数学-湖南省邵阳市邵东市创新高级中学2024-2025学年高二上学期12月创高杯考试试题和答案

第1页/共4页创新高级中学2024年下学期高二创高杯考试（科目：数学）3.卷Ⅰ请用2B铅笔填涂在对应位置中；1.已知椭圆的两个焦点分别为是C上一点，且A.B.+x2=1C.D.A.B.C.3D.2A.30°B.60°C.90°D.120°A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M为棱CC1上任意一点，则）A.1B.2C.1D.26.在等差数列{an}中，a2=2,a3=4，则a10=第2页/共4页7.已知双曲线的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.B.C.-y2=1D.8.x,y∈R，函数f3x+4y-5的最小值为()A.2B.C.D.9.已知圆x2+y2=4上有且仅有三个点到直线l的距离为1，则直线l的方程可以是()10.已知曲线C：mx2-ny2=1，下列说法正确的是()A.若mn>0，则C为双曲线C.若m>0,n<0，则C不可11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为BB1,CC1的中点，G是线段B1C1上的一个动点，则下列说法正确的是() A.点G到平面AEF的距离为第3页/共4页B.直线AG与平面AEF所成角的余弦值的取值范围为C.若线段AA1的中点为H，则GH一定平行于平面AEF D.四面体AEFG的体积为13.在棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，则A1到平面AB1E的距离为______；14.双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2=.15.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2+a3=8，S5=25.（1）求{an}的通项公式；16.已知O为坐标原点，点A(-1,2)和直线l:x-y+1=0，点B是点A关于直线l的对称点，且点P满足2222（1）求点B的坐标及点P的轨迹方程；（2）若点P的轨迹与直线x+my+1=0有公共点，求m的取值范围.17.如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC丄平面第4页/共4页（1）证明：BG//平面AEF；（2）在棱CF（不包括端点）上是否存在点P，使得平面BDP与平面BCF的夹角为60o？若存在，求CP的长度；若不存在，请说明理由.（2）已知A是“T集”．若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；19.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，F1,F2分别为E的左，右焦点，抛物线C的顶点在原点，焦点与E的右焦点重合.（1）求椭圆E与抛物线C的标准方程；（2）过焦点F2的直线l交椭圆E于点M,N，交抛物线C于点A,B，P为过点F1且垂直于x轴的直线上异于F1的一点.若求直线l的方程；（ii）设PA,PB,PF2的斜率分别为K1,K2,K3，求的值.创新高级中学2024年下学期高二创高杯考试（科目：数学）3.卷Ⅰ请用2B铅笔填涂在对应位置中；A.B.+x2=1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义可求得a，代入点A的坐标，可求得b，可求椭圆方程.【详解】因为点A是椭圆C上一点，且所以2a=4解得所以椭圆方程为2所以椭圆C的方程为+x2=1.故选：B.第2页/共18页2A.B.-C.3D.23【答案】C【解析】【分析】根据递推关系直接求解即可.故选：C3.已知=(cosθ,1,sinθ),=(sinθ,1,cosθ)，则向量+与-的夹角是()A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】C【解析】【分析】计算出+-)=0即可求解.【详解】因为+-)=2-2=cos2θ+1+sin2θ-(sin2θ+1+cos2θ)=0，所以向量+与-的夹角是90。.故选：C.4.“a=3”是“直线l1:(a-1)x+2y+1=0与直线l2:3x+ay-1=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件.【答案】C【解析】【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可.【详解】当a=3时，l1:2x+2y+1=0，l2:3x+3y-1=0，显然kl1=kl2，两直线平行，满足充分条件；(a-1)x+2y+1=0与直线l2:3x+ay-1=0平行时，kl1=kl2，则-∴a=3或a=-2，当a=3时显然成立，当a=-2时，l1:-3x+2y+1=0，l2:3x-2y-1=0，整理后l1:3x-2y-1=0与l2:3x-2y-1=0重合，故舍去，∴“a=3”是“直线l1:(a-1)x+2y+1=0与直线l2:3x+ay-1=0平行”的充要条件故选：CA.1B.2C.-1D.-2【答案】A【解析】【分析】基底法结合数量积的运算律和正方体的性质即可求解.【详解】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1上任意一点，则，0≤λ≤1，故选：A.6.在等差数列{an}中，a2=2,a3=4，则a10=【答案】D【解析】【分析】先由等差数列的概念得到公差d，再由等差数列的通项得到a10即可.故答案为D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.第3页/共18页第4页/共18页7.已知双曲线的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.B.C.-y2=1D.【答案】D【解析】【分析】先根据△OAF是边长为2的等边三角形，求出c和得双曲线方程.【详解】22求解a、b，即可求OF因为△OAF是边长为2的等边三角形，所以c=OF所以双曲线的方程为：x2-.故选：D8.x,y∈R，函数f3x+4y-5的最小值为()A.2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用两点之间的距离及点到直线的距离公式计算即可.【详解】设点A(x,y)，B(1,4)和直线l:3x+4y-5=0，A,B到l的距离分别为d1,d2，易知f(x,y)=AB+d1，显然f+d1≥d2=当且仅当A,B重合时取得等号.故选：C9.已知圆x2+y2=4上有且仅有三个点到直线l的距离为1，则直线l的方程可以是()A.x-y+1=0B.7x-y+5C.x-y+D.x=-1【答案】BCD【解析】【分析】将圆x2+y2=4上有且仅有三个点到直线l的距离为1，转化为圆心到直线l的距离d=1，根据圆心到直线距离公式计算即可.【详解】由题知，圆x2+y2=4，圆心为O(0,0)，半径为r=2，因为圆x2+y2=4上有且仅有三个点到直线l的距离为1，所以圆心到直线l的距离d=1，对于A，圆心为O(0,0)到直线x-y+1=0的距离2，故A错误；对于B，圆心为O(0,0)到直线7x-y+5的距离=1，故B正确；对于C，圆心为O(0,0)到直线x-y+··=0的距离=1，故C正确；对于D，圆心为O(0,0)到直线x=-1的距离d=0-(-1)=1，故D正确；故选：BCD第5页/共18页第6页/共18页10.已知曲线C：mx2-ny2=1，下列说法正确的是()A.若mn>0，则C为双曲线B.若m>0且m+n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆C.若m>0,n<0，则C不可能表示圆D.若m>0,n>0，则C为两条直线【答案】AB【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程即可判断AD，由椭圆的标准方程即可判断B，由圆的标准方程即可判断C.【详解】若mn>0，则C为双曲线，所以A正确；nn>m>0，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确；若m>0,n<0，当m=1,n=-1时，C是单位圆，所以C不正确；若m>0,n>0，则C为双曲线，所以D不正确.故选：AB11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为BB1,CC1的中点，G是线段B1C1上的一个动点，则下列说法正确的是()A.点G到平面AEF的距离为B.直线AG与平面AEF所成角的余弦值的取值范围为C.若线段AA1的中点为H，则GH一定平行于平面AEFD.四面体AEFG的体积为第7页/共18页【答案】AC【解析】【分析】建系，求平面AEF的法向量.对于A：利用空间向量求点到面的距离；对于B：利用空间向量求线面夹角；对于C：利用空间向量证明线面平行；对于D：结合锥体体积公式求结论.【详解】如图，以A1为坐标原点，A1B1,A1D1,A1A分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设平面AEF的法向量则对于选项B：设直线AG与平面AEF所成角为，所以直线AG与平面AEF所成角的正弦的取值范围为，所以直线AG与平面AEF所成角的余弦的取值范围为错误；对于选项C：由题意可知，则第8页/共18页且GH丈平面AEF，所以GH一定平行于平面AEF，故C正确；对于选项D：由题意知AE=，所以四面体AEFG的体积为错误；故选：AC.【解析】结果.n则数列{an}的通项公式为：an=故答案为【点睛】本题主要考查了递推关系、数列通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.13.在棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，则A1到平面AB1E的距离为；【答案】【解析】23【分析】以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，求出面AB1E的一个法向量，再利用点到面的距离公式求解即可.【详解】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，第9页/共18页设面AB1E的一个法向量为=(x,y,z)，2故答案为：3【点睛】本题考查空间向量法求点到面的距离，考查学生计算能力，是基础题.14.双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2=______.【答案】5-2·2【解析】【分析】可设AF2=m，F1F2=2c，根据双曲线的定义及△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，得AF1=2a+m，BF1=4a求得m.再在Rt△AF2中，用勾股定理，得到关于a、c的方程，运用离心率公式计算即可.【详解】解：设AF2=m，F1F2=2c，由AF1-AF2=2a，第10页/共18页:AF1=2a+m，又:AF1=AB=AF2+BF2=m+BF2，:lBF2l=2a，又BF1-BF2=2a，:BF1=4a，:△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，:BF1=·i2iAF1，即4a=·在Rt△F1AF2中，AF12+AF22=4c2，:8a2+(222，即c2=5a2-22， :e2=5-2-2. 故答案为：5-22.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、方程和性质、考查离心率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题.15.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2+a3=8，S5=25.（1）求{an}的通项公式；（2）45【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，即可写出通项公式；*)，应用等差数列前n项和公式求和即可.*【小问1详解】(n-1).2=2n-1.【小问2详解】3579所以数列{bn}的前10项和为45.16.已知O为坐标原点，点A(-1,2)和直线l:x-y+1=0，点B是点A关于直线l的对称点，且点P满足2222（1）求点B的坐标及点P的轨迹方程；（2）若点P的轨迹与直线x+my+1=0有公共点，求m的取值范围. 【解析】【分析】（1）设B(m,n)，根据斜率之积和AB的中点坐标得到方程组，求出B(1,0)，设PX,y，直接法求出点P的轨迹方程为2+y2=（2）圆心,0)到x+my+1=0的距离小于等于半径，列出不等式，求出答案.【小问1详解】解得第12页/共18页故点P的轨迹方程为2+y2=【小问2详解】2即解得或，m的取值范围是或.17.如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC丄平面（1）证明：BG//平面AEF；（2）在棱CF（不包括端点）上是否存在点P，使得平面BDP与平面BCF的夹角为60o？若存在，求CP的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）取BC中点N，取AD中点M，通过证明FN丄平面ABCD，从而建立空间坐标系，求出（2）求出平面BDP法向量和平面AEF的法向量，利用平面BDP与平面BCF的夹角为60o建立等式，求解即可.【小问1详解】如图，取BC中点N，取AD中点M，连接FN，MN,第13页/共18页因为△FBC为等边三角形，所以FN又FN平面FBC，平面FBC∩平面ABCD=BC，所以FN丄平面ABCD，又底面ABCD为矩形，则NM丄NB.以N为坐标原点，NM,NB,NF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系N—由题意可得由四边形BDEF为平行四边形，得设平面AEF的法向量=(x,y,Z)，则平面AEF的一个法向量第14页/共18页【小问2详解】λ–F–→,所以BP=|(0,2λ1,(2,1,0).设平面BDP法向量=(x,y,z)，所以平面BDP的一个法向量为化简得=1.所以λ无实数解，不存在这样的点P.（2）已知A是“T集”．若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；【答案】（1）M是“T集”，N不是“T集”，理由见解析【解析】【分析】（1）根据“