABD∽△ACB，则∠ABD＝∠ACB．如图，作∠ABD＝∠ACB交AC于点D，则点D即为所求．（2）∵点M，N分别是BD，∴AM为△ABD的中线，AN为△ABC的中线．∵△ABD∽△ACB，∴＝．∵AC＝3，AD＝1，∴，∴AB＝，∴．22．（10分）如图，一次函数y＝mx+n与反比例函数的图象交于点A（﹣1，4），B（b，﹣2），与x轴交于点D．（1）求k，b的值；（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；（3）连接OA，OB，求△OAB的面积．【解答】解：（1）将A（﹣1，4）代入y＝，∴k＝﹣4，∴反比例函数解析式为Y＝﹣，将B（b，﹣3）代入y＝﹣，∴b＝6；（2）∵b＝2，∴B（2，﹣8），∴由图象可得不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞2；（3）连接OA，OB，将A（﹣1，4），﹣7）分别代入y＝mx+n得，∴，∴y＝﹣3x+2，令y＝0，则2＝﹣2x+2，解得：x＝2，∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝＝7．23．（10分）根据以下销售情况，解决销售任务．销售情况分析总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：店面甲店乙店日销售情况每天可售出20件，每件盈利40元.每天可售出32件，每件盈利30元.市场调查经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件.情况设置设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元.任务解决任务1甲店每天的销售量（20+2a）件（用含a的代数式表示）．乙店每天的销售量（32+2b）件（用含b的代数式表示）．任务2总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元．【解答】解：任务1：根据题意得：甲店每天的销售量为（20+2a）件；乙店每天的销售量为（32+5b）件．故答案为：（20+2a），（32+2b）；任务5：根据题意得：（40﹣a）（20+2a）+（30﹣a）（32+2a）＝2244，根据题意得：a7﹣22a+121＝0，解得：a1＝a4＝11．答：每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元．24．（12分）如图，已知AB、AC是半径为1的⊙O的两条弦，且AB＝AC，连接OA、OC．（1）证明：∠ABO＝∠ACO；（2）试求的值；（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，若，求OD的长．【解答】（1）证明：在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠ABO＝∠ACO；（2）解：由（1）知∠ABO＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO＝∠B，∵∠ADO＝∠ADB，∴△OAD∽△ABD，∴＝，∴AD2＝BD•OD，∴（）2﹣＝＝＝＝＝＝4；（3）解：∵＝S4S3，∴可设＝＝k，∴S5＝kS3，S1